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专题 06 代数式实际应用的两种考法全梳理
目录
【考法一、分段计费问题】...........................................................................................................1
【考法二、方案问题】...................................................................................................................4
【课后练习】..................................................................................................................................8
【考法一、分段计费问题】
例．某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）：
用户月用水量 单价
不超过 的部分 a元
超过 但不超过 的部分 元
超过 的部分 元
(1)当 时，某户一个月用了 的水，求该户这个月应缴纳的水费．
(2)设某户月用水量为 ，该户应缴纳的水费为 元．
(3)当 时，甲、乙两户一个月共用水 ，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户
这个月用水 ，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)当 时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费 元；当 时，甲，乙
两户一个月共缴纳的水费 元；当 时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费
元
【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可；
（2）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可；
（3）分当 时，当 时，当 时，三种情况根据所给的收费标
准讨论求解即可．
【详解】（1）解：
（元），∴该户这个月应缴纳的水费为 元；
（2）解：
（元），
故答案为： ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
当 时，甲用水量超过 但不超过 ，乙用水量超过 ，
∴
元；
当 时，甲的用水量超过 ，乙的用水量超过 但不超过 ，
∴
元，
当 时，甲的用水量超过 ，乙的用水量不超过 ，
∴
元；
综上所述，当 时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费 元；当 时，
甲，乙两户一个月共缴纳的水费 元；当 时，甲，乙两户一个月共缴纳的
水费 元．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，
正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
变式1．某水果批发市场苹果的价格如下表：
价目表
购买苹果（千克） 单价
不超过20千克的部分 6元/千克
超过20千克但不超过40千克的部分 5元/千克
超过40千克的部分 4元/千克
(1)小明第一次购买15千克苹果，需要付费_________元；(2)小明第二次购买苹果 千克（ 超过20千克但不超过40千克）需要付费__________元
（用含 的式子表示）
(3)小强分两次共买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买数量，且第一次购买的数
量为 千克，请问两次购买水果共需要付费多少元？（用含 的式子表示）
【答案】(1)90；
(2) ；
(3)当 时，( )元；当 时，( )元；当 时， 元．
【分析】（1）图中可以知道：15千克在“不超过20千克的总分”按6元/千克收费，再计
算即可；
（2）按x超过20千克但不超过40千克，前面的20千克按6元/千克来收费，后面多余的
千克按5元/千克来收费，最后再把2个费用相加；
（3）“小强分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量”可以知道
第一次购买的数量要小于50千克；分 、 、 三种情况讨论计
算即可．
【详解】（1）解： （元），
∴小明第一次购买15千克苹果，需要付费90元．
故答案为：90；
（2）∵过20千克但不超过40千克，前面的20千克按6元/千克来收费，后面多余的
千克按5元/千克来收费，
∴ 元．
故答案为： ；
（3）∵再次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，
∴ ，第二次购买 千克；
当 时，则 ；
需要付费为：
（元）；
当 时，则 ，
需要付费为：
（元）；
当 时，则 ，
需要付费为：（元）．
【点睛】本题考查了列代数式．整式的加减运算，利用了分类讨论的思想；比较容易出错，
需要把每一段的总费用算出来，然后再相加．
