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专题05 垂美四边形模型与378、578模型
模型1、垂美四边形模型
规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形
图1 图2 图3
条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD；
结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。
【变形1】
条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2
【变形2】
条件：如图 3，在矩形 ABCD 中，P 为矩形内部任意一点，连接 AP、BP，CP，DP；结论：
AP2+PC2=DP2+BP2
用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。
例1．（2023春·浙江八年级课时练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的
“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于
( )
A．7 B．9 C．16 D．25
【答案】C
【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得 ，在在 与 中，利用勾股定理可得 ，在在 与 中，继续利用勾股定理可得 ，
求解即可得．
【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，
对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形， ，
∵ ∴
在 中， ，在 中， ， ，
∴
在 中， ，在 中， ，
， ，故选：C．
∴ ∴
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．
例2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，四边形 的对角线 ， 互相垂直，若
， ， 则 的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．
【答案】D
【分析】在 中， ，在 中， ，再根据
即可得出答案．
【详解】解：在 中， ，在 中， ，
∴ ，∴ ，故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，正确利用勾股定理是解题的关键．
例3．（2023·四川绵阳·九年级统考期中）如图，四边形 的两条对角线互相垂直， ，则
四边形 的最大面积是（ ）
A．64 B．32 C．16 D．以上都不对
【答案】B
【分析】设 ，将四边形的面积转化为代数式，求最值即可．
【详解】解： ∵ ，∴四边形 的面积 ；
设 ，∵ ，∴ ，∴四边形 的面积 ，
当 时，四边形的面积最大：32，∴四边形 的最大面积是：32；故选B．
【点睛】本题考查配方求最大值和几何的综合应用．根据题意，列出正确的表达式是解题的关键．
例4．（2023·湖北·九年级专题练习）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有
以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．
应用新知：如图3，在 ABC中，CA＝4，CB＝6，D是 ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最
小值为_____． △ △
【答案】4 ﹣2【分析】以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，根据题意可得 ，即可求出CE
的长度，当C、D、E三点共线时，AB的值最小，且为CE与CD长度之差，故AB最小值可求．
【详解】解：以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，如图所示：
则AB＝DE，由题意得： ，即 ，解得：CE＝ ，
当C、D、E三点共线时，DE最小，∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE-CD＝ -2，故答案为： -2．
【点睛】本题主要考查了以几何为背景的推理与论证、两点之间线段最短，解题的关键在于通过题目中已
给的新知推断CD、CE、CA、CB之间的长度关系，并应用两点之间线段最短的定理，求出对应的最值．
例5．（2022·山东济宁·统考一模）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对
角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________，________．
(2)如图（1），已知格点（小正方形的顶点） ， ， ，请你直接写出一个以格点为顶点，
， 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 的顶点M的坐标为________；
(3)如图（2），将 绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到 ，连接 ， ， ．求
证： ，即四边形 是勾股四边形；
(4)若将图（2）中 绕顶点B按顺时针方向旋转a度 ，得到 ，连接 ， ，则________°，四边形 是勾股四边形．
【答案】(1)矩形；正方形(2)（3，4）或（4，3）(3)见解析(4)
【分析】（1）根据勾股四边形的定义，可知矩形和正方形都是勾股四边形；
（2）如图（1）中，以OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标为（3，
4）或（4，3）；（3）如图（2），连接CE，只要证明 DCE是直角三角形即可解决问题；
△
（4）如图（3），当 °，四边形ABCD是勾股四边形．连接CE，只要证明 DCE是直角三角
△
形即可解决问题．
【详解】（1）解：∵矩形和正方形的四个角都是直角，
∴相邻两边的平方和等于对角线的平方，∴矩形、正方形都是勾股四边形；故答案为矩形、正方形；
（2）解：如图（1）所示，
∴M的坐标为：（3，4）或（4，3）；故答案为（3，4）或（4，3）；
（3）证明：如图（2），连接CE，由旋转得： ≌ ，∴ ， ，
∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴四边形 是勾股四边形；
（4）解：如图（3）， °，四边形 是勾股四边形．
理由如下：连接CE，由旋转得： ≌ ，∴ ， ，∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，∴四边形 是勾股四边形；故答案为 ．
【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定
和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
例6．（2022秋·江西抚州·九年级校考阶段练习）
(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形
②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______；（只填序号）
(2)【概念理解】如图2，在四边形 中， ， ，问四边形 是垂美四边形吗？请说
