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第 3 讲 分类讨论思想
思想概述 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标
准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题
的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．
方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的
定义、不等式的转化、等比数列{a}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．
n
例1 (1)(2022·滁州质检)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两
点，则当|AB|＝2时，直线l的方程为( )
A．x＝0
B．15x－8y－8＝0
C．3x－4y＋4＝0或x＝0
D．3x＋4y－4＝0或x＝0
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(2)已知数列{a}满足a ＋(－1)na ＝3，a ＝1，a ＝2，数列{a}的前n项和为S ，则S 等
n n＋2 n 1 2 n n 30
于( )
A．351 B．353 C．531 D．533
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规律方法 解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类．本例中，设直线
方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(－1)n需分奇偶两种情况，要注意分类讨论
要有理有据、不重不漏．
方法二 由图形位置或形状引起的讨论
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用
于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究．
例2 设F ，F 为椭圆＋＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F ，F 是一个直
1 2 1 2
角三角形的三个顶点，且|PF|>|PF|，则＝________.
1 2
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规律方法 圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置
变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论．
方法三 由参数变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，
如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做
到不重不漏，结论整合要周全．
例3 (2022·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)＝x＋(x>0)，若的最大值为，则正实数 a＝
________.
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规律方法 若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨
论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循
分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量
避免分类，杜绝无原则的分类讨论．
