文档内容
拔高点突破 01 一网打尽平面向量中的范围与最值问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................5
题型一：利用三角向量不等式............................................................................................................5
题型二：定义法....................................................................................................................................8
题型三：基底法..................................................................................................................................10
题型四：几何意义法..........................................................................................................................14
题型五：坐标法..................................................................................................................................19
题型六：极化恒等式..........................................................................................................................23
题型七：矩形大法..............................................................................................................................28
题型八：等和线、等差线、等商线..................................................................................................31
题型九：平行四边形大法..................................................................................................................37
题型十：向量对角线定理..................................................................................................................43
03 过关测试.........................................................................................................................................44技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步：将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步：先确定向量所表达的点的轨迹
第二步：根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
技巧二．极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则 ，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：上面两式相减，得： ————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”
平方差的 ．
②三角形模式： （M为BD的中点）
A
B M C
技巧三．矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，
证明： ．
【证明】（坐标法）设 ，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，
则 ，设 ，则
技巧四．等和线
（1）平面向量共线定理
已知 ，若 ，则 三点共线；反之亦然．
（2）等和线
平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点 在直线 上或者在平行
于 的直线上，则 （定值），反之也成立，我们把直线 以及与直线 平行的直线称为等和
线．①当等和线恰为直线 时， ；
②当等和线在 点和直线 之间时， ；
③当直线 在点 和等和线之间时， ；
④当等和线过 点时， ；
⑤若两等和线关于 点对称，则定值 互为相反数；
B
1
B
P
Q l
O
A A
1
技巧五．平行四边形大法
1、中线长定理
2、 为空间中任意一点，由中线长定理得：
两式相减：
技巧六．向量对角线定理题型一：利用三角向量不等式
【典例1-1】已知 ， ，则 的范围是 .
【答案】
【解析】设 ， ，
， …①；
， …②；
① ②得： ， ，
（当且仅当 时取等号），
则 ， ；
（当且仅当 与 同向时取等号），
的取值范围为 .
故答案为： .
【典例1-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知 ，则向量 的范围是 ．
【答案】
【解析】设 ，
所以 ①,
一方面， ，
当且仅当 与 同向， 与 同向时取得最大值，
另一方面， ，其中 ，当且仅当 与 反向时取得最小值．
故 ．
故答案为：
【变式1-1】已知 ， ， 且 ，则 的最大值为（ ）
A．5.5 B．5 C．6.5 D．6
【答案】A
【解析】 ，
又 ，当且仅当 与 同向时取得等号；
故 .
故选：A.
【变式1-2】（2024·高三·浙江金华·开学考试）已知向量 满足 ， ，则 的范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
由于： ，
，
当且仅当 时等号成立.
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B
【变式1-3】（2024·河北保定·二模）如图，圆 和圆 外切于点 ， ， 分别为圆 和圆 上的动点，
已知圆 和圆 的半径都为1，且 ，则 的最大值为（ ）A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】
，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 .
.
故选：D
【变式1-4】已知平面向量 满足 ，设 ，若 ，则 的取值范
围为________．
【答案】
【解析】设 ，则 ，则由条件 知 ，
所以 ，所以 ，
又
所以 ．
故答案为： .
题型二：定义法
【典例2-1】已知向量 、 满足： ， .设 与 的夹角为 ，则 的最大值为
___________.【答案】 /
【解析】设 ，则 ，设向量 、 的夹角为 ，
若 ，则 ，可得 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以， ， ，
所以， ，
当 时，即当 时， 取得最小值 ，此时 取得最大值，
且 .
故答案为： .
【典例2-2】八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的
上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，
黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在
长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的
图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边
长为2，定点A，B所在位置如图所示，则 的值为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【解析】如图：连接因为中间是边长为2的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形，
所以 ， ， ， .
所以
.
故选：A
【变式2-1】已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 为圆心，则 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
所以
，
因为 ，所以 .
故选：C.
【变式2-2】已知 是半径为5的圆 上的两条动弦， ，则 最大值是
（ ）
A．7 B．12 C．14 D．16
【答案】C【解析】
如图，连接 ，作 ， ，
易知 是 的中点， 是 的中点，由勾股定理得 ， ，
故 ，
故 ，当 反向时等号成立，故C正确.