变式2．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水
的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表．
价目表
每月用水量 单价
不超出6立方米的部分 2元/米
超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米
超出10立方米的部分 8元/米
注：水费按月结算
（1）若某户居民7月份用水9立方米，求该用户7月份应交水费．
（2）若某户居民8月份用水a立方米 ，则该用户8月份应交水费多少元（用含
a的整式表示，结果要化成最简形式）？
（3）若某户居民9，10月份共用水15立方米（10月份用水量多于9月份），设9月份用
水x立方米．
①该用户9月，10月共交水费最多可能达到几元？最少呢？简要说明你的想法．
②求该户居民9，10月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）．
【答案】（1）7月份应交水费24元；（2）8月份应交水费（4a-12）元；（3）①最多为
68元，最少为36元，理由见解析；②当 ，共交水费（-6x+68）元， ，共
交水费（-2x+48）元，当 时，共交水费36元．
【分析】（1）由题意可知：9立方米超过了6立方米，所以6立方米需按每立方米2元的
单价收费，3立方米需按每立方米4元的单价收费；
（2）由题意可知：a立方米超过了6立方米，所以6立方米需按每立方米2元的单价收费，
a-6立方米需按每立方米4元的单价收费；
（3）①根据图表可知，超出10立方米的部分最多，水费越大，若不超过10立方米，且6
立方米内的越多，水费越少，据此作答；②根据10月份用水量超过了9月份，得到9月份
用水量少于7.5m3，分9月份得用水量少于5m3时，10月份用水量超过10m3；9月份用水
量不低于5m3，但不超过6m3时，10月份用水量不少于9m3，但不超过10m3；9月份用水
量超过6m3，但少于7.5m2时，10月份用水量超过7.5m3但少于9m3三种情况分别求出水费
即可．
【详解】解：（1）根据题意得：6×2+3×4=24元，故该用户7月份应交水费24元；
（2）根据题意得：4（a-6）+6×2=（4a-12）元
该用户8月份应交水费（4a-12）元；
（3）①若要使9月，10月共交水费最多，则超出10立方米的部分最多，
即当9月份用水0立方米,10月份用水15立方米时，费用最多为：
元，
若要使9月，10月共交水费最少，则不超过10立方米，且6立方米内的越多，水费越少，
即当9月份用水6立方米,10月份用水9立方米或9月份用水7立方米,10月份用水8立方米
时，费用最少为： 元；
②根据10月份用水量超过了9月份，得到9月份用水量少于7.5m3，
当9月份得用水量少于5m3时，10月份用水量超过10m3，
此时共交水费：2x+8（15-x-10）+4×4+6×2=（-6x+68）元；
9月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，10月份用水量不少于9m3，但不超过10m3，
此时共交水费：2x+6×2+4（15-x-6）=（-2x+48）元；
当9月份用水量超过6m3，但少于7.5m3时，10月份用水量超过7.5m3但少于9m3，
则共交水费：4（x-6）+6×2+4（15-x-6）+6×2=36（元）．
综上所述，当 ，共交水费（-6x+68）元， ，共交水费（-2x+48）元，当
时，共交水费36元．
【点睛】本题考查列代数式，整式的加减的应用，找出题目蕴含的数量关系，能分段计算
是解决问题的关键．
【考法二、方案问题】
例．郑东新区九年制实验学校体育组准备在网上为学校订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球
在查阅京东网店后发现羽毛球拍一副定价40元，羽毛球每个定价5元．“双十一”期间
A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
A网店：买一副球拍送1个羽毛球；
B网店：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款．
已知要购买羽毛球拍30副，羽毛球x个(x＞30)：
(1)若在A网店购买，需付款_____元(用含x的代数式表示)；若在B网店购买，需付款
_______元．(用含x的代数式表示)；
(2)若x＝40时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？
(3)当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出需
付款多少元？
【答案】(1)(5x+1050)，(4.5x+1080)；(2)在A网店购买合算；(3)先在A网店购买30副羽毛
球拍，送30个羽毛球需1200元，差10个羽毛球在B网店购买需45元，共需1245元．【分析】（1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可；
（2）把x＝40代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可；
（3）根据两种方案的优惠方式，可得出先A网店购买30副羽毛球拍，送30个羽毛球，另