明理由．
(3)【性质探究】如图1，垂美四边形 的两对角线交于点 ，试探究 ， ， ， 之间有怎
样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
(4)【性质应用】如图3，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形
，连接 ， ， ，已知 ， ，求 长．
【答案】(1)③④(2)四边形ABCD是垂美四边形；理由见解析
(3) ；理由见解析(4)
【分析】（1）根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质、垂美四边形的概念判断即可；
（3）根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答案；
（4）证明 GAB≌△CAE，进而得出CE⊥BG，根据（3）的结论计算即可．
（1）解：△∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱形，
④正方形，∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形，故答案为：③④；
（2）解：四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：如图2，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（3）解： ，
证明如下：如图①，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得， ，
，∴ ；
（4）解：如图3，连接BE、CG，设AB与CE交于点M，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在 GAB和 CAE中， ，
△ △
∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，∴ ，
∵AB＝10，AC＝8，∴ ， ， ，
∴ ，则GE＝ ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾
股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．模型2、378和578模型
当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是
因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的
等边三角形。
条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时；
结论：①这两个三角形的面积分别为6❑√3、10❑√3；②3、8与5、8夹角都是60°。
例1．（2023·山东八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）．
A．45° B．37° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则
BD＝BC−CD＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出CD＝4，则CD＝ AC，再证∠CAD＝30°．
【详解】法1：∵△ABC的边长为5，7，8，
∴其可以和边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，
如图，观察图形可知∠C为等边三角形的一个内角，所以∠C=60°.故选 C.法2：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2−BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2，
∴AB2−BD2＝AC2−CD2，即：72−（5−x）2＝82−x2，解得：x＝4，∴CD＝4，
∴CD＝ AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°−30°＝60°，故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股
定理，证出∠CAD＝30°是解题的关键．
例2．（2022·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（ ）．
A．45° B．37° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作 交BC延长线于点
D，设CD=x，则BC=3+x，在 和 中，利用勾股定理求出 ，可求出CD的长，从而得
到BD的长，然后利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】法1：∵△ABC的边长为3，7，8，
∴其可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，
如图，观察图形可知∠B为等边三角形的一个内角，所以∠B=60°.故选 C.
法2：如图，过点A作 交BC延长线于点D，∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可设CD=x，则BC=3+x，
在 中， ，在 中， ，
∴ ，解得： ，∴BC=3+x=4，
∴在 中， ，∴ ，∴ ．故选 C．
【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的
一半，则这条直角边所对的锐角等于 是解题的关键．
例3．（2023·广东·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7，试过A作AD垂直BC于
点D并求出CD的长度．
解：如图所示，作AD⊥BC于点D，设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
则在直角三角形ABD和直角三角形ADC中，由勾股定理有：AB2﹣BD2＝AC2+CD2，
即64﹣（5﹣x）2＝49﹣x2，解得：x＝1．故CD长度为1．
另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。例4．（2023·湖北武汉·八年级统考期末）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（ ）
A．20 B．10 C．10 D．28
【答案】C
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据勾股定理列方程得到BD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】如图，
∵AB=5，AC=7，BC=8，过A作AD⊥BC于D，∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，∴52-BD2=72-（8-BD）2，
解得：BD= ，∴AD= ，∴△ABC的面积=10 ，故选C．
另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
例5．（2023·广西柳州·校考一模）已知△ABC的三边长分别为5，7，8，△DEF的三边分别为5，2x，3x﹣
5，若两个三角形全等，则x=__．
【答案】4
【详解】∵两个三角形全等，
∴ 或 ，解得：无解或x=4. 故答案为4.