故选：C
题型三：基底法
【典例3-1】已知 的内角 的对边分别为 ，若 ， ， 为 的中点， 为 的
中点， ，则 的最大值为 .
【答案】 /
【解析】因为 为 的中点， 为 的中点，
所以 ,
因为 ，所以 ，所以
则 ，
所以 .
因为 ，所以由余弦定理得 ，
所以 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立.故答案为：
【典例3-2】在 中， ， ，点D为 的中点，点E为 的中点，若 ，则
的最大值为 .
【答案】
【解析】在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，
设 ，则 ，
设 ，
由余弦定理可得 ，
因为 ，可得 ，即 ，当且仅当 时取等号，
又因为 ，则 ，
则
，
即 的最大值为 ．
故答案为： ．
【变式3-1】在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，若设，则 可用 表示为 ；若 ，则 的最大值为 ．
【答案】 ．
【解析】在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，
由 ，则 ，
设 ，
由余弦定理可得 ，
因为 ，可得 ，即 ，当且仅当 时取等号，
又因为 ，则 ，
则
，
即 的最大值为 ．
故答案为： ； ．
【变式3-2】在 中， 是边 的中点， 是线段 的中点．若 ， 的面积为 ，则
取最小值时，则 （ ）
A．2 B． C．6 D．4
【答案】D
【解析】在 中，由 ， 的面积为 ，得 ，则 ，
由 是边 的中点， 是线段 的中点，得 ，
，则
，
当且仅当 ，即 时取等号，
在 中，由余弦定理得： ，
所以 .
故选：D
【变式3-3】如图，已知等腰 中， ， ，点P是边 上的动点，则
（ ）
A．为定值10 B．为定值6
C．为变量且有最大值为10 D．为变量且有最小值为6
【答案】A
【解析】设 ，因为 ，
所以 ,
又 ，
，
所以 ，
故选：A.
题型四：几何意义法
【典例4-1】已知 是同一平面上的3个向量，满足 ， ， ，则向量 与 的夹角为 ，若向量 与 的夹角为 ，则 的最大值为 ．
【答案】 /
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ， ， ，如图，设 ， ， ，
则 ， ，
又向量 与 的夹角为 ，则 ，又 ，
所以 四点共圆，又 ，
所以 ，
设 外接圆的半径为 ，
由正弦定理 ，所以 的最大值为 .
故答案为： ；
【典例4-2】已知向量 ， 满足 ，则 的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】
【解析】(几何法)：本题的关键是要挖掘隐含条件: 和 是以 为邻边的平行四边形的两条对
角线，故 ．
如图， 是以 为邻边的平行四边形的两条对角线， 是以 为圆心的单位圆上一动点，
构造2个全等的平行四边形．
所以 ．
易知当 三点共线时， 最小，此时 ;
当 时， 最大，此时 ．
(坐标法)：设 ， ，则 ， ，
所以 ，
则 ，
所以 ．
(不等式法)：最小值: ．
(当且仅当 和 方向相反，即 时，取“ ”)．
最大值: ． (当且仅当 ，即 时，取“=”)．
(转化为二元最值问题)：令 原题转化为 ，且 ， 求 的最值．
方法1(数形结合):直线 与圆弧 有交点，如图可得 ．
方法2(判别式法): 化简得 得 ，所以 ．
故答案为： ；【变式4-1】（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知O是 所在平面内一点，且 ， ，
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据 ， 可得 ，
即可得 ；
即可知 点轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，如下图所示：
由图可知，当 与圆相切时， 取到最大，
又 ， 可知此时 .
故选：B.
【变式4-2】已知平面向量 ， ， ，且 ， .已知向量 与 所成的角为60°，且 对
任意实数 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意， ，
，两边平方 ，整理得到 ，
对任意实数 恒成立，则 ，解得 ，则 .由于 ，如上图， ，则
，则 的最小值为 ．
当且仅当 终点在同一直线上时取等号.
故选：B．
【变式4-3】已知 是平面向量，且 是单位向量，若非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足
，则 的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由 ，
设 ，以 为原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的坐标系，
由 ，得点 在以 为圆心，以1为半径的圆上，
又非零向量 与 的夹角为 ，设 的起点为原点，则 的终点在不含端点 的两条射线 上，
设 ，
则 的最小值为，
表示点 到 和 的距离之和的最小值的 倍，
则最小值为 ，
故选：B.
