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押北京卷 21 题
数列压轴解答题
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
新定义数列 2023·北京卷T21
预测 2024 年新 所谓“新定义”型问题,主要是指在问题中定
高考命题方向 义了高中数学中没有学过的一些概念、新运
新定义数列 2022·北京卷T21 将继续新定义 算、新符号,要求同学们读懂题意并结合已有
数列为背景开 知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、
命题． 推理、迁移的一种题型.
新定义数列 2021·北京卷T21
1.（2023·北京卷T21）已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的 ，
在Q中存在 ，使得 ，则称Q为 连续可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
2.（2022·北京卷T21）已知数列 的项数均为m ，且 的前n项
和分别为 ，并规定 ．对于 ，定义 ，其
中， 表示数集M中最大的数.(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 ；
(3)证明：存在 ，满足 使得 ．
3.（2021·北京卷T21）设p为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为 数列：
① ，且 ；
② ；
③ ， ．
（1）如果数列 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 是否可能为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；
（3）设数列 的前 项和为 .是否存在 数列 ，使得 恒成立？如果存在，求出所有的
p；如果不存在，说明理由．
1、代数型新定义问题的常见考查形式
（1）概念中的新定义；
（2）运算中的新定义；
（3）规则的新定义等．
2、解决“新定义”问题的方法
在实际解决“新定义”问题时,关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息,确定
新定义的名称或符号、概念、法则等,并进行信息再加工,寻求相近知识点,明确它们的共同点和不同点,探
求解决方法,在此基础上进行知识转换,有效输出,合理归纳,结合相关的数学技巧与方法来分析与解决！1．已知无穷数列 是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合 ．
若对于集合A中的元素k，数列 中存在不相同的项 ，使得 ，则称数列
具有性质 ，记集合 数列 具有性质 ．
(1)若数列 的通项公式为 写出集合A与集合B；
(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当 时，
证明： ；
(3)若 满足 ，证明： ．
2．已知： 为有穷正整数数列，其最大项的值为 ，且当 时，
均有 .设 ，对于 ，定义 ，其中，
表示数集M中最小的数.
(1)若 ，写出 的值；
(2)若存在 满足： ，求 的最小值；
(3)当 时，证明：对所有 .
3．已知数列 ，记集合 .
(1)若数列 为 ，写出集合 ；
(2)若 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的 ；若不存在，说明
理由；
(3)若 ，把集合 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 ， 若 ，求 的最大值．
4．已知数列 满足： 且 ，记集合 .
(1)若a=6，写出集合M的所有元素；
1
(2)如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
(3)求集合M的元素个数的最大值.
5．已知：正整数列 各项均不相同， ，数列 的通项公式
(1)若 ，写出一个满足题意的正整数列 的前5项：
(2)若 ，求数列 的通项公式；
(3)证明若 ，都有 ，是否存在不同的正整数 ，j，使得 ， 为大于1的整数，其中
.
6．若数列 满足 ，则称数列 为 数列.记
.
(1)写出一个满足 ，且 的 数列；
(2)若 ，证明： 数列 是递增数列的充要条件是 ；
(3)对任意给定的整数 ，是否存在首项为1的 数列 ，使得 ？如果存在，写出一个满足
条件的 数列 ；如果不存在，说明理由.
7．已知无穷数列 满足 ，其中 表示x，y中最大的数， 表示x，y中最小的数.
(1)当 ， 时，写出 的所有可能值；
(2)若数列 中的项存在最大值，证明：0为数列 中的项；
(3)若 ，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有 ？如果存在，写出一
个满足条件的M；如果不存在，说明理由.
8．已知等比数列 的公比为q（ ），其所有项构成集合A，等差数列 的公差为d（ ），
其所有项构成集合B．令 ，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列 ．
(1)若集合 ，写出一组符合题意的数列 和 ；
(2)若 ，数列 为无穷数列， ，且数列 的前5项成公比为p的等比数列．
当 时，求p的值；
(3)若数列 是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列 ，使 ”的充要条件是“d是正有
理数”．
9．已知有穷数列 满足 ．给定正整数m，若存在正
整数s， ，使得对任意的 ，都有 ，则称数列A是 连续等项数列．
(1)判断数列 是否为 连续等项数列？是否为 连续等项数列？说明理由；
(2)若项数为N的任意数列A都是 连续等项数列，求N的最小值；
(3)若数列 不是 连续等项数列，而数列 ，数列 与数列
都是 连续等项数列，且 ，求 的值．10．若有穷自然数数列 ： 满足如下两个性质，则称 为 数列：
① ，其中， 表示 ，这 个
数中最大的数；
② ，其中， 表示 ，这
个数中最小的数.
(1)判断 ：2，4，6，7，10是否为 数列，说明理由；
(2)若 ： 是 数列，且 ， ， 成等比数列，求 ；
(3)证明：对任意 数列 ： ，存在实数 ，使得 .（ 表示不超
过 的最大整数）