另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。
例6．（2023·重庆·八年级专题练习）△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则△ABC的面积为 ．
解：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D，则∠ADC＝90°．
∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°．设BD为x，则CD为（8﹣x），AB为2x．∵∠BAD＝30°∴ ＝ ，AC＝7，∴AD＝ x．
∴（ x）2+（8﹣x）2＝72． 解得x ＝ ，x ＝ ．
1 2
∴当x ＝ 时，△ABC的面积为S＝ BC•AD＝ ×8× × ＝6 ；
1
当x ＝ 时，△ABC的面积为S＝ BC•AD＝ ×8× × ＝10 ．故答案为6 或10 ．
2
课后专项训练
1．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形 内任意一点，连接 ，则下列结论
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M，由题意可证四边形ABFM，四边形DCFM是矩形，可得
AM=BF，MD=CF，MF⊥AD，根据勾股定理可得： ．
【详解】如图：过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
又∵EF⊥BC∴四边形ABFM，四边形DCFM是矩形∴AM=BF，MD=CF，MF⊥AD
∵ ， ， ，
∴ 故：选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，添加恰当辅助线构造矩形是本题的关键．
2．（2023·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形 的两条对角线互相垂直， ，
则四边形 的面积最大值是（ ）
A．16 B．32 C．36 D．64
【答案】B
【分析】利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【详解】解：设 ，四边形 面积为S，则 ，
则： 当 时，S最大为：32﹔故选：B．
【点睛】本题主要考查配方求最大值，能够正确利用面积计算公式结合方程思想是解题关键．
3．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝
b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
【解答】解：连接DE，如图，设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝ AB，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，x2+4y2＝ b2，②
在Rt△BFD中，4x2+y2＝ a2，③
②+③得5x2+5y2＝ （a2+b2），∴4x2+4y2＝ （a2+b2），④
①﹣④得c2﹣ （a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．
4、当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 ．
解：∵边长为3，7，8的三角形，可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，
1
如图，∴拼成的等边三角形的高为 4❑√3，∴这两个三角形的面积之和为 ×8×4❑√3=16❑√3.
2
5．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝
2，则AE的长等于 ．解：过A作AD⊥BC，交BC于D，
△ABD中，∠B＝60°，AB＝8，∴BD＝4，AD＝4 ，
则 CD＝1，ED＝1．∴AE＝ ＝ ＝7．故答案为：7．
6．（2023·河北·八年级专题练习）已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为 ．
解：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D，
则∠ADC＝90°．∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°．设BD为x，则CD为（8﹣x），AB为2x．
∵∠BAD＝30°，AC＝7，∴AD＝ ． ∴（ x）2+（8﹣x）2＝72．解得x ＝ ，x ＝ ．
1 2
∴当x＝ 时，AB＝2x＝3；当x＝ 时，AB＝2x＝5．故AB为3或5．故答案为：3或5．
7．（2023·江西九江·八年级统考期末）模型介绍
（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即
AB2+CD2=BC2+AD2，请结合图1证明这个结论．（2）如图2，在长方形ABCD中，AB=6，P是AD边上一点，且AP=2PD，CP⊥BD，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】（1）根据垂直的定义和勾股定理得出AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2=AD2+CB2，即可得出结论；
（2）连接BP，设PD=x，则AP=2x，AD=BC=3x，根据勾股定理以及垂美四边形的性质列方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵AC⊥BD，∴Rt△AOB中，OA2+OB2=AB2，
Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2，Rt△COB中，OC2+OB2=CB2，
Rt△AOD中，OD2+OC2=DC2，∴AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2=AD2+CB2；
（2）连接BP，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，AD=BC，
