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专题 03 全等模型-手拉手模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三
角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.手拉手模型（三角形）
【模型解读】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫
旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记
为“右手”。
对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得 。
【常见模型及证法】
（等
边）
（等腰直
角）
（等腰）
例1．（2022·北京东城·九年级期末）如图，在等边三角形ABC中，点P为 ABC内一点，连接AP，BP，
CP，将线段AP绕点A 顺时针旋转60°得到 ，连接 ． △
（1）用等式表示 与CP的数量关系，并证明；（2）当∠BPC＝120°时， ①直接写出 的度数
为 ；②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．
例2．（2022·黑龙江·中考真题） 和 都是等边三角形．
(1)将 绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有
（或 ）成立；请证明．(2)将 绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE
相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将 绕点A旋
转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？
直接写出结论，不需要证明．例3．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在 中， ， ，将 绕点A
顺时针方向旋转60°到 的位置，连接 ，则 的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．45°
例4．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角
顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：如图1，若 和 是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证： ；
(2)解决问题：如图2，若 和 均为等腰直角三角形， ，点A，D，E在同一
条直线上，CM为 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量
关系并说明理由.
图1 图2例5．（2022秋·江苏·八年级期中）点 为 外一点， ， ．
(1)如图1， ， ，求证： ；
(2)如图2，若 ， ， ，求证： ；
模型2.手拉手模型（正多边形型）
【模型解读】将两个多边形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个多边形构成手拉
手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
【常见模型及证法】如图，在任意△ABC中，分别以AB、AC为边作正方形ABDE、ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.
例1．（2022·广东广州市·八年级期中）如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点
H．（1）证明：△ADG≌△CDE；（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；
（3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由．
例2．（2023·河南鹤壁市八年级月考）（1）作图发现：如图1，已知 ，小涵同学以 、 为边
向 外作等边 和等边 ，连接 ， ．这时他发现 与 的数量关系是 ．
（2）拓展探究：如图2，已知 ，小涵同学以 、 为边向外作正方形 和正方形 ，
连接 ， ，试判断 与 之间的数量关系，并说明理由．ABD AEC
例3．（2023·福建福州市·九年级月考）如图， 和 均为等边三角形，连接BE、CD．
（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是 ；
ABD AEC
（2）观察图，当 和 分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变?
（3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是___________,在如图中证明你的
猜想.
（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB 与EE 的关系是 ;它们分别在哪两个全
1 1
等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形AB C D E F 的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,
1 1 1 1 1
能构造出两个全等三角形？例4．（2023·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图1，图2，图3，在 中，分别以 为边，向
外作正三角形，正四边形，正五边形， 相交于点 ．（正多边形的各边相等，各个内角也
相等）
①如图1，求证：△ABE≌ADC；②探究：如图1，∠BOD= ；
③如图2，∠BOD= ；④如图3，∠BOD= ．课后专项训练
1．（2022·天津·中考真题）如图，在 ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将 ABM绕点A逆时
针旋转得到 ACN，点M的对应点为点△N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ △ ）
△
A． B． C． D．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图， 为等边三角形，以 为边向外作 ，使
，再以点C为旋转中心把 旋转到 ，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②
平分 ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·贵州遵义·八年级期末）在 中， ，且E为边 的中点，
连接 ，以 为边向上作等边三角形 ，连接 ，则 的长为_______．4．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）如图，C为线段 上一动点（不与点A、E
重合），在 同侧分别作正 和正 ， 与 交于点O， 与 交于点 ， 与 交于
点 ，连接 ．以下五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
恒成立的结论有______．（把你认为正确的序号都填上）
5．（2023·江苏·八年级假期作业）如图， 是一个锐角三角形，分别以 、 为边向外作等边三角
形 、 ，连接 、 交于点 ，连接 ．
(1)求证： ≌ ；(2)求 的度数；(3)求证： 平分 ．
6．（2022秋·河北保定·八年级校考期中）在 中， ，点D是直线 上一点，连接 ，以
为边向右作 ，使得 ， ，连接CE．(1)①如图1，求证： ；②当点D在 边上时，请直接写出 ， ， 的面
积（ ， ， ）所满足的关系；(2)当点D在 的延长线上时，试探究 ， ，
的面积（ ， ， ）所满足的关系，并说明理由．
7．（2023·山东临沂·八年级统考期中）（1）如图1， 与 均是顶角为40°的等腰三角形，BC、
