文档内容
押新高考 14 题
立 体 几 何 综 合
考点 4年考题 考情分析
2023年新高考Ⅰ卷第12题 立体几何会以单选题、多选题、填空题、解答题 4类题型进
2022年新高考Ⅰ卷第8题 行考查，也常在压轴题位置进行考查，难度较难，纵观近几
立体几何 年的新高考试题，压轴题分别考查以正方体为出题背景的相
2022年新高考Ⅱ卷第11题
关几何体的体积计算、正四棱锥的外接球及体积范围、锥体
综合 2021年新高考Ⅰ卷第12题 体积的相关计算、空间向量的计算等综合问题，本内容是新
高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命
题方向将继续以立体几何压轴内容等综合问题展开命题．
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第12题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容
器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为 的球体
B．所有棱长均为 的四面体
C．底面直径为 ，高为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
2．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第8题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的
体积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第11题）如图，四边形 为正方形， 平面 ，
，记三棱锥 ， ， 的体积分别为 ，则（ ）A． B．
C． D．
4．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第12题）在正三棱柱 中， ，点 满足
，其中 ， ，则（ ）
A．当 时， 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
1. 立体几何基础公式
所有椎体体积公式： 所有柱体体积公式： 球体体积公式：
，
，
圆柱：
，
球体表面积公式：圆锥：
2. 长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式
（1）已知长宽高求体对角线：
（2）已知共点三面对角线求体对角线：
3. 棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为 .
4. 欧拉定理(欧拉公式)
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1） =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 的多边形，则面数F与棱数E的关系：
；
（2）若每个顶点引出的棱数为 ，则顶点数V与棱数E的关系： .
5．空间的线线平行或垂直
设 ， ，则
；
.
5. 夹角公式
设 ，b＝ ，则
.
6．异面直线所成角
=
（其中 （ ）为异面直线 所成角， 分别表示异面直线 的方向向量）
7．直线 与平面所成角， ( 为平面 的法向量).
8. .二面角 的平面角
（ ， 为平面 ， 的法向量）.
9. 异面直线间的距离( 是两异面直线，其公垂向量为 ， 分别是 上任一点， 为 间的距
离).
10. 点 到平面 的距离
（ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ）.
1．（2024·全国·模拟预测）已知三棱柱 中， 是边长为2的等边三角形，四边形
为菱形， ，平面 平面 ， 为 的中点， 为 的中点，则三棱锥
的外接球的表面积为 .
2．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ， 分别为线段 ， 的中点，
， ，平面 平面 ，则四面体ABMN的外接球的表面积为 ．
3．（2024·全国·模拟预测）某礼品生产厂准备给如图所示的八面体形玻璃制品设计一个球形包装盒．已知
该八面体可以看成由一个棱长为 的大正四面体截去四个全等的棱长均为 的小正四面体得到的，
且小正四面体的其中一个顶点为大正四面体的顶点，则该球形包装盒的半径的最小值为 ．（不考虑
包装盒的质量、厚度等）4．（2024·全国·模拟预测）如图，在长方体 中， ， ，M，N分别为
BC， 的中点，点P在矩形 内运动（包括边界），若 平面AMN，则 取最小值时，三棱
锥 的体积为 ．
5．（2024·全国·模拟预测）如图，该“四角反棱柱”是由两个相互平行且全等的正方形经过旋转、连接而
成，其侧面均为等边三角形，则该“四角反棱柱”外接球的表面积与侧面面积的比为 ．
6．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥 的母线 ，侧面积为 ，则圆锥 的内切球半径为 ；
若正四面体 能在圆锥 内任意转动，则正四面体 的最大棱长为 ．
7．（2024·云南昆明·一模）已知球 的表面积为 ，正四棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，
则该正四棱锥 体积的最大值为 .
8．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥 中， 两两互相垂直， ，
当三棱锥 的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为 .9．（2024·湖南长沙·一模）已知正四棱锥 的顶点均在球 的表面上.若正四棱锥的体积为1，则
球 体积的最小值为 .