【变式4-4】（2024·山东青岛·三模）已知向量 ， ， 满足 ， ， ，
则 的最小值为（ ）
A． －1 B． C．2 D．1
【答案】A
【解析】由题意设 ， ， ，
则 ，即 ，且 ，
解得 ， 或 .
由 可得 ，即 ，
则 ，即 的终点 在以 为圆心，1为半径的圆上,
故 .由圆的对称性，不妨令 ，即 ，
如图，连接 ，交圆于 ，
由点与圆的位置关系可知， .
故选：A.
题型五：坐标法
【典例5-1】（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角 中，斜边 ，点 在以BC为直径的
圆上运动，则 的最大值为（ ）
A． B．8 C． D．12
【答案】D
【解析】如图：以 为原点，建立平面直角坐标系.
则 ， ，可设 ，
则 ，
所以
所以 .
又因为 ，所以 .
故选：D【典例5-2】已知 ， ，若动点P，Q与点A，M共面，且满足 ，
，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】以点 为原点，直线 为 轴建立平面直角坐标系，如图，则 ，
由 ，得点 在以 为圆心，2为半径的圆 上，
由 ，得点 在以 为圆心，1为半径的圆 上，
设 ，
则
，
当 时，能取到所有等号，
所以 的最大值为1.
故选：C
【变式5-1】在梯形 中， ， ， ， ， ， ， 分别为线段
和线段 上（包括线段端点）的动点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D【解析】
以AB为x轴，过A垂直于AB的直线为y轴，
因为 ，所以 ,
因为 ，所以 ,
,
当 时， 的最大值为3.
故选：D.
【变式5-2】在 ABC中，BC＝2， ，D为BC中点，在 ABC所在平面内有一动点P满足
△ △
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，即 ，
所以 ．因为 ， ，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）．
设 所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD，
则MD BC， ，可得 ， ， ．
⊥
以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
可得 ，圆M的方程为 ，
设 ，则 ，结合 ，
可得 ，
因为A点在圆M： 上运动，
所以 ，可得当 时， ，达到最大值．
综上所述，当 时， 有最大值 ．
故选：D．
【变式5-3】在 中， ， ， 是以 为直径的圆上任意一点，则 的最
大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：以 中点 为原点，建立平面直角坐标系，则 ， ，设 ， ，
所以 ， ，
所以 .
因为 ，（其中 且 ）.
所以 .
从而 .
故选：A
题型六：极化恒等式
【典例6-1】已知 中， ，若 所在平面内一点 满足 ，则
的最大值为 .
【答案】
【解析】如图，设 中点为 ，
因为 ，
所有 ，
所以 为 中点，
所以 ,又 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时等号成立，
又
，当且仅当 时等号成立，
所以
所以 .
故答案为： .
【典例6-2】在 中， ，点Q满足 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】设 中点为M，则 ，则 ，
，
又
，
由余弦定理可得：
，
有 ，
即 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，
即 .故答案为： .
【变式6-1】在边长为2的正方形 中，动点P，Q在线段 上，且 ，则 的最小值为
（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】方法一：设 的中点为 ，
则
（当 为 中点时取等号）.
方法二：建立平面直角坐标系如图所示.设 ，
因为在边长为2的正方形 中，动点P，Q在线段 上，且 ，
所以 ， ，
所以
，
所以当 时， 有最小值1.
故选：C.【变式6-2】点 是边长为1的正六边形 边上的动点，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】分别取 ， 中点Q，R，连接 ， ，
则由题 ， ，即 ，
所以 ，
作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大，
所以
，
所以 的最大值为3.
故选：C.
【变式6-3】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两
个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知
为弧 （含端点）上的一点，则 的范围为 ．
【答案】
【解析】取 中点为 ，则
，
其中易得 ，故 ．
故答案为： .