设PD=x，则AP=2x，AD=BC=3x，BP2=AB2+AP2=62+(2x)2=36+4x2，
∵PC⊥BD，∴BP2+CD2=BC2+PD2，∴36+4x2+62=(3x)2+x2，
化简得x2=12，解得x=2 或x=−2 (舍) ．∴AD=6 ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是矩形的性质、勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质，理解
新定义，灵活运用勾股定理构建方程是解题的关键．
8．（2023春·河南新乡·八年级校考期中）小明学习了平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发
现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形．
(1)【理解定义】在“平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形”中，一定是垂美四边形的是 ．
(2)【探究性质】如图1，在垂美四边形 中，对角线 相交于点O，猜想
之间的数量关系，并写出证明过程．
(3)【综合运用】如图2，在 中， ，分别以 为腰向外侧作等
腰 和等腰 ，且 ，连接 ．
①图中哪个四边形是垂美四边形？并证明你的结论． ②求 的长（直接写出答案）．【答案】(1)菱形、正方形(2) ，见解析
(3)①四边形 是垂美四边形，见解析；②
【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；（2）利用勾股定理即可得出结
论；（3）①根据 证明 ，得 ，再由三角形内角和定理得
，从而可得结论；②根据等腰直角三角形的性质可得 ，再代入
计算即可
【详解】（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
∴菱形和正方形一定是垂美四边形，故答案为：菱形、正方形；
（2）∵ ，垂足为点E，
∴ ，
由勾股定理得， ， ，
∴ ；故答案为： ，
（3）①连接 与 交于点O， 与 交于点N，如图，
∵ ，∴ ，即 ，∵ 是等腰直角三角形，∴
∴ ，∴ ，
∵ ∴ ，
∴ ，即CE⊥BG，∴四边形 是垂美四边形；
②∵在 中， ，∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵四边形 是垂美四边形，∴ ，即 解得，
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应
用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
9．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）规定：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形
探究：如图1，四边形 是垂美四边形．
(1)若 ， ，则四边形 的面积为_______．(2)求证：
(3)如图2，在 外侧，分别以 为直角边构造等腰 和等腰 ，连接 ，点F
为 中点，连接 ，若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)30(2)见解析(3)
【分析】（1）由四边形 是垂美四边形可知 ，从而依据 ，代入相
关数据进行计算即可；（2）由勾股定理列出等式可求解；（3）连接 ，证出 ，由证明 ，得出 ， ，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出
，得出 ，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【详解】（1）∵四边形 是垂美四边形，
∴
（2）∵四边形 是垂美四边形，
在 中， 在 中，
在 中， 在 中，
，
∴
（3）连接 ，交 于点 ，交 于点 ，如图，
均为等腰直角三角形，
即
在 和 中， ，
， ，， 即
∴四边形 是垂美四边形；
在等腰 和 中，
由勾股定理得，
延长 到点 ，使 ，连接 为 的中点，
又
过点 作 于点 ，设 则
由勾股定理得，
，解得， 即
∵四边形 是垂美四边形； ,
（负值舍去）
过点 作 ，则有：
即： ,解得，
过点 作 交 于 ，同理可得， ；
（负值舍去）【点睛】本题主要考查四边形的综合应用，掌握垂美四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等
三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是
解题的关键．
10．（2023春·广东·八年级专题练习）【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【性质探究】如图1，四边形 是垂美四边形，试探究两组对边 ， 与 ， 之间的数量
关系，并证明你的结论；(2)【拓展应用】如图2，Rt 中， ，分别以 和 为直角边向
外作等腰Rt 和等腰Rt ，连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1) ，见解析(2)
【分析】（1）根据题中给出的垂美四边形的定义，得知对角线互相垂直，在直角三角形里利用勾股定理
解答即可；（2）根据垂美四边形的性质、勾股定理结合（1）的结论计算即可．
【详解】（1）解：结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．（或： ．）
证明：设 与 相交于点E．
， ，
由勾股定理得， ，
， ．
（2）连接 ， 相交于点N， 交 于点M．
， ，即 ，
又 ， ， ≌ ， ，又 ，
，即 ， 四边形 是垂美四边形，
由（1）得， ， ， ，
， ， ， ， ．【点睛】本题考查了新定义、勾股定理以及全等三角形的判定的知识点，利用给出的垂美四边形定义求解
是解题的关键．
11．（2023·福建·模拟预测）【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【概念理解】如图2，在四边形 中， ，问四边形 是垂美四边形吗？请
说明理由．(2)【性质探究】如图1，试探索垂美四边形 两组对边 与 之间的数量关