外10副羽毛球拍在B网店购买即可．
【详解】解：(1)A网店购买需付款30×40+(x﹣30)×5＝(5x+1050)元；
B网店购买需付款40×90%×30+5×90%×x＝(4.5x+1080)元．
故答案为(5x+1050)，(4.5x+1080)；
(2)当x＝40时，
A网店需5×40+1050＝1250(元)；
B网店需4.5×40+1080＝1260(元)；
所以按A网店购买合算；
(3)先A网店购买30副羽毛球拍，送30个羽毛球需1200元，差10个羽毛球B网店购买需
45元，共需1245元．
【点睛】此题考查列代数式，理解两种方案的优惠方案，得出运算的方法是解决问题的关
键．
变式1．某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50人时，
旅行社给出两种优惠方案：
方案一：研学团队先交1500元后，每人收费240元；
方案二：5人免费，其余每人收费打九折（九折即原价的 ）
(1)用代数式表示，当参加研学的总人数是 人时，
用方案一共收费 元；
用方案二共收费 元；
(2)当参加旅游的总人数是80人时，采用哪种方案省钱？说说你的理由．
【答案】(1) ；
(2)方案二省钱，理由见解析
【分析】本题考查了列代数式和求代数式的值：
（1）方案一的收费为： 元，方案二收费为： 元；
（2）把 代入两个代数式，进而比较即可．
【详解】（1）解：方案一的收费为： 元，
方案二收费为： 元；
故答案为： ； ．
（2）解：把 代入 （元），
把 代入 （元），
∵ ，
∴方案二省钱．变式2．日常生活中，人们经常面临需要排队的情形，某小组想要知道是否可以通过安排
排队方式的方法让人们的排队时间更短：
实验研究：现有一个办事窗口，人们需要排队进行办公，每个人办事的时间称为他自身的
办公时间，一个人除去自身办公以外所需消耗时间称为这个人的排队时间．如：若第一个
人的办公时间为3，第二个人的办公时间为4，那么第一个人排队时间为0，第二个人排队
时间为3，第三个人的排队时间为7．不难发现，对每个人来说满足排队时间最短的方式是
排在队伍的首位，这时排队时间为0，但这对每个人来说不能同时满足．于是小组希望研
究出最合适的安排可以使所有人的总排队时间最短．假设现有三人需要排队办公，分别为
甲、乙、丙，他们的办公时间分别为20、23、29．
数据计算：对三种排队方案进行计算比较．
方案一：排队方式顺次为甲、乙、丙，则排队时间为 ．
方案二：排队方式顺次为乙、丙、甲，则排队时间为 ．
方案三：排队方式顺次为丙、乙、甲，则排队时间为 ．
实验结论：对比可知，方案 的排队时间最短．（填“一”、“二”、“三”）
推广证明：甲、乙、丙三人排队办公，他们的办公时间分别为 （其中 ），请
给出所有的排队方式，从中选出排队时间最短的方案并证明．
【答案】 ； ； ，一，所有的排队方式见解析，方案一总排队时间最短，证明见解
析
【分析】本题考查了有理数加法的应用，整式加减法的应用，准确理解题意是解题的关键．
数据计算：分别计算每种方案的排队时间；实验结论：进行比较即可；推广证明：先分别
表示出每种方案的排队时间，再作差进行比较即可．
【详解】数据计算：
方案一：总排队时间为 ；
方案二：总排队时间为 ；
方案三：总排队时间为 ；
实验结论：
∵ ，
∴方案一的排队时间最短；
故答案为：63,75,81，一；
推广证明：
方案一：排队方式顺次为甲、乙、丙，则总排队时间为 ；
方案二：排队方式顺次为甲、丙、乙，则总排队时间为 ；
方案三：排队方式顺次为乙、甲、丙，则总排队时间为 ；
方案四：排队方式顺次为乙、丙、甲，则总排队时间为 ；
方案五：排队方式顺次为丙、甲、乙，则总排队时间为 ；
方案六：排队方式顺次为丙、乙、甲，则总排队时间为 ．∵ ，
方案一比方案二总排队时间短，
∵ ，
∴方案一比方案三总排队时间短，
∵ ，
方案一比方案四总排队时间短，
∵ ，
方案一比方案五总排队时间短，
∵ ，
方案一比方案六总排队时间短，
综上所述，方案一总排队时间最短．
【课后练习】
1．某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）：
用户月用水量 单价
不超过 的部分 a元/
超过 但不超过 的部
1．5a元/
分
超过 的部分 2a元/
(1)当 时，某户一个月用了 的水，求该户这个月应缴纳的水费．
(2)设某户月用水量为 ，当 时，该户应缴纳的水费为_______元（用含a，n的式
子表示）．
(3)当 时，甲、乙两户一个月共用水 ，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户
这个月用水 ，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)当 时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费 元；当 时，甲，乙
两户一个月共缴纳的水费 元；当 时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费
元
【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可；（2）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可；
（3）分当 时，当 时，当 时，三种情况根据所给的收费标
准讨论求解即可．
