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专题07 全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型
几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几
何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学
生更好地理解和掌握。
模型1.矩形的十字架模型（相似模型）
矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩
形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关
系。
如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则 .
如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则 .
如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则 .例1．（23·24上·成都市·九年级期中）如图，把边长为 ， 的矩形 对折，使点 和 重
合，求折痕 的长．
例2．（22·23下·河北·九年级期中）如图，在矩形 中， 、 、 、 分别为 、 、 、
边上的点，当 时，证明： ．
例3．（22·23下·湖北·九年级期中）在矩形纸片 中 ， ，点 、 在矩形的边上，连接
，将纸片沿 折叠，点 的对应点为点 ．（1）如图①，若点 在边 上，当点 与点 重合时，
则 ______°，当点 与点 重合时，则 ______°．（2）如图②，若点 在边 上，且点
、 分别在 、 边上，则线段 的取值范围是______；（3）如图③，若点 与点 重合，点
在 上，线段 、 交于点 ，且 ，求线段 的长度．例4．（江苏2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联
系的问题，请你帮助他们解决：（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形对折，使得点B、
点D重叠，折痕为EF，过点F作AB的垂线交AB于点G，求EF的长；（2）如图2，矩形ABCD中，AB
＝a，BC＝b，点E，F分别在AB，DC上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求 的值；（3）如
图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB
上，求 的值．
模型2.三角形的十字架模型（全等+相似模型）
1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），
则①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：
如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，
④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦ ，以上七个结论中，可“知二得
五”。
3）直角三角形中的十字模型：
如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似）
例1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，
AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中
正确的结论是________（填序号）例2．（22·23上·莆田·阶段练习）如图，等边 的边长是6，点E，F分别在 边上， ，
连接 ， 相交于点P．(1)求 的度数；(2)若 ，求 的值．
例3．（22·23上·滨州·期末）如图，在边长为6的等边 中，D、E分别为边 上的点， 与
相交于点P，若 ，则 的周长为 ．
例4．（22·23下·吉安·模拟预测）课本再现：
(1)如图1，D，E分别是等边三角形的两边 上的点，且 ．求证： ．下面是小涵同
学的证明过程：
证明：∵ 是等边三角形，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
小涵同学认为此题还可以得到另一个结论： 的度数是 ；
迁移应用：(2)如图2，将图1中的 延长至点G，使 ，连接 ．利用（1）中的结论完成
下面的问题．①求证： ；②若 ，求证： ；拓展提升：(3)在等边 中，
若点D，E分别在射线 上，连接 交于点F，且 ，将 绕点C逆时针旋转到，且使得 ．直线 与直线 交于点P，若 ，则 的值为
例5．（22·23下·重庆·九年级期中）如图，在 中， ， ，点 为 边上的中
点，连接 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，求 的值．
例6．（22·23下·鞍山·阶段练习）如图，在 Rt ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 D 是线段 AB 上的一
点，连结 CD．过点 B 作 BG⊥CD，分别交 CD△、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点
G，连结 DF，给出以下四个结论：① ；②若 AB，则点 D 是 AB 的中点；③若
，则 S ＝9S ；④当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，DF＝DB；其中正确的结论序号是（ ）
ABC BDF
△ △A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
例7．（22·23下·三明·期末）如图①，在 中， ， ，点D在边 上，过点C作
，垂足为M，交 于点E．
(1)小亮通过探究发现 ，请你帮他说明理由；(2)如图②， 平分 交 于点N，小明
通过度量猜想有 ，他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；(3)如图③，连接 ，若D是 的中
点，小刚通过探究得到结论 ，请你帮他说明理由．
例8．（辽宁2022-2023学年九年级下学期线上质量检测数学试题）（1）如图1，四边形ABCD为正方
形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？
（2）如图2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，
求AF：FC的值；（3）如图3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC
于F，若AB＝3，BC＝4，求CF．课后专项训练
1．（2023.广东九年级期中）如图，在正方形 中， ﹐E，F分别为 ， 的中点，连接
、 ， 交 于点G，将 沿 翻折得到 ，延长 交 延长线于点Q，连接 ，
则 的面积是（ ）
A． B．25 C．20 D．15
2．（翠屏区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）在Rt△ABC中， ，AC=BC，D为BC
的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，，连接FD；若AC=4，则CF+FD的值是（ ）
A． B．5 C． D．3．（2023.湖北九年级期中）如图，在矩形 中，点 在边 上，把 沿直线 翻折，得到
， 的延长线交 于点 为 的中点，连接 ，若点 在同一条直线上， ，
则 的值为 ．
4．（22·23下·山西·模拟预测）如图，在 中， ， ，D为BC上一点且
，连接AD，过点B作 ，垂足为E，BE的延长线与AC交于点F，则EF的长为 ．
5．（22·23上·临沂·期末）如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，
过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点△G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，连接DE．给出以
