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专题 05 将军饮马-最短路径问题（四大类型）
【题型1：两定一动-作图】
【题型2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】
【题型3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】
【题型4：一定两动-求角度】
【题型1：两定一动-作图】
1．（2023•海淀区一模）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，
现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，
使用电缆材料最少的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：根据线段的性质可知，点P即为所求作的位置．
符合题意的画法是A．
故选：A．
2．（2023春•赵县月考）在公路 l上建一个煤炭加工厂 P，向甲、乙两个村庄
供应煤炭．下列四种设计中，煤炭加工厂到两个村庄路径最短的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解答】解：在公路l上建一个煤炭加工厂P，向甲、乙两个村庄供应煤炭．
下列四种设计中，煤炭加工厂到两个村庄路径最短的是B选项，
故选：B．
3．（2022秋•凤山县期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为
1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）△ABC的面积为 5 ；
（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．
（3）利用网格纸，在 MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短．（保留痕
迹）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）S ＝3×4﹣ ×2×2﹣ ×1×4﹣ ×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝
△ABC
5．
故答案为：5；
（2）如图，△A′B′C′即为所求；
（3）如图，点P即为所求．4．（2022 秋•思明区校级期中）如图，在直角坐标系中，先描出点 A（1，
1），B（5，3）．
（1）点B与点E关于x轴的对称点，写出E的坐标 （ 5 ，﹣ 3 ） ；
（2）在x轴上找一点P，使△ABP周长最小．
【答案】（1）（5，﹣3）；
（2）P（2，0），图形见解答．
【解答】解：（1）∵点B与点E关于x轴对称，B（5，3），
∴E点的坐标为（5，﹣3）．
故答案为：（5，﹣3）；
（2）如图，连接AE，交x轴于点P（2，0），点P即为所求．【题型2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】
5．（2023春•盐田区期末）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BC，AC
边的中点，连接AD，点P是AD上一动点，若AD＝8，则PC+PE的最小值
是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解答】解：连接PB，BE，
∵△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，
∴AD所在直线是△ABC的对称轴，
∴PB＝PC，
∴PC+PE＝PB+PE≥BE，
∴PC+PE的最小值为BE的长，∵D，E分别是等边三角形ABC的BC，AC边的中点，
∴BE＝AD＝8，
∴PC+PE的最小值是8，
故选：C．
6．（2023春•阜新期中）如图，直线 m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P
是直线m上的一动点．若AB＝5，AC＝4，BC＝6，则△APC周长的最小值
是（ ）
A．9 B．10 C．10.5 D．11
【答案】A
【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝PC
∴△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP
∵两点之间线段最短
∴AP+BP≥AB
∴△APC的周长＝AC+AP+BP≥AC+AB
∵AC＝4，AB＝5
∴△APC周长最小为AC+AB＝9
故选：A．
7．（2023春•酒泉期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
EF 垂直平分 BC，点 P为直线 EF 上任意一点，则 AP+BP 的最小值是 4
．
【答案】4．【解答】解：连接PC．
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BP＝PC，
∴PA+BP＝AP+PC，
∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值为AC＝4．
故答案为：4．
8．（2022秋•淮滨县期末）如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为
AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度
数是（ ）
A．30° B．15° C．20° D．35°
【答案】A
【解答】解：连接PB．
由题意知，∵B、C关于直线MN对称，
∴PB＝PC，
∴PC+PD＝PB+PD，当B、P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，
连接BD交MN于P，
∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴PA＝PC，
∴∠PCD＝∠PAD＝30°
故选：A．
9．（2023 春•天桥区期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝4，面积是
10；AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的
中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．14
【答案】A
【解答】解：如图所示．连接AP，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∴△PBF周长＝BP+PF+BF＝AP+PF+BF≥AF+BF．
连接AF，
∵AB＝AC，点F是BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴ ．
∵BC＝4，
∴BF＝2，AF＝5，
∴△PBF周长的最小值是AF+BF＝5+2＝7．
故选：A．10．（2022秋•和平区校级期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD、CE是
△ABC的两条中线，CE＝5，AD＝7，P是AD上一个动点，则BP+EP的最
小值是（ ）
A．7 B．3.5 C．5 D．2.5
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴B，C关于AD对称，
∴连接EC与AD的交点即为使BP+EP取得最小值时的点P，
∴BP+EP的最小值＝EC＝5，
故选：C．
11．（2022秋•平城区校级月考）如图，等腰△ABC的面积为18，底边BC的
长为3，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F，点D为BC边