【变式6-4】（2024·河南新乡·二模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里
慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12，转盘的直径为
10，A，B为摩天轮在地面上的两个底座， ，点P为摩天轮的座舱，则 的范围为 ．
【答案】
【解析】设C为AB的中点，如图示：由题意可知： ,
则 ，
又因为 ，所以 的取值范围是 ,
故答案为：题型七：矩形大法
【典例7-1】已知圆 与 ，定点 ，A、B分别在圆 和圆 上，
满足 ，则线段AB的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以 为邻边作矩形 ，则
由 得
，即 ，
的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
，
．
【典例7-2】在平面内，已知 ， ，
，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以四边形 是平行四边形，
又 ，所以四边形 是矩形，
从而 ，因为 ，所以 ，即
【变式7-1】已知圆 ，点 ，M、N为圆O上两个不同的点，且 若
，则 的最小值为______．
【答案】 /
【解析】解法1：如图，因为 ，所以 ，故四边形 为矩形，设 的中点为S，连接 ，则 ，
所以 ，
又 为直角三角形，所以 ，故 ①，
设 ，则由①可得 ，
整理得： ，
从而点S的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，
显然点P在该圆内部，所以 ，
因为 ，所以 ；
解法2：如图，因为 ，所以 ，
故四边形 为矩形，由矩形性质， ，
所以 ，从而 ，
故Q点的轨迹是以O为圆心， 为半径的圆，
显然点P在该圆内，所以 ．
故答案为： ．
【变式7-2】设向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】建立坐标系，以向量 ， 的角平分线所在的直线为 轴，使得 ， 的坐标分别为 ，
，设 的坐标为 ，
因为 ，
所以 ，化简得 ，
表示以 为圆心， 为半径的圆，
则 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，
因为圆到原点的距离为 ，所以圆上的点到原点的距离的最小值为 ，
故选：B
题型八：等和线、等差线、等商线
【典例8-1】如图，在 中， ， 是线段 上一点，若 ，则 的最大值
为 .【答案】
【解析】因为 ,所以 ,
因为 在一条直线上，所以 ,
所以 ,当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
【典例8-2】（多选题）（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量 满足 ， ，
， .则下列说法正确的是（ ）
A．若点P在直线AB上运动，当 取得最大值时， 的值为
B．若点P在直线AB上运动， 在 上的投影的数量的取值范围是
C．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上， 取得最大值时， 的值为3
D．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上， 的范围是
【答案】BD
【解析】因为 ，即有 ，则以点 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向，
建立平面直角坐标系，则 ，由 ，得 ，
点 确定的直线 方程为： ，即 ，
当点 在直线 上时， ，即 ， ，
因此当 时， 取得最大值 ，此时 ， ，A错误；
在 上的投影的数量 ，
当 时， ，当 时， ，当且仅当 时取等号，即 ，
当 时， ，因为 恒成立，则 ，
所以 ，即 在 上的投影的数量的取值范围是 ，B正确；
当点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上时，因为与直线AB相切，
且半径为 的圆的圆心轨迹是与直线 平行，到直线 距离为 的两条平行直线，
设这两条与 平行的直线方程为 ，则 ，解得 或 ，
因此动圆圆心的轨迹为直线 或直线 ，
设圆心为 ，则点 在圆 上，其中 或 ，于是令 ，
，显然点 是直线 或 上任意一点，
即 ，从而 无最大值，即 无最大值，C错误；
，其中锐角 满足 ，
显然 ，当圆心 在直线 时， ，则 ，
当圆心 在直线 时， ，则 ，
所以 的范围是 ，D正确.
故选：BD
【变式8-1】如图所示， 是 的中点， 是平行四边形 内（含边界）的一点，且
，则当 时， 的范围是 .
【答案】
【解析】如图，过 作 ，交 于 ，作 ，交 的延长线于 ，
则： ，
又因为 ， ，则点 为 中点，
又 是 的中点，所以 ，则点 在 上，
由图形看出，当 与 重合时： ，此时 取最小值 ，
当 与 重合时： ，此时 取最大值 ，
所以 的范围是
故答案为：【变式8-2】如图，点 是半径为 的扇形圆弧 上一点，且 ，若 ，则
的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【解析】
如图所示，以 为 轴，过 作与 垂直的线作为 轴，
， ， ， ，
则 ， ，
设 ，
， ，
，
其中 ，又 ，所以 ，，即 时， 取得最大值，即 ．
故选：C．
【变式8-3】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若 ，则
的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【解析】以 为坐标原点，过点 平行于 的直线为 轴建立平面直角坐标系，
如图所示，可得 ，
因为 是边长为2的等边三角形，可得其外接圆的半径为 ，
因为点 在 的外接圆上，设 ，其中 ，
则 ，且 ，
又因为 ，可得 且 ，
所以 ，
当 时，即 时， 取得最大值为 ，
所以 取得最大值为 .