下四个结论：① ；②若 平分 ，则 ；③若点D是BC的中点，则
；④若 ，则 ．其中正确的结论序号是 ．
6．（23·24上·沈阳·阶段练习）如图，在 中， ，D为 中点，连接 ，过点B作
于点F，交 于点B，若 ，则 的长为 ．7．（河南省郑州市2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）综合与实践课上，梦班数学学习兴
趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
(1)操作判断：如图1，在正方形 中，点 ， ， ， 分别在边 ， ， ， 上，且
，若 ，则 的长为________；
如图2，在矩形 中， ，点 ， ， ， 分别在边 ， ， ， 上，且
，若 ，则 的长为________；
(2)迁移探究：如图3，在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，且
，试证明 ；
(3)拓展应用：如图4，在矩形 中， ， ， 平分 交 于点 ，点 为 上
一点， 交 于点 ，交矩形 的边于点 ．当 为 的三等分点时，请直接写出 的
长．
8．（22·23下·合肥·开学考试）如图，点D、E分别在等边 的边 、 上，且 ，连接
、 ，过点 作 交 于点 ．(1)求证： 的度数；(2)求证： ；(3)求证：的值．
9．（22·23下·武汉·模拟预测）探索发现：如图1，等边 中， 为 中点， 、 分别是 、
上的两点， ．(1)求证： ；(2) 为 上一点，若 ，求 的
值；
迁移拓展：(3)如图2，等腰 中， 为斜边 的中点， 为 中点， ． 是 上的
点， ， 为 上一点，若 ，直接写出 的长．10．（21·22上·红河·期末）在等边 ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，连接BD、AE相
△
交于点F．(1)如图1，当 时， =__________；(2)如图2，求证： AFD∽△BAD；
△
(3)如图3，当 时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．
11．（山西2022-2023学年九年级下学期教学质量监测数学试题）综合与实践
纸是我们学习工作最常用的纸张之一， 其长宽之比是 ，我们定义：长宽之比是 的矩形纸片
称为“标准纸”．
操作判断： 如图1所示，矩形纸片 是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点 与
重合，再展开，折痕 交 边于点 交 边于点 ，若 求 的长， 如图2，在 的基
础上，连接 折痕 交 于点 ，连接 判断四边形 的形状，并说明理由．
探究发现： 如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点 与点 重合，
再展开，痕 交 边于点 ， 交边于点 交 也是点 .然后将四边形 剪下，探究纸片是否为“标准纸”，说明理由．
12．（湖南2022-2023学年九年级第二次联考数学试题）（1）问题探究：如图1，在正方形 中，点
， 分别在边 、 上， 于点 ，点 ， 分别在边 、 上， ．
①判断 与 的数量关系： _________ ；②推断： 的值为_________；（无需证明）
（2）类比探究：如图（2），在矩形 中， （ 为常数）.将矩形 沿 折叠，使点 落
在 边上的点 处，得到四边形 ， 交 于点 ，连接 交 于点 .试探究 与 之间
的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：如图3，四边形 中， ， ， ， ，点
、 分别在边 、 上，求 的值．
13．（成都市2022-2023学年九年级月考数学试卷）（1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，
CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证： ＝ ．
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若 ，则 的
值为 ．（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝12，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N
分别在边BC，AB上，求 的值．14．（（22·23下·山东·九年级期中））探究证明：
（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；
（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证： ；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB
上，求 的值．
15．（江苏2022-2023学年九年级期末数学试题）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直
线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图
形，来研究这些图形中的几何问题．问题解决：（1）如图1，将矩形纸片 沿直线 折叠，使得点 与点 重合，点 落在点 的位
置，连接 ，线段 交 于点 ，则：
① 与 的关系为 ，线段 与线段 的关系为 ，小强量得 ，则 ．
②小丽说：“图1中的四边形 是菱形”，请你帮她证明．
拓展延伸：（2）如图2，矩形纸片 中， ，小明将矩形纸片 沿直
线 折叠，点 落在点 的位置， 交 于点 ，请你直接写出线段 的长： ．
综合探究：（3）如图3， 是一张矩形纸片， ，在矩形 的边 上取一点
（不与 和 点重合），在边 上取一点 （不与 和 点重合），将纸片沿 折叠，使线段 与线
段 交于点 ，得到 ，请你确定 面积的取值范围 ．
16．（山东2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）（1）如图1，在正方形 中，点 ， 分别是 ， 上的两点，连接 ， ，若 ，则 的值为_________；（2）如图2，在矩形
中， ， ，点 是 上的一点，连接 ， ，若 ，则 的值为
_________；
【类比探究】（3）如图3，在四边形 中， ，点 为 上一点，连接 ，过点 作
的垂线交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，求证：
【拓展延伸】（4）如图4，在 中， ， ， ，将 沿 翻折，点
落在点 处，得到 ，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， ，若 ，则 的值为
_________．
17．（22·23下·苏州·三模）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形 中，点 ， 分别是边 ， 上的点，连接 ， ，且 于点 ，若
， ，求 的值．(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】(2)如图2，在 中， ， ，点 为 的中点，连接 ，过点 作
于点 ，交 于点 ，求 的值．
【灵活运用】(3)如图3，在四边形 中， ， ， ， ，点 ， 分
别在边 ， 上，且 ，垂足为 ，则 __________________．18．（2023年湖北省中考模拟数学试题）已知E是矩形 的边 上的一点．
(1)如图 ，若四边形 是正方形， 交 于点 ，求证； ；
(2)已知 ， ， 分别交 ， 于 ， 两点，且 平分矩形 的面积．
如图2，若 ，求 的长； 如图3， 与 交于点 ，连接 ，求出线段 长的最小值．
19．（22·23下·上饶·模拟预测）综合与探究
(1)如图1，在正方形 中，点E，F分别在边 上，且 ，则线段 与 的之间的数
量关系为______；
(2)【类比探究】如图2，在矩形 中， ， ，点E，F分别在边 上，且 ，
请写出线段 与 的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图3，在 中， ， ， ，D为 上一点，且 ，连接 ，过点B作 于点F，交 于点E，求 的长．