系，并证明你的猜想．(3)【性质应用】如图3，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形
和正方形 ，连接 已知 ，求 长．
【答案】(1)是，见解析(2) ，见解析(3)
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
【详解】（1）如图2，四边形 是垂美四边形．
证明：连接 交于点E，
∵ ，∴点A在线段 的垂直平分线上，∵ ，∴点C在线段 的垂直平分线上，
∴直线 是线段 的垂直平分线，∴ ，即四边形 是垂美四边形；
（2）猜想结论 ．如图1，已知四边形 中，∵ ，
∴ ，由勾股定理得， ，
，∴ ；
（3）如图3，连接 ，∵ ，
∴ ，即 ，
在 B和 中， ，∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，即 ，
∴四边形 是垂美四边形，由（2）得， ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理
解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
12．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说
明理由；（2）性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，AC⊥BD．试证明：
AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形
ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
证明：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）如图1中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中， ，∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4 ，BE＝5 ，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE＝ ．
13．如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知 AB＝5，BC＝4，分别以△ABC 的边 BC 和 AB 向外作等腰 Rt△BCQ 和等腰
Rt△ABP．①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；
②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝2 ，则S△ABC ＝ ．
【解答】解：（1）证明：如图1中，
∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）①方法一：连接PC、AQ交于点D，如图2，
∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，
∴∠PBC＝∠ABQ，∴△PBC≌△ABQ（SAS），∴∠BPC＝∠BAQ，
又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°，即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°，
∴∠PDA＝90°，∴PC⊥AQ，利用（1）中的结论：AP2+CQ2＝AC2+PQ2
即（5 ）2+（4 ）2＝32+PQ2；∴PQ＝ ．
②连接PC、AQ交于点D，如图3，
同①可证△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC，∵M、N分别是AC、AP中点，∴MN＝ PC，
∵MN＝2 ，∴AQ＝PC＝4 ．延长 QB 作 AE⊥QE，则有 AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48，∵EQ＝4+BE，
∴（4+BE）2﹣BE2＝23，解得BE＝ ，∴S△ABC ＝ ×BC×BE＝ ＝ ．
方法二：连接PC，AQ，PQ，延长PB使BH＝AB，由①得，△BPC≌△BAQ，
∴PC＝AQ＝2MN＝4 ，PC⊥AQ，∴∠PBM＝∠QBC＝90°，
∴∠PBQ+∠ABC＝180°，即∠QBH＝∠CBA，
∵BQ＝BC，AB＝PB＝BH，∴△BQH≌△BCA（SAS），∴S△ABC ＝S△PBQ ＝S△QBH ，
S△ABC ＝
∴
＝ ＝ ．故答案为： ．
14．（2023春·江苏徐州·八年级统考期中）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
(1)下面四边形是垂等四边形的是______；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
(2)如图，在四边形 中， ， ，过点D作 垂线交 的延长线于点E，且
，证明：四边形 是垂等四边形．
【答案】(1)④(2)见解析
【分析】（1）根据正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，以及题意进行判断作答即可；
（2）由 ， ，可得 ，证明四边形 是平行四边形，则 ，由
，可得 是等腰直角三角形，则 ，进而结论得证．【详解】（1）解：由题意知，正方形的对角线互相垂直且相等，是垂等四边形，故答案为：④；
（2）证明：∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，
又∵ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
又∵ ， ∴四边形 是垂等四边形．
【点睛】本题考查了正方形、矩形、菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．
解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
15．（2023·山西·八年级统考期末）阅读理解：我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的
