第十九章 一次函数
一、选择题(每题3分,共30分)
1.下列图象中,不能表示y是x的函数的是 ( )
2.第一次“龟兔赛跑”,兔子因为在途中睡觉而输掉比赛,很不服气,决定与乌龟再比一次,并
且骄傲地说,这次我一定不睡觉,让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢.结果兔子又一次输
掉了比赛,则下列路程(s)关于时间(t)的函数图象可以体现这次比赛过程的是 ( )
3.若点P在一次函数y=-x+4的图象上,则点P一定不在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
1
4.已知P(x,y),P(x,y)是正比例函数y=- x图象上的两点,下列判断中,正确的是 ( )
1 1 1 2 2 2
2
A.y>y B.y<y
1 2 1 2
C.当x<x 时,y<y D.当x<x 时,y>y
1 2 1 2 1 2 1 2
5.已知一次函数的图象经过点(0,3)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为3,则这个一次函
数的解析式为 ( )
A.y=1.5x+3 B.y=-1.5x+3
C.y=1.5x+3 或y=-1.5x+3 D.以上都不正确
6.下列图象不可能是一次函数y=mx-(m-6)的图象的是 ( )7.已知将直线y=(m-3)x-2向上平移m个单位长度后,直线不经过第三象限,则m的取值范围为
( )
A.m<2 B.2≤m≤3
C.-3<m≤2 D.2≤m<3
3
8.已知直线l:y=- x+3与直线x=a(a为常数)的交点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表
5
示正确的是 ( )
A B C D
9.如图,O是边长为4 cm的正方形ABCD的中心,M是BC的中点,动点P由点A开始沿
A→B→M方向匀速运动,到点M时停止运动,速度为1 cm/s.设点P的运动时间为t s,点P的
运动路径与OA,OP所围成的图形面积为S cm2,则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象
可以是 ( )
A B C D
10.甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2 400 m,先到终点的人原
地休息.已知甲先出发4 min,在整个步行过程中,甲、乙两人之间的距离y(m)与甲出发的时向
t(min)之间的函数关系如图所示,下列说法中正确的是 ( )
A.甲步行的速度为8 m/min
B.乙走完全程用了34 min
C.乙用16 min追上甲
D.乙到达终点时,甲离终点还有360 m
二、填空题(每题3分,共18分)
❑√x-1
11.函数y= 的自变量x的取值范围是 .
x-31
12.已知点A是直线y=x+1上一点,其横坐标为- ,若点B与点A关于y轴对称,则点B的坐标
2
为 .
13.如图,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,-2),则kb=
.
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.如图,已知直线y=-2x-1与直线y=4x-6交于点A,它们与x轴分别交于点B,C,点D,E分别是
线段AB,AC的中点,则线段DE的长度是 .
15.已知一次函数y=kx+b与y=x+a的图象如图所示,则下列结论:①k<0;②a>0;③关于x的
1 2
方程kx+
b=x+a的解为x=3;④当x>3时,y<y .其中正确的是 .(填序号)
1 2
16.某快递公司每天上午9:00-10:00为集中揽件和派件时段,甲仓库用来揽收快件,乙仓库用来
派发快件,该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(min)之间的函数图象如图所示,
那么当甲、乙两仓库快递件数相同时,此刻的时间为 .
三、解答题(共52分)
3
17.(6分)如图,一次函数y=-x+m的图象与y轴交于点B,与正比例函数y= x的图象交于点
2
P(2,n).
(1)求m和n的值;
(2)求△POB的面积.18.(8分)直线y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0)经过点
A,与y轴交于点C,且OC=OA.
(1)求点A的坐标及k的值;
(2)点C在x轴的上方,点P在直线y=-2x+4上,若PC=PB,求点P的坐标.
19.(8分)如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后,蓄电池剩余电量y(千瓦时)关于已行驶路
程x(千米)的函数图象.
(1)根据图象,直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程;当0≤x≤150时,求1
千瓦时的电量,汽车能行驶的路程;
(2)当150≤x≤200时,求y与x的函数解析式,并计算当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电
量.20.(8分)如图,直线y=kx+6(k≠0)与x轴、y轴分别交于点E,F.点E的坐标为(-8,0),点A的坐标
为(-6,0).
(1)求k的值;
(2)若点P(x,y)是第二象限内直线EF上的一个动点,在点P运动过程中,试写出△OPA的面积
S关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
27
(3)探究:当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为 ?请说明理由.
8
21.(10分)甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品,春节期间两家商场都让利酬宾,
其中甲商场所有商品按8折出售,乙商场对一次购物金额不超过200元的不打折,超过200元
后的部分打7折.设商品原价为x元,顾客购物金额为y元.
