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专题06 全等模型-角平分线模型
角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各
类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全
等模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1， 为 的角平分线、 于点A时，过点C作 .
结论： 、 ≌ .
图1 图2
常见模型1（直角三角形型）
条件：如图2，在 中， ， 为 的角平分线，过点D作 .
结论： 、 ≌ .（当 是等腰直角三角形时，还有 .）
图3
常见模型2（邻等对补型）
条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。结论：① ；② ；③ .
例1．（2023秋·山东菏泽·八年级统考期末）如图，在 中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交 于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线 交 于点G．如果 ， ， 的面积为18，则 的面积为（ ）
A．20 B．36 C．27 D．
例2．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图， 的外角 的平分线 与内角 的平
分线 交与点P，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形 中， ，点O为 的中点，
且 平分 ．(1)求证： 平分 ；(2)求证： ；(3)求证： ．
例4．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当
点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD
与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线
BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1， 为 的角平分线， ，
结论：△AOC≌△BOC， 是等腰三角形、 是三线合一等。
图1 图2 图3
条件：如图2， 为 的角平分线， ，延长BA，CE交于点F.
结论：△BEC≌△BEF， 是等腰三角形、BE是三线合一等。例1．（2023·浙江宁波·八年级校考期中）如图，△ABC的面积为16，∠PBC与∠PAB互余，AP⊥BP，则
△PBC的面积 ．
例2．（2022·绵阳市·九年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．
（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC= ∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线
段CE与线段FM的数量关系．
例3．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）情景观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，
AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．
①写出图1中所有的全等三角形 ；②线段AF与线段CE的数量关系是 ，并写出证明过程．
问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点
E．
求证：AE=2CD．模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）
【模型解读与图示】
条件：如图， 为 的角平分线，A为任意一点，在 上截取 ，连结 .
结论： ≌ ，CB=CA。
条件：如图， 分别为 和 的角平分线， ，在 上截取 ，连结
.
结论： ≌ ， ≌ ，AB+CD=BC。
例1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为
．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，
写思路，求出度数）．
例2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， 是 的平分线，
延长 至点 ， ，试求 的度数．
例3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分
∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
例4．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在 中，满足 ，(1)【问题解决】如图1，当 ， 为 的角平分线时，在 上取一点 使得 ，连接
，求证： ．(2)【问题拓展】如图2，当 ， 为 的角平分线时，在 上
取一点 使得 ，连接 ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．
(3)【猜想证明】如图3，当 为 的外角平分线时，在 的延长线上取一点 使得 ，连接
，线段 、 、 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
课后专项训练
1．（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）如图， 中， ， 的角平分线 、
相交于点 ，过 作 交 的延长线于点 ，交 于点 ，则下列结论：① ；
② ；③ ；④ 四边形 ，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2023春·广东深圳·八年级统考开学考试）如图，在 中， ， 是 边上的高，
是 的平分线， 交 于点F，下面说法：① ；② ；③ ；④
．其中正确的说法有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023春·山东威海·七年级统考期末）如图，在 中， ， ， ， 分别
是 和 的角平分线， ， 交于点O，分别过点O作 于点M，作 于点
N．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2023春·广东惠州·八年级校考开学考试）如图，在 中， 平分 ， ，
，则 与 之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图， ， 和 分别平分 和 ， 过
点P且与 垂直，若 ， ，则 的面积为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．806．（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，在 中， 交 于点 平分
交 于点 的面积为20，则 的长为 ．
7．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在 中， ， ．以点 为圆心，任意
长为半径画弧，分别交 、 边于点 、 ；再分别以 、 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧
交于点 ；作射线 交 边于点 ．若 的面积为 ，则 的面积为 ．
8．（2023春·山东枣庄·八年级校联考阶段练习）如图所示，已知直线 平分 且 ，求
与 之间的关系并说明理由．
9．（2023·重庆·八年级专题练习）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目
中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1， 是 内一点，且 平分 ， ，连接 ，若 的面积为10，求
的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点 作 交 延长线于点 ， 、 交于点 ，
平分 ， ．
， ．
在 和 中， ，
（依据1）
（依据2）， ，
， ．
……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在 中， ， ， 平分 交 于点 ，过点 作 交
延长线于点 ．若 ，求 的长．10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，
BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝ CD．
11．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，BD是 的平分线， ．
2 求证： ．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D
为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度
数．
13．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形 中， ，点E是 的中点， 平分
．求证： 是 的平分线．
14．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形 中， ，点E为 的中点，且
平分 ．(1)求证： 平分 ；(2)求证： ．
15．（2022春·江西萍乡·八年级统考期中）已知 是 的平分线，点P是射线 上一点，，点C、D分别在射线 、 上，连接 、 ．(1)如图①，当 ， 时，则
与 的数量关系是___________．(2)如图②，点C、D在射线 、 上滑动，且 ，当
时 与 在（1）中的数量关系还成立吗?说明理由．(3)在问题（2）中，则四边形 的面
积S是否会发生变化?若不会发生变化，请直接写出面积S的值，若发生变化，请说明理由
16．（2022·江苏·一模）如图，已知 ，AE，BD是 的角平分线，且交于点P．
（1）求 的度数．（2）求证：点 在 的平分线上．（3）求证：① ；② ．
17．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在 中， 分别平分 ，交 于点
．
(1)求证： ；(2)过点 作 ，垂足为 ．若 的周长为56， ，求
的面积．18．（2023·广西钦州·八年级校考阶段练习）
(1)感知：如图 ， 平分 ， ， 易知： （不需证明）
(2)探究：如图 ， 平分 ， ， 求证： ．
(3)应用：如图 ，四边形 中， ， ， ， ，求证：
．