平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)写出两个是勾股四边形的特殊四边形：____________，____________．
(2)如图1，已知格点（小正方形的顶点） ， ， ，请你画出以格点为顶点，OA，OB为
勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB．
(3)如图2，将 绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到 ，连接AD，DC， ，那么线段
DC，AC，BC的数量关系为_______________．
【答案】(1)矩形；正方形(2)见解析(3)
【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；
（2）根据题意画出图形即可；（3）首先证明△ABC≌△DBE，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步
得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
【详解】（1）解：学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形，正方形．故答案为：矩形；正方形．
（2）解：如图所示：（3）线段DC，AC，BC的数量关系为：DC2＋BC2＝AC2．连接CE，如图所示：
由旋转得：△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE，
又∵∠CBE＝60°，∴△CBE为等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝30°＋60°＝90°，
∴DC2＋EC2＝DE2，∴DC2＋BC2＝AC2．故答案为：DC2＋BC2＝AC2．
【点睛】本题考查四边形综合题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形
的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
16．（2023秋·湖南长沙·八年级校考期末）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等
于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)如图 ，已知格点(小正方形的顶点)： 、 、 ，若 为格点，请直接画出所有以 、
为勾股边且对角线相等的勾股四边形 ；
(2)如图 ，将 绕顶点 按顺时针方向旋转 ，得到 ，连结 、 ， ，求证：
，即四边形 是勾股四边形；
(3)如图 ，在四边形 中， 为等边三角形， ， ， ，求 长．【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）10
【分析】（1）利用勾股定理计算画出即可.
（2）首先证明 ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出 BCE为等边三角形；利用等边三
角形的性质，进△一步得出 DCE是直角三角形，即可解答． △
（3）将 ABC逆时针旋转△60°，即可得出上 ADE为直角三角形，再根据勾股定理求出ED的值即可解答.
【详解】△（1）如图1 △
（2）如图2，连接EC.
根据旋转的性质知 ABC≌△BDC，则BC=BD，AC=DE.
又 ∠CBE=60° △CBE是等边三角形 ∠BCE=60°，BD=DE
∠DCB=30° ∠B△CE+∠DCB=90°即∠DCE=90°
，即四边形ABCD是勾股四边形.（3）如图示，将 ABC逆时针旋转60°，使C，与D点重合，得到 ，
△ △EBD
则有：AB=AE，AC=ED，∠ABE=60，∴ ABE为等边三角形，
∠DAE=∠DAB+∠BAE=30°+60°=90° △DAE为直角三角形
△
即： 故AC=10.
【点睛】本题主要考查勾股定理、等边三角形，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质.
17．（2023春·广西南宁·八年级校考期中）如图 ，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：在下列四边形中， 正方形； 矩形； 菱形； 平行四边形．是垂美四边形的是：
______（填写序号）；
(2)性质探究：如图 ，垂美四边形 中， ，垂足为 ，试猜想：两组对边 ， 与 ，
之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图 ，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ，
连接 ， ， ，且 与 相交于点 ，已知 ， ，求 长．
【答案】(1)①③(2) ；理由见解析(3)
【分析】（1）根据垂美四边形的定义进行判断即可；（2）根据勾股定理得出 ，， ， ，即可得出结论；（3）连接 ， ，根据勾股
定理得出 ，证明 ，得出 ，证明
，得出 ，根据解析（2）的结论可知， ，求出
，即可得出结论．
【详解】（1）解： 正方形的对角线互相垂直平分且相等； 矩形的对角线互相平分且相等；
菱形对角线互相垂直平分； 平行四边形的对角线互相平分；
因此是垂美四边形的是①③；故答案为：①③；
（2）解： ；理由如下：
∵ ，∴ ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：连接 ， ，如图所示：
∵在 中， ， ，∴ ，
∵四边形 和 为正方形，∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
根据解析（2）的结论可知， ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ．【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形和平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，
解题的关键是作出辅助线，证明 ．