DE分别是底边，求证： ；
（2）如图2， 和 均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
填空： 的度数为______；线段BE与AD之间的数量关系是______．
8．（2022·陕西·九年级专题练习）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边 ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是 ABC的外角∠ACH的平分
线上一点，且AM=MN．△求证：∠AMN=60°． △
点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边 BEC，连接EM．易证：
ABM≌ EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=M△N，可得∠3=∠4；由
△∠3+∠1=△∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：
∠AMN=60°．
问题：如图③，在正方形ABC D 中，M 是BC 边上一点（不含端点B，C ），N 是正方形ABC D 的
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
外角∠DC H 的平分线上一点，且AM=MN ．求证：∠AMN =90°．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 19．（2022秋·贵州黔东南·八年级校考期末）如图，将图1的正方形纸片沿对角线剪开，得到图2的两张三
角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成图3所示的图形，使得点B（E）重合．
(1)求证：△ABD≌△CBF；(2)猜测AD与CF的位置关系，并说明理由；
(3)若∠ABF=120°请判断△BGH的形状，并说明理由．
10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）（1）问题发现：如图1， 和 均为等腰直角三角形，
，连接 ， ，点 、 、 在同一条直线上，则 的度数为__________，
线段 、 之间的数量关系__________；
（2）拓展探究：如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，
点 、 、 不在一条直线上，请判断线段 、 之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）解决问题：如图3， 和 均为等腰三角形， ，则直线 和 的夹角为__________．（请用含 的式子表示）
11．（2022秋·湖南怀化·八年级统考期末）问题发现：如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B、
D，E在同一直线上，连接CE，求 的度数，并确定线段BD与CE的数量关系．
拓展探究：如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形， ，且点B，D，E在同一
直线上， 于F，连接CE，求 的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系．
12．（2022·绵阳市·八年级专题练习）已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF
绕顶点B顺时针旋转，边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C，并在BM边上截取AB＝BC，连接
AE．(1)将等边△BEF旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE；
(2)将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出AE，BE，CE之间的数量关系，不需
要证明；(3)在（1）和（2）的条件下，若BF＝4，AE＝1，则CE＝ ．13．（2023春·广东揭阳·七年级统考期末）如图，以 的边 、 分别向外作等腰直角 与等
腰直角 ， ，连接 和 相交于点O， 交 于点F， 交 于点G．
(1)试说明： ；(2)试说明： ；(3)试说明：点A到边 ， 所在直线的距离相等．
14．（2023·广东深圳·八年级校考期中）在 中， ，点 是直线 上一点（不与 、 重
合），把线路 绕着点 逆时针旋转至 （即 ），使得 ，连接 、 ．
(1)如图1，点 在线段 上，如果 ，则 __________度．
(2)如图2，当点 在线段 上，如果 ，则 __________度．
(3)如图3，设 ， ，当点 在线段 上移动时， ， 的数量关系是什么？请说明理
由．(4)设 ， ，当点 在直线 上移动时，请直接写出 ， 的数量关系，不用证明．
15．（2022·山西八年级月考）综合与实践
特例研究：将矩形 和 按如图1放置，已知 ，
连接 ． 如图1，当点 在 上时，线段 与 之间的数量关系是__ ；
直线 与直线 之间的位置关系是_ ；
拓广探索： 图2是由图1中的矩形 绕点 顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段 与
之间的数量关系和直线 与直线 之间的位置关系，并说明理由．16．（2022·福建八年级期中）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接
AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题
(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间
的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结
论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一
个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
17．（2022·辽宁沈阳·九年级校考期中）（1）如图①，若在等边 ABC的边AB上任取一点E（点E不与B
重合），以EC为边在 ABC同侧作等边 CEN，连接AN．求证：△AN BC且AN＝BE；
（2）如图②，若把（1△）中的“等边 AB△C”改成正方形ABCD，同样在边AB上任取一点E（点E不与B重
合），以EC为边在正方形ABCD同则△作正方形CEMN，连接DN，请你判断图中是否有与（1）中类似的
结论．若有，直接写出结论；若没有，请说明理由；18．（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直
线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．
(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．
19．（2023·江苏·八年级假期作业）已知在 中， ，过点B引一条射线 ，D是 上一点
【问题解决】(1)如图1，若 ，射线 在 内部， ，求证： ，小
明同学展示的做法是：在 上取一点E使得 ，通过已知的条件，从而求得 的度数，请你
帮助小明写出证明过程；
【类比探究】(2)如图2，已知 ．①当射线 在 内，求 的度数
②当射线 在 下方，如图3所示，请问 的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求
出 的度数；
20．（2022秋·浙江杭州·八年级校考阶段练习）在 中， 且 ．(1)如图（1），若 分别平分 ，交 于点C、B，连接 ．请你判断 是否
相等，并说明理由；(2) 的位置保持不变，将（1）中的 绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，
相交于O，请你判断线段 与 的位置关系及数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若
，试求四边形 的面积．
