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专题07 一元二次方程易错必刷题型专训（60题20个考点）
【易错必刷一 一元二次方程的定义】（共3小题）
1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若关于 的方程 是一元二次方程，则
的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．
2．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列式子：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中一定是
一元二次方程的有 （把所有正确选项的序号都填上）
3．（2022七年级上·浙江·专题练习）已知 是关于x的一元一次方程，求代数式
的值．
【易错必刷二 一元二次方程的一般形式】（共3小题）
1．（23-24九年级上·四川遂宁·期末）将一元二次方程 化成一般形式后，二次项系数、一次项
系数和常数项分别为（ ）
A． 、 、 B． 、 、 C． 、 、 D． 、 、
2．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）把方程 化为 的形式为
．
3．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）把方程 先化成一元二次方程的一般形
式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．【易错必刷三 一元二次方程的解】（共3小题）
1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若 是关于 的方程 的一个根，则 的值是
（ ）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
2．（23-24八年级下·吉林长春·期中）已知 是方程 的根，则式子 的值为
．
3．（23-24九年级上·北京海淀·期中）已知 是方程 的根，求代数式 的值．
【易错必刷四 一元二次方程的解的估算】（共3小题）
1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知 ，依据下表，它的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．不确定
2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程 的一个解的取值范围是
．
3．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考：
下面是小华求一元二次方程的近似解的过程．
如图，这是一张长 、宽 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是 的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为 ，列出关于x的方程
，整理得 ．
他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程．
探索方程的解：
第一步：
x 0 1 2
17 9
因此：______ ______．
第二步：
x 1.5 1.6 1.7 1.8
0.75 0.36
因此：______ ______.
（1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围；
（2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数）
【易错必刷五 直接开平方法】（共3小题）
1．（23-24八年级下·广西梧州·期中）已知方程 的解也是方程 的一个解，则m的
值是（ ）
A．2 B． C． D．2．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）方程 的解是 ．
3．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程：
(1)
(2) ．
【易错必刷六 配方法】（共3小题）
1．（2024·山东聊城·二模）用配方法解一元二次方程 时，将它化为 的形式，则
的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．
2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）把关于 的一元二次方程 配方，得 ，则
．
3．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）解方程： ．
【易错必刷七 配方法的应用】（共3小题）
1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）阅读材料：数学课上，老师在求代数式 的最小值时，利用
公式 ，对式子作这样的变形： ，因为
，所以 ，当 时， ，因此 的最小值是1．类似地，代数式 有（ ）
A．最小值为 B．最小值为
C．最大值为 D．最大值为
2．（23-24九年级上·山东青岛·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它
重要应用．
例如：求代数式 的最小值？解答过程如下：
解： ．
，
当 时， 的值最小，最小值是0，
，
当 时， 的值最小，最小值是1，
的最小值为1．
根据上述方法，可求代数式 当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ．
3．（21-22八年级上·内蒙古赤峰·期末）仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方式
以及 的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用．比如：已知 满足
，求 的值．我们可以这样处理：
解：∵ （拆项），
∴ ，
∴ （配方），
又∵ ，
∴ ， ，
∴
上面主要是采用了拆项后配成完全平方式的方法，再利用非负数的性质来解决问题．
请利用拆项配方解题思路，解答下列问题：
(1)若 ，则 ___________ ， ___________ ；
(2)已知 满足 ，求 ， 的值；
(3)直接写出 的最大值．
【易错必刷八 根据判别式判断一元二次方程根的情况】（共3小题）
1．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 的根的情况，下列说
法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．（23-24九年级上·西藏林芝·期末）一元二次方程 根的判别式的值为 ．
3．（2023·贵州黔东南·一模）已知：关于x的一元二次方程 ，
(1)把这个方程化成一元二次方程的一般形式；
(2)求证：无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根．
【易错必刷九 根据一元二次方程根的情况求参数】（共3小题）
1．（2024·安徽六安·一模）关于x 的一元二次方程 有两个不相等实数根，则k 的取值范围
是（ ）A． B． C． D． 且
2．（2024·江苏南京·三模）若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是 ．
3．（2024·四川南充·一模）关于 的一元二次方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)如果 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 与方程
有一个相同的根，求此时 的值．
【易错必刷十 公式法】（共3小题）
1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于 的一元二次方程的根为 ，则这个
方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，
且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个
根是 ， ，则方程 是“邻根方程”．若关于 的方程 是“邻根方
程”，令 ，则 的最大值是 ．
3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）对于实数a，b，定义新运算“ ”： ，例如：
，因为 ，所以 ．(1)求 的值；
(2)若 ， 是一元次方程 的两个根，求 的值．
【易错必刷十一 因式分解法】
1．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）关于 的一元二次方程 的根是（ ）
A． B．0 C．1和2 D． 和2
2．（2024·江西萍乡·二模）已知 是关于 的一元二次方程 的一个根，则这个方程的另一个
根为 ．
3．（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个直角三角形，它的两边长是方程
的两根，且第三条边长为5，求 的值？
【易错必刷十二 换元法】（共3小题）
1．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程 的解是 ， （a，
m，b均为常数， ），那么方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．无法求解2．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足 ，那么 的值是 ．
3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：
