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专题06 整式的乘法与因式分解易错必刷题型专训（84题28个考点）
【易错必刷一 同底数幂的乘法及其逆用】（共3小题）
1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算 的结果有① ；② ；③ ；④
，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算 ，则x等于 ．
3．（2023七年级下·全国·专题练习）如果 ，那么我们规定 ，例如：因为 ，所以
(1)根据上述规定，填空：
， ；
(2)记 ， ， ．求证： ．
【易错必刷二 科学记数法】（共3小题）
1．（24-25九年级上·全国·课后作业）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至
今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于 的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，
则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数 ，按照上述规则，
恰好实施5次运算结果为1的 所有可能取值的个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．（21-22七年级下·江西抚州·阶段练习）某种计算机每秒可做 次运算，它工作 秒时运算的次数用科学记数法表示为 .
3．（2022七年级上·浙江·专题练习）计算（结果用科学记数法表示）：
(1)8.4× ﹣4.8× ；
(2)（5.2× ）×（2.5×10）．
【易错必刷三 幂的乘方及其逆用】（共3小题）
1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．27
2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知 ，则 的大小关系是 （用“<”
连接）．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
①比较 ， 的大小：当 时， ，所以当同底数时，指数越大，值越大；
②比较 和 的大小：因为 ， ， 所以 ．
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)比较大小： __________ （填“ ”或“ ”）
(2)已知 ， ， ，试比较 ， ， 的大小．
【易错必刷四 积的乘方及其逆用】（共3小题）
1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若 成立，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，2．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算：
3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答
下列问题．
东东的作业
计算： ．
解：原式 ．
(1)计算：
① ；
② ；
(2)若 ，请求出n的值．
【易错必刷五 同底数幂的除法及其逆用】（共3小题）
1．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）在 中，括号内应填的代数式是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）规定两数a、b之间的一种运算，记作 ：如果 ，
那么 ．例如：因为 ，所以 ．根据上述规定，填空：若 ， ，则
的值为 ．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知 ， ．
(1)求 的值；(2)求 的值．
【易错必刷六 单项式乘单项式】（共3小题）
1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，王老师把家里的 密码设置成了数学问题．吴同学来
王老师家做客，看到 图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地密码连接到了王老师家里的网络，那么
她输入的密码是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．
3．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．
【易错必刷七 利用单项式乘法求字母或代数式的值】（共3小题）
1．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式 与 的积为 ，那么 （ ）
A．11 B．5 C．1 D．
2．（23-24七年级下·全国·假期作业）若 ，则 的值为 ．
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如果 ，m，n均为正整数，求m，n
的值．【易错必刷八 计算单项式乘多项式】（共3小题）
1．（2024·四川德阳·二模）若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）计算 的结果中次数是6的项的系数是 ．
3．（24-25八年级上·广东东莞·期中）计算：
【易错必刷九 计算多项式乘多项式】（共3小题）
1、（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）如果 ，那么m、n的值分别是（ ）
A． ，12 B．11，12 C． ， D．11，
2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若 ，则 ．
3．（23-24八年级上·重庆黔江·期中）甲、乙二人共同计算 ，由于甲把第一个多项式中a前
面的符号抄成了“ ”，得到的结果为 ；由于乙漏抄了2，得到的结果为 ．
(1)求a，b的值；
(2)求出正确的结果．
【易错必刷十 (x+p)(x+q)型多项式乘法】（共3小题）
1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）若 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．6 D．2．（24-25八年级上·吉林长春·期中）观察下图两个多项式相乘的运算过程，若 ，
根据你发现的规律，则a，b的值可能分别是 ．
3．（23-24七年级下·河北保定·期中）回答下列问题：
(1)计算：
① ______； ② ______．
③ ______； ④ ______．
(2)总结公式 ______
(3)已知 ， ， 均为整数，且 ．求 的所有可能值．
【易错必刷十一 已知多项式乘积不含某项求字母的值】（共3小题）
1．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如果代数式 的展开式不含 项，那么m的值为
（ ）
A．2 B． C． D．