的中点，点M为直线EF上一动点，则DM+CM的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3【答案】A
【解答】解：连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴ ，解得AD＝12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴CM＝AM，
∴CM+DM＝AM+DM，
∵AM+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴DM+CM的最小值为12．
故选：A．
12．（2022秋•越秀区校级期末）如图，等腰三角形 ABC的底边BC长为4，面
积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为
BC 边的中点，点 G 为线段 EF 上一动点，则△CDG 周长的最小值为 11
．
【答案】11．
【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S ＝ BC•AD＝ ×4×AD＝18，
△ABC
解得AD＝9，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CG+GD的最小值，
∴△CDG的周长最短＝（CG+GD）+CD＝AD+ BC＝9+ ＝11．
故答案为：11．
【题型3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】
13．（2022秋•大名县期末）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的
中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最
小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】C【解答】解：
过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC＝4，AE＝2，
∴EC＝2＝AE，
∴AM＝BM＝2，
∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴∠ECF＝ ∠ACB＝30°，
故选：C．
14．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在四边形 ABCD中，∠ABC＝60°，BD
平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，
当CP+PQ取得最小值时，BQ的长是（ ）A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【解答】解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则PQ＝PH，BH＝BQ．
∴CP+PQ＝CP+PH，
∴当C、H、P三点在同一直线上，且CH⊥AB时，CP+PQ＝CH为最短．
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH＝ BC＝ 24＝12，
∴BQ＝12．
故选：C．
15．（2022秋•大连期末）如图，∠AOB＝30°，点D是它内部一点，OD＝m．
点E，F分别是OA，OB上的两个动点，则△DEF周长的最小值为（ ）
A．0.5m B．m C．1.5m D．2m
【答案】B
【解答】解：作D点关于AO的对称点G，作D点关于OC的对称点H，连
接GH交AO于点E，交OC于点F，连接GO，OH，由对称性可知，GE＝ED，DF＝FH，OG＝OD＝OH，
∴ED+DF+EF＝GE+EF+FH＝GH，
此时△DEF的周长最小，最小值为GH，
∵∠GOA＝∠AOD，∠DOC＝∠COH，
∴∠GOH＝2∠AOC，
∵∠AOC＝30°，
∴∠GOH＝60°，
∴△GOH是等边三角形，
∴GH＝OD，
∵DO＝m，
∴△DEF周长的最小值为m，
故选：B．
16．（2022 秋•晋安区期末）如图，在△ABC 中，AC＝BC＝8，∠ACB＝
4∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，
则CE+EF的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：作C点关于BD的对称点H，过H作HF⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF＝HE+EF≥HF，
∴CE+EF的最小值是HF的长，
∴CH⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠HBG＝∠GBC，
在△HBG和△CBG中，
，
∴△HBG≌△CBG（ASA），
∴BC＝BH，
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝4∠A，
∴∠A＝∠ABC，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝120°，∠ABC＝30°，BH＝BC＝8，
在Rt△BFH中， ，
∴CE+EF的最小值为4，
故选：B．
17．（2022秋•江门期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
AB＝10，BD 平分∠ABC，如果 M、N 分别为 BD、BC 上的动点，那么
CM+MN的最小值是（ ）A．2.4 B．3 C．4 D．4.8
【答案】D
【解答】解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S ＝ AB•CE＝ AC•BC，
△ABC
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8．
故选：D．
18．（2022秋•广州期中）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝
8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则
PC+PQ的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．2.4 D．4.8【答案】D
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P
作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S ＝ AB•CM＝ AC•BC，
△ABC
∴CM＝ ，
即PC+PQ的最小值为 ．
故选：D．
19．（2023•阿克苏市一模）已知在 Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB
＝5．点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小
值是 ．
【答案】 ．
【解答】解：作 F 关于 AC 的对称点 F'，延长 AF'、BC 交于点 B'，作
BD⊥AB'于D，
∴∠BAB'＝30°，EF＝EF'，
∴FE+EB＝BE+EF'，∴当B、E、F'共线且与AB'垂直时，BE+EF'长度最小，即求BD的长，
在△ABD中，BD＝ AB＝ ，
故答案为： ．
20．（2023•广西模拟）如图，∠AOB＝30°，M，N分别为射线OA，OB上的动
点，P为∠AOB内一点，连接PM，PN，MN．若OP＝5，则△PMN周长的
最小值为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：分别作点 P关于OA、OB的对称点 C、D，连接CD，分别交
OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA，
∵点P关于OB的对称点为D，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴ OC ＝ OD ＝ OP ＝ 5 ， ∠ COD ＝ ∠ COA+∠ POA+∠ POB+∠ DOB ＝
2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝5．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN＝CD＝5．
故答案为：5．
21．（2022秋•滑县校级期末）如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是射线OA，
OB上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝5，则△PMN的周长的最小值
为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：分别作点 P关于OA、OB的对称点 C、D，连接CD，分别交
OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，
∴CM＝PM，OP＝OC，∠COA＝∠POA．
∵点P关于OB的对称点为D，
∴DN＝PN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴ OC ＝ OD ＝ OP ＝ 5 ， ∠ COD ＝ ∠ COA+∠ POA+∠ POB+∠ DOB ＝ 2
（∠POA+∠POB）＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝5．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝5．
故答案为：5．【题型4：一定两动-求角度】
22．（2022秋•宛城区校级期末）如图，等边三角形 ABC的边长为6，AD是
BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上的一点，若 AE＝3，当
EF+CF取最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
【答案】B
【解答】解：如图：过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，边长为6，
∴AE＝3，∠BAC＝60°，
∴AE＝EC＝3，
∴AF＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，AD⊥BC，∴∠ECF＝30°．BF＝CF，
∴EF+CF＝BF+EF≥BE，
即当BE⊥AC时，EF+CF取最小值，
∴当EF+CF取最小值时，∠ECF的度数为30°．
故选：B．
23．（2022秋•和平区校级期末）如图，在四边形 ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
M，N 分别是 BC，AB 边上的动点，∠B＝58°，当△DMN 的周长最小时，
∠MDN的度数是（ ）
A．122° B．64° C．62° D．58°
【答案】B
【解答】解：延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF
交AB于N，交BC于M，
此时，△DMN的周长最小，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴DM＝FM，DN＝EN，
∴∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，
∵∠B＝58°，
∴∠ADC＝122°，
设∠MDN＝ ，
∴∠ADN+∠CDM＝122°﹣ ，
α
∴∠DNM+∠DMN＝2（122°﹣ ），
α
α∴a+2（122°﹣ ）＝180°，
解得： ＝64°，
α
故选：B．
α
24．（2023春•虹口区校级期末）如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝40°，
AD⊥BC 于点 D，点 P、Q 分别为 AD、AB 上的动点，联结 BP、PQ，当
BP+PQ最小时，∠PBD＝ 2 0 °．
【答案】20．
【解答】解：如图，过点C作CQ⊥AB，垂足为Q，
∵等腰△ABC，AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP，
当BP+PQ最小时，即CP+PQ最小，
∴此时C、P、Q共线，且CQ⊥AB，
∵∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∠ACQ＝50°，
∴∠QCB＝∠PBD＝20°，
故答案为：20．
25．（2023春•郫都区期末）如图，在四边形 ABCD中，∠C＝ ，∠B＝∠D＝
90°，点E、F分别在BC、DC上，当△AEF的周长最小时，用 的代数式表
β
示∠EAF，则∠EAF＝ 180 ° ﹣ 2 ．
β
β【答案】180°﹣2 ．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A'，A''，连接A'A''，交BC于E，
β
交CD于F，则A'A''即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠C＝180°，
∵∠C＝ ，
∴∠DAB＝180°﹣ ，
β
.∴∠HAA'＝ ，
β
∴∠AA'E+∠A''＝∠HAA'＝ ，
β
∵ ∠ EA'A ＝ ∠ EAA'' ， ∠ FAD ＝ ∠ A'' ， 且 ∠ EA'A+∠ EAA' ＝ ∠ AEF ，
β
∠FAD+∠A''＝∠AFE，
∴∠AEF+∠AFE＝∠EA'A+∠EAA'+∠FAD+∠A''＝2（∠AA'E+∠A''）＝2 ，
∴∠EAF＝180°﹣2 ．
β
故答案为：180°﹣2 ．
β
β
26．（2023春•遂平县期末）如图，在四边形 ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D
＝90°，E，F分别为BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度
数为 80 ° ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC
于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝50°，
∴∠DAB＝130°，
∴∠HAA′＝50°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，
∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：80°．
27．（2023春•金牛区期末）如图，锐角∠MON 内有一定点A，连结AO，点
B、C分别为OM、ON边上的动点，连结 AB、BC、CA，设∠MON＝ （0°
＜ ＜90°），当AB+BC+CA取得最小值时，则∠BAC＝ 180 ° ﹣ 2 ．（用
α
含 的代数式表示）
α α
α【答案】180°﹣2 ．
【解答】解：作点 A关于ON、OM的对称点A 、A ，连接OA 、OA ，连接
α 1 2 1 2
A A ，交OM于点B，交ON于点C．
1 2
此时AB+BC+CA取得最小值时为A A ．
1 2
由对称可知，
∠AOM＝A OM，∠AON＝∠A ON，∠BAO＝∠BA O，∠OAC∠OA C
2 1 2 1
∴∠A OA ＝2∠MON＝2 ，
1 2
∴∠OA A +∠OA A ＝180°﹣2 ，
1 2 2 1 α
∴∠BAC＝∠OA A +∠OA A ＝180°﹣2 ，
1 2 2 1 α
故答案为：180°﹣2 ．
α
α