【详解】（1）解：
元，
∴该户这个月应缴纳的水费为 元；
（2）解：
元，
∴当 时，该户应缴纳的水费为 元；
故答案为： ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
当 时，甲用水量超过 但不超过 ，乙用水量超过 ，
∴
元；
当 时，甲的用水量超过 ，乙的用水量超过 但不超过 ，
∴
元，
当 时，甲的用水量超过 ，乙的用水量不超过 ，
∴
元；
综上所述，当 时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费 元；当 时，
甲，乙两户一个月共缴纳的水费 元；当 时，甲，乙两户一个月共缴纳的
水费 元．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，
正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
2．A、B两处粮库分别有水稻100 t和400 t，全部运送到C、D两米厂加工，而C、D米厂分别能加工水稻150 t和350 t；已知从A、B两处米厂的运价如下表：
到C厂运价 到D厂运价
A粮库 每吨15元 每吨10元
B粮库 每吨12元 每吨12元
（1）若从B粮库运到C地的水稻为x（50＜x＜150）吨，则从B粮库运到D地的水稻为
t；从A粮库将水稻运往D地的运输费用为 元；
（2）用含x的式子表示出总运输费．（要求：列出算式，并化简）
（3）当x=100时，求总运输费用．
【答案】（1）（400-x）、（10x-500）；（2）总运费为（6550-5x）元；（3）6050元．
【分析】（1）由B粮库有水稻400t全部运出，可得从B粮库运到D地的水稻=400t-从B粮
库运到C地的水稻，则第一个空可解；先用x表示出从A粮库将水稻运往D地的吨数，再
乘以10则第二个空可解．
（2）据题意先用x分别表示出从A粮库将运往D地C地的水稻质量、从B粮库运到C地D
地的水稻质量，再乘以相应的运费单价，最后相加即可用x表示出总费用．
（3）把x=100代入到（2）所得到的代数式中求值即可．
【详解】（1）：∵从B粮库运到C地的水稻为x（50＜x＜150）吨且B粮库有水稻400t全
部运出
∴从B粮库运到D地的水稻为（400-x）t；
∴由表格知从B粮库将水稻运往C、D地的运输费用分别为12x元和12(400-x)元；
∵D地能加工水稻350
∴从A粮库运往D地的水稻为 （t）
∴由表格知从A粮库将水稻运往D地的运输费用为 （元）；
故答案为：（400-x）；（10x-500）
（2）∵A粮库有水稻100t且全部运出
∴从A粮库运往C地的水稻为100-(x-50)=150-x(t)
∴由表格知从A粮库将水稻运往C地的运输费用为15(150-x)元．
∴运输的总费用为：
=
= （元）．
（3）把x=100代入到-5x+6550中得
-5x+6550=-500+6550=6050（元）
答：当x=100时，总费用为6050元．
【点睛】此题考查列代数式解决实际问题．关键是理解题意和表格，从中抽象出相等关系．
3．某水果超市新进了一批秋月梨，每斤8元．为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负．超市记录了
第一周秋月梨的售价情况和售出情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
每斤价格相对于标准价格/元
售出斤数 20 35 10 30 15 5 50
(1)这一周超市售出的秋月梨单价最低的是星期______．
(2)这一周超市出售此种秋月梨的收益如何？（求盈利或亏损的钱数，售价 进价 为盈
利；售价 进价 为亏损）
(3)超市为了促销这种秋月梨，决定从下周一起推出两种促销方式：
方式一：购买不超过5斤秋月梨，每斤12元；超出5斤的部分，每斤打9折．
方式二：每斤售价10元．
顾客买 斤秋月梨，按照方式一购买需要______元，按照方式二购买需要______元．
（均用含a的代数式表示）
【答案】(1)日
(2)这一周超市出售此种苹果盈利130元
(3) ，
【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的计算，代数式表示数．
（1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可得结论；
（2）计算总进价和总售价，比较即可；
（3）根据两种购买方式列式化简即可．
【详解】（1）解： ，
∴这一周超市售出的秋月梨单价最底的是星期日．
故答案为：日；
（2）解： （元），
（元），
（元）．
答：这一周超市出售此种苹果盈利130元；
（3）方式一： 元；
方式二： （元）；
故答案为： ， ．
4．今年春季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙两种土特产
去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装
运甲种土特产的汽车有 辆，根据如表提供的信息，解答以下问题：土特产种类 甲 乙
每辆汽车运载量（吨） 4 3
每吨土特产利润（元） 140 160
(1)这10辆汽车中有________辆汽车装运乙种土特产，共装运________吨土特产（用含有
的式子表示并化简）；
