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专题07 二次函数与一元二次方程（五大类型）
【题型1：二次函数与x轴交点问题】
【题型2: 图像法确定一元二次方程的根】
【题型3： 已知函数值y求X的取值范围】
【题型4： 二次函数与不等式的关系】
【题型5:二次函数综合】
【题型1：二次函数与x轴交点问题】
1．（2023•南充模拟）针对抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴公共点的情况，下
列说法正确的是（ ）
A．有两个公共点 B．有一个公共点
C．一定有公共点 D．可能无公共点
2.（2023•许昌二模）若抛物线 y＝x2+4x+c与x轴没有交点，则c的值可以是（
）
A．﹣4 B．0 C．4 D．8
3.（2023•南充模拟）针对抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴公共点的情况，下
列说法正确的是（ ）
A．有两个公共点 B．有一个公共点
C．一定有公共点 D．可能无公共点
4．（2023春•梅江区校级月考）二次函数y＝x2﹣2x﹣1与x轴交点个数情况为
（ ）
A．有两个不同的交点 B．只有一个交点
C．没有交点 D．无法确定
5．（2022秋•集贤县期末）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两
个公共点，则实数m的值为（ ）A．m＝0或 B． C．m＝1或 D．m＝1或m＝0
6．（2022秋•阜宁县期末）抛物线y＝x2﹣bx﹣1与x轴交点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对
7．（2022秋•新城区期末）二次函数 y＝x2﹣2x+1的图象与x轴的交点个数是
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
8．（2023•三江县校级一模）若二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则
关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x ＝﹣2，x ＝3 B．x ＝﹣1，x ＝3 C．x ＝0，x ＝3 D．x ＝1，x ＝3
1 2 1 2 1 2 1 2
【题型2: 图像法确定一元二次方程的根】
9．（2022秋•林州市期末）根据如表中代数式 ax2+bx的取值情况，可知方程
ax2+bx﹣6＝0的根是（ ）
x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ……
ax2+bx …… 12 6 2 0 0 2 6 ……
A．x ＝0，x ＝1 B．x ＝﹣1，x ＝2 C．x ＝﹣2，x ＝3D．x ＝﹣3，x ＝
1 2 2 1 1 2 1 2
4
10.（2023•澄城县一模）若二次函数 y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），
（2，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x ＝﹣1，x ＝2 B．x ＝﹣2，x ＝1
1 2 1 2
C．x ＝1，x ＝2 D．x ＝﹣1，x ＝﹣2
1 2 1 2
11.（2022秋•宛城区期末）根据下表中代数式 ax2+bx的取值情况，可知方程
ax2+bx﹣6＝0的根是（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
ax2+bx … 12 6 2 0 0 2 6 …
A．x ＝0，x ＝1 B．x ＝﹣1，x ＝2 C．x ＝﹣2，x ＝3D．x ＝﹣3，x ＝
1 2 1 2 1 2 1 24
【题型3： 已知函数值y求X的取值范围】
12．（2022秋•长春期末）已知二次函数 y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当
y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＜1
13．（2022秋•合肥月考）如图所示的是二次函数 y＝ax2+bx+c的部分图象，由
图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞
5
14．（2022•泸县校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关
于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是（ ）
A．x≤2 B．x≤0 C．﹣3≤x≤0 D．x≤﹣3或x≥0
15．（2022秋•萧山区月考）已知抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝3，则关
于x的不等式x2+bx＜﹣8的取值范围是（ ）
A．1＜x＜5 B．2＜x＜4 C．0＜x＜6 D．﹣1＜x＜7
16．（2022秋•泰山区校级月考）二次函数 y＝a2+bx+c（a≠0）的图象如图所
示，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞
1
17.（2023•泸县校级一模）二次函数y＝x2﹣2x﹣3．若y＞﹣3，则自变量x的取
值范围是（ ）
A．x＜0或x＞2 B．x＜1或x＞3 C．0＜x＜2 D．1＜x＜3
18．（2022秋•金东区期末）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c经过点A（0，2）、B
（4，2），则不等式﹣3x2+bx+c＜2的解集是 ．
【题型4： 二次函数与不等式的关系】
19.（2022 秋•同江市期末）如图，已知 y ＝ax2+bx+c（a≠0）与 y ＝kx+b
1 2
（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（﹣4，3）两点，则y ＞y 的x的取值范围
1 2
是（ ）
A．x＜﹣4 B．﹣4＜x＜﹣1
C．x＞﹣1 D．x＜﹣4或 x＞﹣1
20.（2023•娄底模拟）如图，抛物线 y＝ax2+c与直线 y＝mx+n交于 A（﹣1，
p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（ ）A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞
1
21．（2022秋•保定期末）如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于
A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点．则关，于x的不等式ax2+bx+c≤kx+m的解
集是 ．
22．（2022秋•番禺区校级期末）如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝x2﹣3x+2都
经过点A（1，0）和B（3，2），则不等式x﹣1＞x2﹣3x+2的解集是 ．
23．（2022秋•市中区期末）如图，已知二次函数 y ＝ax2+bx+c（a≠0）与一次
1
函数y ＝kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣1，3），B（4，2）．如图所示，
2
则能使y ＜y 成立的x的取值范围是 ．
1 2
【题型5:二次函数综合】
24．（2022秋•武城县月考）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c恰好经过x轴上A，B两点．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．
25．（2021秋•天津期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A、B两
点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P
的坐标．
26．（2022秋•青龙县月考）如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象交直
线l：y＝ x+1于A，B两点，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AD，BD，求△ADB的面积；
（3）若抛物线的对称轴上存在一动点E，使EA+ED的值最小，求点E的坐
标．27．（2022秋•黔东南州月考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣
3，0），B（1，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在上点 P，使得以点A、C、P为顶点的三
角形是直角三角形，若存在，求出点P坐标若不存在，请说明理由．
28．（2022秋•越秀区校级月考）抛物线 y＝﹣x2+2x+8与x轴交于A，B两点
（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线在x轴上方部分一动点，
过点M作直线MH⊥y轴于H．
（1）如图1，当HM＝3时，求△ABM的面积；
（2）如图2，若△MCO是以CO为底的等腰三角形，求点M的坐标．29．（2022秋•平桂区 期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+5的图象经过点（1，
8），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A（﹣1，0），M
为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△MCB的面积；
（3）在坐标轴上是否存在点 N，使得△BCN为直角三角形？若存在，求出
点N的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（2022秋•萧山区期中）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m2﹣2．
（1）若 m＝2，则该抛物线的对称轴为 ；若 A（m﹣2，y ），B
1
（m+1，y ）两点在该二次函数图象上，则y 与y 的大小关系为 ；
2 1 2（2）若该函数图象的顶点到x轴的距离等于2，试求m的值；
（3）若抛物线在1≤x≤3时，对应的函数有最大值3，求m的值．
31．（2022秋•汉川市期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x
轴交于O，A两点，过点A的直线 与y轴交于点C，交抛物线于点
D．
（1）直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图1，点B是直线AC上方第一象限内抛物线上的动点，连接 AB和
BD，求△ABD面积的最大值；
（3）如图2，若点M在抛物线上，点N在x轴上，当以A，D，M，N为顶
点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