2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知代数式 积是一个关于x的三次多项式，
且化简后含 项的系数为1，则 ．
3．（21-22七年级上·上海青浦·期中）多项式 ，A与B的乘积中不含有 ，且常
数项为24．(1)试确定m和n的值；
(2)求 ．
【易错必刷十二 多项式乘法化简求值】（共3小题）
1．（22-23七年级下·山东枣庄·阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B．1 C．3 D．2
2．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）已知 ， ，则 的值为 ．
3．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）先化简再求值： ，其中 ．
【易错必刷十三 多项式乘法与图形面积】（共3小题）
1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，现有三种不同尺寸的卡片，分别是正方形卡片A、正方形卡
片B和长方形卡片C．若要拼成一个长为 、宽为 的大长方形，则需要卡片C的张数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），
面积分别为 ， ．
（1）比较大小： （填“ ”“ ”或“ ”）
（2）若满足条件 的整数n有且只有4个，则m的值为
3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式： ；
例2：由图2，可得等式： ．
(1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为 的正方形．从中你发现的结论
用等式表示为__________．
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 ．求 的值．
【易错必刷十四 多项式乘法中的规律性问题】（共3小题）
1．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）观察下列运算
我们发现规律： （n为正整数）：利用这个公式计算：
（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了 （n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有
关规律． 的展开式中所有项的系数和为 ；
3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知
．
(1)根据以上式子计算：
① ；
② ．
(2)请你进行下面的探索：
① ____________；
② ____________；
③ ____________．
【易错必刷十五 整式乘法混合运算】（共3小题）
1．（21-22七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知一个多项式的2倍与 的和等于 ，则这个多项式是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义新运算： ，则 的运算结果是
．
3．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算
(1)
(2)
【易错必刷十六 平方差公式】（共3小题）
1．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级上·上海·期中）计算： （结果用幂的形式表示）．
3、（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
【易错必刷十七 平方差公式与几何图形】（共3小题）
1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（
），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ）A． B．
C． D．
2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）已知 ，且以a、b、c为长拼成如图正方形，
则阴影部分的面积为 ．(用含x、y、z的代数式表示)
3．（24-25九年级上·云南文山·阶段练习）将两个长方形（阴影部分）拼成如图所示形状（大正方形），
如图所示：
(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是______（写成两数平方差的形式）；
(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是______，长是______，面积是______．
（写成多项式乘法的形式）
(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．
A． B．C． D．
(4)根据（3）中所得公式，当 ， 时，求阴影部分的面积．
【易错必刷十八 运用完全平方公式进行运算】（共3小题）
1．（24-25七年级上·上海·期中）老师在黑板上写了一个等式，并用手掌遮住了其中一部分（如图）
．如果遮住的是一个二次三项式，那么这个式子是（ ）
A． B．
C． D．
2、（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知 ，则 ； ．
3．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）计算
(1)
(2)
【易错必刷十九 通过对完全平方公式变形求值】（共3小题）
1．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）已知 ，则 的值是（ ）
A．4 B．9 C．7 D．6
2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知 ， ，那么 ．
3．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图1，是一个宽为 ，长为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均
分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)观察图2，请你用等式表示 ， ， 之间的数量关系：________．
(2)根据（1）中的结论，如果 ， ，求代数式 的值．
【易错必刷二十 求完全平方式中的字母系数】（共3小题）
1．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）已知代数式 是完全平方式，则m的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（24-25六年级上·上海·期中）若多项式 是一个完全平方式，则 ．
3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知二次三项式 的常数项与 的常数项相
同，而它的一次项与 的一次项相同．