(1)根据题意,填写下表:
商品原价 100 150 250 …
甲商场购物金额/元 80 …
乙商场购物金额/元 100 …
(2)分别就两家商场的让利方式写出y与x的函数解析式;
(3)当x≥500时,选择哪家商场去购物更省钱?请说明理由.22.(12分)问题:探究函数y=|x|-2的图象与性质.
小华根据学习函数的经验,对函数y=|x|-2的图象与性质进行了探究.
下面是小华的探究过程,请补充完整:
(1)在函数y=|x|-2中,自变量x可以是任意实数;
(2)下表是y与x的几组对应值.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 1 0 -1 -2 -1 0 m …
①m= ;
②若A(n,8),B(10,8)为该函数图象上不同的两点,则n= ;
(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出以上表中各组对应值为坐标的点,并根据描出的点,画
出该函数的图象;
根据函数图象可得:
①该函数的最小值为 ;
1 1
②已知直线y= x- 与函数y=|x|-2的图象交于C,D两点,当y≥y时,x的取值范围是
1 1
2 2
.参考答案
1.B 【解析】 根据函数的概念,可知对于自变量x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值
与之对应,B项,当x取大于0的实数时,y有两个值与之对应,故B不能表示y是x的函数.故选
B.
2.B
3.C 【解析】 ∵-1<0,4>0,∴一次函数y=-x+4的图象经过第一、第二、第四象限,即不经
过第三象限.∵点P在一次函数y=-x+4的图象上,∴点P一定不在第三象限.故选C.
1 1
4.D 【解析】 因为正比例函数y=- x中的- <0,所以y随x的增大而减小,所以当x<x
1 2
2 2
时,y>y .故选D.
1 2
5.C 【解析】 设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),因为一次函数的图象经过点(0,3),
3
所以b=3,所以y=kx+3,令y=0,得x=- .因为函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为3,
k
1 3
所以3= ×3×|- |,解得k=±1.5,所以这个一次函数的解析式为y=1.5x+3 或 y=-1.5x+3.故选
2 k
C.
6.C 【解析】 当m>0时,-(m-6)可能是正数,可能是负数,也可能是零,所以A项,B项都可能
是一次函数y=mx-(m-6)的图象;当m<0时,m-6<0,-(m-6)>0,所以一次函数y=mx-(m-6)的图象
经过第一、第二、第四象限,所以C项不可能是一次函数y=mx-(m-6)的图象,D项可能是一次
函数y=mx-(m-6)的图象.故选C.
7.B 【解析】 将直线y=(m-3)x-2向上平移m个单位长度后,得到的直线的函数解析式为
y=(m-3)x-2+m,当m≠3时,因为该直线不经过第三象限,所以m-3<0,-2+m≥0,解得2≤m<3;当
m=3时,
y=1,不经过第三象限.综上,m的取值范围为2≤m≤3.故选B.8.D 【解析】 解法一 由 { y=− 3 x+3,)解得 { x=a, )因为直线l:y=-3x+3与直
5 3
y=− a+3, 5
x=a, 5
线x=a(a为常数)的交点
3
在第四象限,所以a>0,- a+3<0,所以a>5.故选D.
5
3
解法二 在y=- x+3中,令y=0,得x=5,所以直线l与x轴的交点为(5,0).因为直线l与直线
5
x=a的交点在第四象限,所以a>5.故选D.
1
9.A 【解析】 根据题意,可知当0≤t≤4时,S= ×t×2=t,它的函数图象是一条线段;连接OB,
2
1 1
当4<t≤6时,S=S +S = ×4×2+ ×(t-4)×2=4+t-4=t,它的函数图象也是一条线段,结合
△AOB △BOP
2 2
选项可知选A.
10.D 【解析】 由题图,得甲步行的速度为240÷4=60(m/min),乙追上甲用的时间为16-
4=12(min),故A,C错误;设乙步行的速度为x m/min,则12x=16×60,解得x=80,所以乙步行的
速度为80 m/min,所以乙走完全程用的时间为2 400÷80=30(min),故B错误;乙到达终点时,甲
离终点距离是2 400-(4+30)×60=
360(m),故D正确.故选D.
{x-1≥0,
)
11.x≥1且x≠3 【解析】 根据题意,得 解得x≥1且x≠3.
x-3≠0,
1 1 1 1 1 1
12.( , ) 【解析】 将点A的横坐标代入y=x+1,得y=- +1= ,∴点A的坐标为(- ,
2 2 2 2 2 2
1 1
).∵点B与点A关于y轴对称,∴点B的坐标为( , ).
2 2
13.-8 【解析】 ∵y=kx+b的图象与y=2x的图象平行,∴k=2.∵y=kx+b的图象经过点A(1,-
2),
∴2+b=-2,解得b=-4,∴kb=2×(-4)=-8.
1
14.1 【解析】 直线y=-2x-1与x轴的交点B的坐标为(- ,0),直线y=4x-6与x轴的交点C
2
3 1
的坐标为( ,0),所以BC=2,因为点D,E分别是线段AB,AC的中点,所以DE= BC=1.