故选：C.【变式8-4】（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学
的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边 中， ，以三条边为直径
向外作三个半圆， 是三个半圆弧上的一动点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】如图所示，过点 作 ，交直线 于点 ，
设 ，可得 .
设 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，
由图可知，当 与半圆 相切时， 最大，
又由 ， ，可得 ，
所以 ，即 最大为 ，所以 的最大值为 .
故选：B.【变式8-5】平行四边形 中， ， ，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且
落在四边形 内部任意一点， ，若 ，则角 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，当 在直线 上时， ，
当圆 与 的切点在 延长线上时，圆 落在四边形 内部部分与直线 没有公共点，此时
，
当恰好切于点 时，则 ，又 ， ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，故 .
故选：B
题型九：平行四边形大法
【典例9-1】如图，圆 是半径为1的圆， ，设 ， 为圆上的任意2个点，则 的取值范围
是___________.【答案】
【解析】连接 ， ，设 是线段 的中点，连接 ，则有 .
设 为 和 的夹角.
则
，
，
（当 即 时取等）
因为 ，所以当 时， 有最小值 .
，
（当 即 时取等）
当 时， 有最大值为3，
即 有最大值3，所以 的取值范围是 .故答案为：
【典例9-2】如图，C，D在半径为1的 上，线段 是 的直径，则 的取值范围是
_________.
【答案】
【解析】以点O为原点， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设点 ， ，
则 ， ，
则 ，
其中 ，
所以 的最大值为：
，
则当 时， 取得最大值 ，
最小值为 ，则当 时， 取得最小值 ，
综上， 的取值范围为 .
故答案为： .
【变式9-1】（2024·浙江·模拟预测）已知 为单位向量，平面向量 ， 满足 ， 的取
值范围是____.
【答案】
【解析】建系，不妨设 ， ， ，则 ，再利用柯西不等式将所求
转化为 ，利用换元法求出最大值，最小值显然为 共线方向时取得.不妨设
， ， ，由已知，得 ， ，
，令
，则 ，又显然当 ， 向量反
向时， 最小，即 ， ，此时 ，综上， 的取值范围是 .
故答案为： .
【变式9-2】（2024·江西宜春·校联考模拟预测）半径为 的两圆 和圆 外切于点 ，点 是圆 上一点，
点 是圆 上一点，则 的取值范围为_______.
【答案】
【解析】设点 关于点 的对称点为 ，则点 在圆 上，
所以，
，
因为，
所以， ，
因为 ，
当且仅当 、 同向且 、 反向时， ，
当 时，则 ，所以， ，
所以， ，所以， ，
因为 ，则 ，
故当 且四边形 为菱形时， ，
因此， .
故答案为： .
【变式9-3】设圆 ，圆 的半径分别为1，2，且两圆外切于点 ，点 ， 分别是圆 ，圆 上的两
动点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】连接 分别与两圆交于 ，又两圆外切于点 ，
三点共线，连 ，延长 交圆 与 ，连 ，
分别为圆 ，圆 的直径，
，
又 ， ，设 为 中点，连 ，
先固定 ，根据向量数量积的定义，
当 在 同向投影最大值时 为与 平行的圆切线的切点，
记为图中的 点，此时 在 投影
，
当且仅当 ，等号成立，
同理当 在 投影最小（在 反向上）时，
为与 平行的圆切线的切点，
记为图中的 点，此时 在 投影 ，
，
当且仅当 时，等号成立，
，
所以 的数量积取值范围是 .
故选：C.
