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专题 06 利用等腰三角形的三线合一作辅助线的二类综合题型
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典例详解
类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线
类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高
压轴专练
类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线
模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线
直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。
连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2.
例1．如图，已知 中， ， ，直角 的顶点P是 中点，两边 、 分
别交 、 的延长线于点E、F．求证： ；【变式1-1】如图，在 中， ，过 的中点 作 ， ，垂足分别为 、 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【变式1-2】如图，在 中， ，D是 的中点，过A作 ，且 ．求证：
(1) ；
(2) ．
【变式1-3】如图，在 中， ， ， 为 边的中点，点 、 分别在射线
、 上，且 ， 连接 ．
(1)如图1，当点 、 分别在边 和 上时，连接 ，
① 证明 ： ．
② 直接写出 ， 和 的关系是：
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边 、 的延长线上时， ， 和 的关系是：
(3)应用：若 ， ，利用上面探究得到的结论，求 的面积．类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高
1.三线合一性质核心应用：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。即使底边
无中点，作底边的高后，高同时成为底边中线，可将等腰三角形分成两个全等直角三角形，利用直角三
角形性质（如勾股定理）求解边长、角度等。
2.辅助线与转化思想：作高是关键辅助线，将等腰三角形转化为直角三角形，把非中点条件转化为中点
条件，结合全等三角形判定（HL）和直角三角形边角关系，实现未知量向已知量的转化，体现几何中化
归的重要思想。
例2．在 中，点 是边 上的两点．
(1)如图1，若 ， ．求证： ；
(2)如图2，若 ， ，设 ， ．
①猜想 与 的数量关系，并说明理由；
②在①的条件下， ，请直接写出 的度数．
【变式2-1】已知在 中， ，且 ，作等腰 ，使得 ．
(1)如图1，若 与 互余，则 ___________；（用含 的代数式表示）
(2)如图2，若 与 互补，过点C作 于点H，求证： ；
(3)若 与 的面积相等，请直接写出 的度数．（用含 的式子表示）
【变式2-2】在 中， ，过点C作射线 ，使 （点 与点B在直线 的
异侧）点D是射线 上一动点（不与点C重合），点E在线段 上，且 ．(1)如图1，当点E与点C重合时， 与 的位置关系是 ，若 ，则 的长为 ；（用含a的式子
表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
一、单选题
1．如图， 中， ，D是 中点，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． 平分
C． D．
2．如图，已知 的面积为12， 平分 ，且 于点 ，则 的面积是（ ）A．10 B．8 C．6 D．4
3．如图，在等腰 中 ， ，点 D 为边 的中点，点E在边 上， ．
若点P是等腰 的腰 上的一点，当 为等腰三角形时，则 的度数是（ ）
A． B． C． D． 或
4．如图，在 中， 平分 为垂足，则下列结论：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
5．如图，在 中， 是边 上的中线．若 ，则 的度数为 ．
6．如图，在 中， 是 边上的中线，作 ，交 的延长线于点E．已知
，那么 ．7．如图，在 中， ， ，把一块含 角的三角板 的直角顶点 放在 的中
点上（两直角边 ， 分别与 ， 相交），则三角板 与 重叠部分的面积是 ．
8．如图，在 中， 是 边上的高，过点A作 ，并且使 ，F是 上一点，连
接 ，使 ， 交 于G，H两点，若 ，则
三、解答题
9．如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ， 为线段 的中点，
．
(1)求证： ；
(2)若 ，则 的度数为 ___________．10．如图，点D、E在 的 边上， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
11．如图．已知 中， ，点D是边 上一点．连结 ，过点D作 ，交 于
点E，且有 ．求证：
(1) ；
(2) ．
12．如图1，在 中， ， ，点P是斜边 的中点，点D，E分别在边 上，
连接 ，若 ．
(1)求证： ；
(2)若点D，E分别在边 的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；
(3)在（1）或（2）的条件下， 是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出 的度数（不用说
理）；若不能，请说明理由．
13．已知 中， ， ．点 从点 出发沿射线 移动，同时点 从点 出发沿线段
的延长线移动，点 、 移动的速度相同， 与直线 相交于点 ．(1)如图①，过点 作 交 于点 ，求证： ；
(2)如图②，当点 为 的中点时，求 的长；
(3)如图③，过点 作 于点 ，在点 从点 向点 移动的过程中，线段 的长度是否保持不变？
若保持不变，请求出 的长度，若改变，请说明理由．
14．已知 平分 ，如图1所示，点B在射线 上，过点B作 于点A，在射线 上取
一点C，使得 ．
(1)若线段 ，求线段 的长；
(2)如图2，点D是线段 上一点，作 ，使得 的另一边交 于点E，连接
．
① 是否成立，请说明理由；
②请判断三条线段 的数量关系，并说明理由．