(1)分别求出 ， 的值；
(2) 是完全平方式吗？若是，把它写成完全平方式；若不是，先添加一项，再写成完全平方式．
【易错必刷二十一 完全平方式在几何图形中的应用】（共3小题）
1．（21-22九年级·山西大同·阶段练习）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片 如图1，取出三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2．再重新取两张
小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3，用已知图2中的阴影部分的面积比图3中的阴
影部分的面积大 ，则小正方形卡片的边长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．（2024·河北张家口·三模）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示 ．某
同学分别用4张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为 ， ．
（1） ；
（2） ．
3．（22-23八年级上·河南许昌·期末）通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等
式，例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图
②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：(1)图②中阴影部分的正方形边长的是：______．
(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：______；方法2：______．
(3)观察图②，请你写出 ． ， 之间的等量关系______；
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若 ， ，则 ______．
【易错必刷二十二 提公因式法】（共3小题）
1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若 ，则 的值为（ ）
A．9 B．16 C．20 D．25
2．（24-25八年级上·海南海口·期中）若 ，则 ．
3．（22-23八年级下·四川达州·期中）已知 ， ，求 的值
【易错必刷二十三 运用公式法进行因式分解】（共3小题）
1．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）若 ，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
2．（2023·江苏苏州·模拟预测）分解因式： ．
3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）因式分解：(1) ；
(2) ．
【易错必刷二十四 因式分解在有理数简算中的应用】（共3小题）
1．（2023·河北保定·模拟预测）若 ，则k的值为（ ）
A．100 B．101 C．200 D．204
2．（21-22八年级上·福建厦门·期末）若a=2021×589－588×2021，b=2019×2018－2017×2020，则a与b的
大小关系为 ．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）用简便方法计算：
(1) ；
(2) ．
【易错必刷二十五 十字相乘法】（共3小题）
1．（21-22七年级下·湖南娄底·期中）甲、乙两人在因式分解 时，甲看错了a的值，分解的结果
是 ，乙看错了b的值，分解的结果为 ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知 ，其中k、q均为整数，则
．
3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式：(1) ；
(2) ．
【易错必刷二十六 分组分解法】（共3小题）
1．（23-24七年级上·上海浦东新·阶段练习）用分组分解 的因式，分组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）分解因式： ．
3．（22-23七年级下·全国·假期作业）观察下列因式分解的过程：
①
（分成两组）
（直接提取公因式）
；
②
（分成两组）
（直接运用公式）
．
请仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式分解：
(1) ；
(2) ．【易错必刷二十七 因式分解的应用】（共3小题）
1．（24-25八年级上·全国·期末）若 ，则 的值是（ ）
A．9 B．7 C．13 D．14
2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都
为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且 ．观察
图形，可以得到代数式 可以因式分解为 ．
3．（23-24八年级下·四川达州·期中）先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如 这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 的形式．但对于二次三项式
，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋ 中先加上一项 ，使
它与 的和成为一个完全平方式，再减去 ，于是有：
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方
法”．利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：(2)已知a、 、c是 的三边，且满足 ，试判断 的形状．
(3)当x为何值时代数式 有最大值？求出这个最大值．
【易错必刷二十八 利用整式的乘法求最值】（共3小题）
1．（23-24七年级下·全国·期中）若 ，则M的值一定是（ ）
A．0 B．负数 C．正数 D．非负数
2．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）若一个正整数 ，其中 与 都是两位数，且 与 的
个位数字相加等于 ，十位数字相同，则称 为“积差数”．例如：因为 ， 与 的
十位数字都是 ，个位数字 ，所以 是“积差数”，则最小的“积差数”是 ；若
，将 放在 的左边组成一个新的四位数 ，若 被 除余 ，则满足条件的 的最大值
为 ．
3．（23-24八年级上·云南保山·期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
通过对实数的学习，我们知道 ，根据完全平方公式： ，所以完全平方公式的
值为非负数，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式 的最小值时，我们可以这样
处理：
解：原式
∵
∴ ，且当 时， 的最小，为 ；
请根据上面的解题思路，求多项式 的最小值是多少，并写出对应的x的值．
