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专题 05 将军饮马-最短路径问题（四大类型）
【题型1：两定一动-作图】
【题型2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】
【题型3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】
【题型4：一定两动-求角度】
【题型1：两定一动-作图】
1．（2023•海淀区一模）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，
现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，
使用电缆材料最少的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春•赵县月考）在公路 l上建一个煤炭加工厂 P，向甲、乙两个村庄
供应煤炭．下列四种设计中，煤炭加工厂到两个村庄路径最短的是（ ）
A． B．
C． D．3．（2022秋•凤山县期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为
1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．
（3）利用网格纸，在 MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短．（保留痕
迹）
4．（2022 秋•思明区校级期中）如图，在直角坐标系中，先描出点 A（1，
1），B（5，3）．
（1）点B与点E关于x轴的对称点，写出E的坐标 ；
（2）在x轴上找一点P，使△ABP周长最小．
【题型2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】
5．（2023春•盐田区期末）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BC，AC
边的中点，连接AD，点P是AD上一动点，若AD＝8，则PC+PE的最小值
是（ ）A．2 B．4 C．8 D．16
6．（2023春•阜新期中）如图，直线 m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P
是直线m上的一动点．若AB＝5，AC＝4，BC＝6，则△APC周长的最小值
是（ ）
A．9 B．10 C．10.5 D．11
7．（2023春•酒泉期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
EF垂直平分BC，点P为直线EF上任意一点，则AP+BP的最小值是 ．
8．（2022秋•淮滨县期末）如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为
AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度
数是（ ）
A．30° B．15° C．20° D．35°
9．（2023 春•天桥区期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝4，面积是
10；AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的
中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（ ）A．7 B．9 C．10 D．14
10．（2022秋•和平区校级期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD、CE是
△ABC的两条中线，CE＝5，AD＝7，P是AD上一个动点，则BP+EP的最
小值是（ ）
A．7 B．3.5 C．5 D．2.5
11．（2022秋•平城区校级月考）如图，等腰△ABC的面积为18，底边BC的
长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边
的中点，点M为直线EF上一动点，则DM+CM的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
12．（2022秋•越秀区校级期末）如图，等腰三角形 ABC的底边BC长为4，面
积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为
BC边的中点，点G为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为 ．【题型3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】
13．（2022秋•大名县期末）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的
中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最
小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
14．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在四边形 ABCD中，∠ABC＝60°，BD
平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，
当CP+PQ取得最小值时，BQ的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
15．（2022秋•大连期末）如图，∠AOB＝30°，点D是它内部一点，OD＝m．
点E，F分别是OA，OB上的两个动点，则△DEF周长的最小值为（ ）A．0.5m B．m C．1.5m D．2m
16．（2022 秋•晋安区期末）如图，在△ABC 中，AC＝BC＝8，∠ACB＝
4∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，
则CE+EF的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
17．（2022秋•江门期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
AB＝10，BD 平分∠ABC，如果 M、N 分别为 BD、BC 上的动点，那么
CM+MN的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．4.8
18．（2022秋•广州期中）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝
8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则
PC+PQ的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．2.4 D．4.8
19．（2023•阿克苏市一模）已知在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB
＝5．点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小
值是 ．20．（2023•广西模拟）如图，∠AOB＝30°，M，N分别为射线OA，OB上的动
点，P为∠AOB内一点，连接PM，PN，MN．若OP＝5，则△PMN周长的
最小值为 ．
21．（2022秋•滑县校级期末）如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是射线OA，
OB上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝5，则△PMN的周长的最小值
为 ．
【题型4：一定两动-求角度】
22．（2022秋•宛城区校级期末）如图，等边三角形 ABC的边长为6，AD是
BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上的一点，若 AE＝3，当
EF+CF取最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
23．（2022秋•和平区校级期末）如图，在四边形 ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
M，N 分别是 BC，AB 边上的动点，∠B＝58°，当△DMN 的周长最小时，
∠MDN的度数是（ ）A．122° B．64° C．62° D．58°
24．（2023春•虹口区校级期末）如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝40°，
AD⊥BC 于点 D，点 P、Q 分别为 AD、AB 上的动点，联结 BP、PQ，当
BP+PQ最小时，∠PBD＝ °．
25．（2023春•郫都区期末）如图，在四边形 ABCD中，∠C＝ ，∠B＝∠D＝
90°，点E、F分别在BC、DC上，当△AEF的周长最小时，用 的代数式表
β
示∠EAF，则∠EAF＝ ．
β
26．（2023春•遂平县期末）如图，在四边形 ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D
＝90°，E，F分别为BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度
数为 ．
27．（2023春•金牛区期末）如图，锐角∠MON 内有一定点A，连结AO，点
B、C分别为OM、ON边上的动点，连结 AB、BC、CA，设∠MON＝ （0°
α＜ ＜90°），当AB+BC+CA取得最小值时，则∠BAC＝ ．（用含
的代数式表示）
α α