(2)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有 的式子表示并化简）．
(3)现为了促销，公司决定甲种土特产每吨让利 元，乙种土特产每吨利润不变，若无论装
运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变，求 的值．
【答案】(1) ，
(2) 元
(3)
【分析】本题考查了列代数式，整式的加减的应用，理解题意，正确列出代数式是解此题
的关键．
（1）由装运甲种土特产的汽车有 辆，得出装运乙种土特产的汽车有 辆，再结合
表格内的数据，可表示出10辆汽车装运土特产的数量；
（2）用装运甲、乙土特产的量分别乘以它们每吨的利润即可；
（3）先表示出总利润的表达式，再根据“无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的
土产品销售完后，总利润都保持不变”即可得出 ，从而得到答案．
【详解】（1）解： 装运甲种土特产的汽车有 辆，
装运乙种土特产的汽车有 辆，
装运的总量为 （吨），
故答案为： ， ；
（2）解：由题意得，销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为
元；
（3）解：由题意得，总利润为
元，
∵无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变，
∴总利润与 的值无关，
∴ ，
∴ ．
5．习近平总书记强调：“加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展，
帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志”．体育是教育的重要组成部分，也包括塑造品格、养成精神．某校为积极响应国家的号召，决定添置一批体育
器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，足球每个140元，跳绳每条定价30元．
现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一
条跳绳，B网店：足球和跳绳都按定价的 付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（
）．
(1)若在A网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款 元．
（用含x的代数式表示）
(2)当 时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？
(3)当 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付
款多少元？
【答案】(1) ；
(2)在A网店购买较为合算
(3)当 时，先从A网店购买60个足球，再从B网店购买140条跳绳．共计付款12180
元．
【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，利用A，B两个网店的优惠方案分别
计算足球与跳绳的付费金额是解题的关键．
（1）利用A，B两个网店的优惠方案分别计算足球与跳绳的付费金额再相加即可；
（2）将 分别代入两个代数式计算通过比较结果即可得出结论；
（3）通过计算得出方案：先从A网店购买60个足球，送60条跳绳，再从B网店购买140
条跳绳即可．
【详解】（1）解：若在A网店购买，需付款： 元；
若在B网店购买，需付款： 元．
故答案为： ； ；
（2）当 时，
（元），
（元），
，
∴在A网店购买较为合算．
（3）当 时，先从A网店购买60个足球，再从B网店购买140条跳绳
（元）．
∴当 时，先从A网店购买60个足球，再从B网店购买140条跳绳．共计付款12180
元．
6．某超市在元旦期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠办法低于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 九折优惠，折后可使用30元优惠券
其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分
不低于500元
给予八折优惠，折后可使用40元优惠券
(1)王老师一次性购物600元，他实际付款______元．
(2)若顾客在该超市一次性购物 元，当 低于500元但不低于200元时，他实际付款
______元，当 不低于500元时，他实际付款______元．（用含 的代数式表示）
(3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为 元 ，用含
的代数式表示；两次购物王老师实际共付款多少元？
【答案】(1)
(2) ，
(3) 元
【分析】
本题考查列代数式，解答此类问题的关键是明确题意，列出形应的代数式.
（1）根据题意可以求得甲顾客一次性购物 元实际付款额；
（2）根据题意可以用相应的代数式表示出题目中的问题；
（3）根据题意可以求得丙顾客两次购物实际付款额.
【详解】（1）由题意可得：
(元) ，
故答案为: ；
（2）由题意可得，当 时, 他实际付款: 元，
当 时，他实际付款： 元，
故答案为: ， ；
（3）由题意可得, 元 ,
即丙顾客两次购物实际付款合计 元.