题型十：向量对角线定理
【典例10-1】已知平行四边形 ， ， ， ， 与 交于点 ，若
记 ， ， ，则（ ）A. B． C． D．
【答案】C
【解析】由对角线向量定理得 ，
所以 ，
而 ，
所以 ，选择C．
【典例10-2】如图，在圆 中，若弦 ，弦 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，由对角向量定理得
所以选D．
【变式10-1】在四边形ABCD中， ， 若， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，由对角线向量定理得
= ，所以选A．1．如图， 的三边长为 ，且点 分别在 轴， 轴正半轴上移动，点 在
线段 的右上方．设 ，记 ，分别考查 的所有可能结
果，则（ ）
A． 有最小值， 有最大值 B． 有最大值， 有最小值
C． 有最大值， 有最大值 D． 有最小值， 有最小值
【答案】B
【解析】设 ，
由余弦定理得
过 点作 轴，设垂足为 ，
在 中， ，
所以
在 中，
，
所以
由
即
得 ，
所以 ，当且仅当 时取最小值，没有最大值．
，
其中 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 即 时取最大值，没有最小值．
故选：B.
2．在矩形 中， ， ， 为矩形 所在平面内的动点，且 ，则 的最大
值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】如图，建立平面直角坐标系，设 ， 中点为 ，
因为 ， ，所以 , ， ， ，
得到 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又 ，当且仅当 （ 在 的延长线上）三点共
线时取等号，
所以 ，故选：B.
3．（2024·湖北黄冈·二模）已知 为单位向量，向量 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．9 B．3 C． D．10
【答案】C
【解析】根据条件得 ，
得到 ，所以 ，即 的最大值为 ，
故选：C.
4．已知 为单位向量，向量 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．9 B．2 C． D．8
【答案】C
【解析】依题意设 ， ，
由 ，所以 ，则 ，
又 ，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
即 的最大值为 .
故选：C.
5．如图，在等腰梯形 中， ， ， ， ，点 是线段 上一点，且满足
，动点 在以 为圆心的半径为 的圆上运动，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，以 为原点，建立直角坐标系.
由题意，梯形 的高长为 ，则 .
因为以 为圆心的半径为 的圆的方程为： ，可设点 ， .
则
其中， ，
故当 时， .
故选：A.
6．（2024·四川成都·模拟预测）在矩形 中， ，点 是线段 上一点，且满足
.在平面 中，动点 在以 为圆心，1为半径的圆上运动，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
动点 在以 为圆心，1为半径的圆上运动，故设 ，
则 ,
，其中锐角 满足
，故 的最大值为 ,
故选：A7．（2024·贵州贵阳·三模）已知 ，则 的最
大值为（ ）
A． B．4 C．6 D．
【答案】C
【解析】如图所示，
不妨设 ， ， ， ， ，满足 ， ， ，
又 ，即 ，
由椭圆的定义可知点 在以 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，
， ， ，所以该椭圆方程为 ，
而 ，即 ，
即 ，这表明了点 在圆 上面运动，其中点 为圆心， 为半径，
又 ，等号成立当且仅当 ， ， 三点共线，
故只需求 的最大值即可，因为点 在椭圆 上面运动，
所以不妨设 ，
则 ，
所以当 ，且 ， ， 三点共线时，
有最大值， ．故选：C．
8．已知非零平面向量 ， 的夹角为 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由向量 ， 的夹角为 及 ，得 ，即 ，
则 ，令 ，
于是
，当且仅当 ，即 时取等号，
由 ，解得 ，
所以当 且 时， 取得最大值 .
故选：B
9．如图，在矩形 中， 与 的交点为 为边 上任意一点（包含端点），则
的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．10 D．12
【答案】C
【解析】以点 为坐标原点， 的方向为 轴， 轴正方向，建立平面直角坐标系，则
， ，
设 ，所以 ，则 ，因为 ，所以 ，即 的最大值为10.
故答案为：C
10．如图所示， 中，点 是线段 的中点， 是线段 上的动点，若 ，则
的最小值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
【答案】D
【解析】因为点 是线段 的中点，则 ，
则 ，
因为 三点共线，所以 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：D
11．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成
的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为4的正六边形 ，内部圆的圆心为该正六边形的
中心 ，圆 的半径为2，点 在圆 上运动，则 的最小值为（ ）A．-8 B．-4 C．0 D．4
【答案】C
【解析】
如图，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 的垂直平分线所在直线为 轴，建立平面直角坐标系.
设点 ，由题意知， ，
则 ， ，
所以 ，
因 ，则 ,
故当 时，即 时， 取最小值0.