2 215.①③④ 【解析】 根据题图,可知k<0,a<0,故①正确,②错误;因为两条直线的交点的横
坐标是3,所以方程kx+b=x+a的解为x=3,故③正确;当x>3时,y=x+a的图象在y=kx+b的图
2 1
象的上方,所以当x>3时,y<y ,故④正确.故正确的结论是①③④.
1 2
16.9:20 【解析】 设甲仓库的快件数量y与时间x的函数解析式为y=k x+40,则
1
60k+40=400,解得k=6,∴y=6x+40.设乙仓库的快件数量y与时间x的函数解析式为
1 1
{ y=6x+40, ) { x=20, )
y=k x+240,则60k+240=0,解得k=-4,∴y=-4x+240.由 解得 ∴此
2 2 2 y=−4x+240, y=160,
刻的时间为9:20.
3
17.【解析】 (1)因为点P(2,n)在函数y= x的图象上,
2
3
所以n= ×2=3,所以点P的坐标为(2,3).
2
把P(2,3)代入y=-x+m,得3=-2+m,
所以m=5.
(2)由(1)知,一次函数的解析式为y=-x+5,
令x=0,得y=5,
所以点B的坐标为(0,5),
1
所以S = ×5×2=5.
△POB
2
18.【解析】 (1)直线y=-2x+4与x轴交于点A,
令y=0,则-2x+4=0,解得x=2,
所以A(2,0).
因为OC=OA,所以C(0,2)或C(0,-2),
因为直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0)经过点A和点C,
{2k+b=0,) {2k+b=0,)
所以 或
b=−2 b=2,
解得k=1或k=-1.
(2)因为点C在x轴的上方,所以C(0,2).
因为B为直线y=-2x+4与y轴的交点,所以B(0,4).
因为B(0,4),C(0,2),PC=PB,
所以点P的纵坐标为3,
又点P在直线y=-2x+4上,1
把y=3代入y=-2x+4,解得x= ,
2
1
所以P( ,3).
2
19.【解析】 (1)蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米.
150
根据题意,得 =6(千米),
60−35
所以当0≤x≤150时,1千瓦时的电量,汽车能行驶的路程为6千米.
(2)当150≤x≤200时,设y与x的函数解析式为y=kx+b(k≠0),
把点(150,35),(200,10)代入,
{150k+b=35,) {k=−0.5,)
得 解得
200k+b=10, b=110,
所以y=-0.5x+110,
当x=180时,y=-0.5×180+110=20.
所以当150≤x≤200时,y与x的函数解析式为y=-0.5x+110,当汽车已行驶180千米时,蓄电池
的剩余电量为20千瓦时.
20.【解析】 (1)因为直线y=kx+6(k≠0)与x轴交于点E(-8,0),
3
所以0=-8k+6,解得k= .
4
(2)过点P作PH⊥x轴于点H,
因为点P(x,y)是第二象限内直线EF上的一个动点,
3
所以PH=y= x+6,
4
1 1 3 9
所以S= AO·PH= ×6×( x+6)= x+18(-8<x<0).
2 2 4 4
13 9 27
(3)当点P的坐标为(- , )时,△OPA的面积为 .理由如下:
2 8 8
27 9 27 13
当S= 时, x+18= ,解得x=- .
8 4 8 2
13 9
当x=- 时,y= .
2 8
13 9 27
所以当点P的坐标为(- , )时,△OPA的面积为 .
2 8 8
21.【解析】 (1)填表如下:
商品原价 100150250 …甲商场购物金额/元 80 120200 …
乙商场购物金额/元 100150235 …
(2)对于甲商场,y=0.8x(x≥0).
对于乙商场,当0≤x≤200时,y=x;
当x>200时,y=200+0.7(x-200)=0.7x+60,
所以y={ x(0≤x≤200), )
0.7x+60(x>200).
(3)令0.8x=0.7x+60,得x=600;
令0.8x<0.7x+60,得x<600;
令0.8x>0.7x+60,得x>600,
所以当购物金额按原价大于或等于500元而小于600元时,在甲商场购物省钱;
当购物金额按原价等于600元时,在两商场花钱一样多;
当购物金额按原价大于600元时,在乙商场购物省钱.
22.【解析】 (2)①1
把x=3代入y=|x|-2,得m=3-2=1.
②-10
把y=8代入y=|x|-2,得8=|x|-2,解得x=-10或10.
∵A(n,8),B(10,8)为该函数图象上不同的两点,
∴n=-10.
(3)函数图象如图所示.
①-2
②-1≤x≤3
1 1
在同一平面直角坐标系中画出函数y= x- 与函数y=|x|-2的图象如图所示,由图象,可知当
1
2 2
y≥y时,x的取值范围是-1≤x≤3.
1