解方程 ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ①，解得 ， ．
当 时， ， ；
当 时， ， ；
原方程有四个根： ， ， ， ．
这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)方程 的解为________．
(2)仿照材料中的方法，尝试解方程 ．
【易错必刷十三 一元二次方程根与系数的关系】
1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若 ，且有 ，及 ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数
根 ，且 ，则实数 的取值范围为 ．
3．（2024·山东潍坊·二模）已知 ， 是关于x的一元二次方程 的两根．
(1)求k的取值范围；
(2)若 ，求k的值．【易错必刷十四 构造一元二次方程解决问题】（共3小题）
1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若 ，且有 ，及 ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川内江·二模）已知实数 ， 满足 ， ，则 ．
3．（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料：
材料：关于x的一元二次方程 的两个实数根 ， 和系数a，b，c有如下关系：
， ；
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)类比：一元二次方程 的两个实数根为m，n，则 ； ；
(2)应用：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，求 的值；
(3)提升：已知实数s，t满足 ， 且 ，求 的值．
【易错必刷十五 传播问题】（共3小题）
1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人
患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·重庆大渡口·二模）初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ．
3．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）有两人患了流感，经过两轮传染后共有 人患了流感，每轮
传染中平均一个人传染了几个人？
【易错必刷十六 增长率问题】（共3小题）
1．（2024年黑龙江省龙东地区部分学校中考四模数学试题）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣
欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘
龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上
衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·重庆·期中）某县开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，
2021、2022年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率
为x，根据题意，可列方程为 ．
3．（2024八年级下·浙江·专题练习）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据
统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
(2)市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，
售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售
该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【易错必刷十七 营销问题】（共3小题）
1．（23-24九年级下·山东淄博·期中）某连锁超市购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒
的售价为 元时，每天可售出 盒，每盒的售价每降低 元，每天的销量增加 盒，要使该款大礼包每
天的销售额达到 元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价 元，则可列方程为（ ）A． B．
C． D．
2．（2024·广东佛山·一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一
用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售
120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价 20元，则每
月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 元．
3．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原
价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取
适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要
尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【易错必刷十八 与图形有关的问题】（共3小题）
1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，一张长宽比为 的长方形纸板，剪去四个边长为 的正
方形，用它做一个无盖的长方体包装盒．要使包装盒的容积为 （纸板的厚度略去不计），问这张长
方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为 厘米，则由题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．2．（23-24八年级下·浙江·期中）如图是一块长方形菜地ABCD， ， ，面积为 ．现将
边AB增加 ，边AD增加 ，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为 ，则S的值是
．
3．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），
其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．
(1)若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？
(2)围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由．
【易错必刷十八 动态几何问题】（共3小题）
1．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，在 中， ， ， ，点P从点
A开始沿 边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线 匀速
移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当 的面积等于 时，运动时间为（ ）
A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定
2．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发沿 边向点C以 的速度移动，点Q从C点出发沿 边向点B以 的速度移动，当
一点停止移动时，另一点也随之停止移动．如果P，Q两点同时出发， 秒后，可使 的面积为
．
3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形 中， ，点P从点A
出发沿 以 的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿 以 的速度向点C运动，点P运
动到点B时，点Q也停止运动；当 的面积等于 时，求运动时间．
【易错必刷二十 一元二次方程多结论问题】（共3小题）
1．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）对于一元二次方程 ，下列说法错误的是
( )
A．若 ，则方程必有一根为 ；
B．若 是一元二次方程 的根，则C．若方程 两根为 ，且满足 ，则方程 ，必有
实根
D．若方程 有两个不相等的实根，则方程 无实根；
2．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于 的一元二次方程 的两个根为 ，
，且 ．下列说法正确的个数为（ ）
① ；
② ， ；
③ ；
④关于 的一元二次方程 的两个根为 ， ．
A． B． C． D．
3．（21-22八年级下·浙江杭州·期中）下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个
①若方程 两根为-1和2，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则方程 一定无解；
④若方程 的两个实根中有且只有一个根为0，那么 ， ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