10．（2024·全国·一模）在四面体 中， ， ， ， ，则四面体
体积的最大值为 ．
11．（2024·湖南长沙·一模）如图是一个球形围墙灯，该灯的底座可以近似看作正四棱台.球形灯与底座刚
好相切，切点为正四棱台上底面中心，且球形灯内切于底座四棱台的外接球.若正四棱台的上底面边长为
4，下底面边长为2，侧棱长为 ，则球形灯半径 与正四棱台外接球半径 的比值为 .
12．（2024·山东日照·一模）已知正四棱锥 的所有棱长都为2；点E在侧棱SC上，过点E且垂直
于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形H，则H的边数至多为 ，H的面积的最大值为 ．
13．（2024·山东菏泽·一模）如图，在正四棱台 中， ， ，该棱台体积
，则该棱台外接球的表面积为 ．14．（2024·广东汕头·一模）如图，在正方体 中， 是棱 的中点，记平面 与平面
的交线为 ，平面 与平面 的交线为 ，若直线 分别与 所成的角为 ，则
， .
15．（2024·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形 中， 分别在线段
上， ，将 沿 折起，使 到达 的位置，且平面 平面 ，若直线
与平面 所成角的正切值为 ，则四面体 的外接球的半径为 .
16．（2024·山东聊城·一模）已知正四面体 的棱长为2，动点 满足 ，且 ，则
点 的轨迹长为 .
17．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥 的四个面是全等的等腰三角形，且 ， ，
则三棱锥 的外接球半径为 ；点 为三棱锥 的外接球球面上一动点， 时，
动点 的轨迹长度为 ．
18．（2024·广东韶关·二模）在三棱锥 中，侧面所在平面与平面 的夹角均为 ，若，且 是直角三角形，则三棱锥 的体积为 ．
19．（2024·全国·模拟预测）正四棱台 ，其上、下底面的面积分别为 ， ，该正四
棱台的外接球表面积为 ，则该正四棱台的侧面积为 ．
20．（2024·全国·模拟预测）已知球 的表面积为 ，直四棱柱 的顶点均在球 的表面上，
则直四棱柱 的体积的最大值为 ．
21．（2024·山东青岛·一模）已知球O的表面积为 ，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面
上，球心O为 的外心，棱AB与球面交于点P．若 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平
面 ， 且 与 之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与 交于点Q，
R，则 的周长为 .
22．（2024·辽宁·模拟预测）某零食生产厂家准备用长为 ，宽为4cm的长方形纸板剪去阴影部分
（如图，阴影部分是全等四边形），再将剩余部分折成一个底面为长方形的四棱锥形状的包装盒，则该包
装盒容积的最大值为 .
23．（2024·山东烟台·一模）在三棱锥 中， ，且
分别是 的中点， ，则三棱锥 外接球的表面积为
，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为 .
24．（2024·全国·模拟预测）已知空间四面体 满足 ，则该四面体
外接球体积的最小值为 ．25．（2024·全国·模拟预测）已知球 的表面积为 ，直四棱柱 的顶点均在球 的球面
上，则该直四棱柱的体积的最大值为 ．
26．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四棱锥 的底面为矩形， 平面
为 的中点，点 分别在线段 上运动，当 最小
时，三棱锥 的体积为 ．
27．（2024·江苏宿迁·一模）在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，
再在该圆锥内的空隙处放入 个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则 的最大值为
（取 ）
28．（2024·江苏南通·二模）若正四棱锥的棱长均为2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为
，该十面体的外接球的表面积为 .
29．（2024·河北沧州·一模）如图，已知点 是圆台 的上底面圆 上的动点， 在下底面圆 上，
，则直线 与平面 所成角的余弦值的最小值为 ．30．（2024·河北·模拟预测）已知四面体 中， ，过 点的其外接球直径
与 、 夹角正弦值分别为 、 ，则 与 夹角正弦值为 .