故选:C.
12．已知点 、 在圆 上，且 ， 为圆 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点 、 在圆 上，且 ， 为圆 上任意一点，因为 ，所以， 是等边三角形，则 ，
不妨设 、 ，设点 ，
所以 ， ，
所以 ，
即 的最小值为 .
故选：C.
13．已知 是边长为4的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系.
则 设 ，
则
所以
所以当 时, 取得最小值为 .
故选：D.14．已知向量 的夹角为 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】因为向量 的夹角为 ，且 ，则 ，
可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值是 .
故选：C.
15．扇形 的半径为1， ，点 在弧 上运动，则 的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．-1
【答案】A
【解析】以 为原点，以 所在直线为 轴，过 作 的垂线为 轴，建立平面直角坐标系，
设 ，则 ，其中 ， ， ，
故 ， , ，
，
， ， ，
，
的取值范围为 , ，故 的最小值为 ；
故选：A．
16．（多选题）在 中， ，点 是等边 （点 与 在 的两侧）边上的一动点，若 ，则有（ ）
A．当 时，点 必在线段 的中点处 B． 的最大值是
C． 的最小值是 D． 的范围是
【答案】BCD
【解析】
如图，过 中点作 的平行线与 的三边有两个交点，所以 时，点 有两种情况，故A错；
在三角形 中由余弦定理得 ,
解得 ，则 ， ，
，
以 为原点， 为 轴，过点 垂直 向上的方向为 轴建系，
， ， ， ， ， ， ，
， ，
当点 在 上时， ，
当点 在 上时，设 ， ，
，
则 ， ， ，
所以当 时， 最大为 ，
当点 在 上时，设 ， ，，
则 ， ， ，
当 时， 最大为 ，
综上可得，当点 在点 处时 最大为 ，故B正确；
根据数量积的几何意义可得，当点 在点 处时 最小，
此时 ，故C正确；
取 中点 ，则 ，
因为 ，所以 ，故D正确.
故选：BCD.
17．（多选题）已知点A、B、P在 上，则下列命题中正确的是（ ）
A． ，则 的值是
B． ，则 的值是
C． ，则 的范围是
D． ，且 ，则 的范围是
【答案】BCD
【解析】由
当 时， ，则A错，B正确；
由
因为 ，所以 的范围是 ，故C正确；
设 方程为 ，
由 得则 ，得
所以 ，故D正确．
故选：BCD
18．（多选题）已知圆 半径为2，弦 ，点 为圆 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的最大值为6
C． D．满足 的点 只有一个
【答案】AB
【解析】对于A选项，圆 半径为2，弦 ，故 为等边三角形，
取 的中点 ，连接 ，则 ，所以 ，A正确；
对于 选项，过点 作 平行于 ，交圆与点 ，
过点 作 ，交 延长线于点 ，连接 ，
则四边形 为菱形，
由投影向量可知，当点 与点 重合时， 取得最大值，
此时 ，
故 的最大值为 ，B正确；
对于C选项， ，
因为四边形 为菱形，所以 ，且 ，
因为 为定值，故当 与 平行且方向相同时， 取得最大值，最大值为 ，
当 与 平行且方向相反时， 取得最小值，最小值为 ，
故 ，C错误；
对于D选项，因为点 为圆 上任意一点，故当 重合时， ，
又当 时，满足 ，故满足 的点 有2个，D错误.
故选：AB
19．（多选题）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦
定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆 的半径2，点 是圆 内
的定点，且 ，弦 均过点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为定值
B． 的取值范围是
C．当 时， 为定值
D． 的最大值为16
【答案】ACD
【解析】对于A，如图，过 作直径 ，
由题意 ，
所以
为定值，故A正确；
对于B，若 为 中点，连接 ，则，
由题意 ，则 ，故B错误；
对于C，若 ，故 ，
则 ，
又 ，则 ，同理可得 ，故 ，
故C正确；
对于D，因为 ，则当弦 均与 重合时，
此时 有最大值，为16，故D正确.
故选：ACD.
20．（多选题）如图，在梯形 中， 分别在线段
上，且线段 与线段 的长度相等，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最大值为18
C． 的最大值为 D． 的面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，设 ，则
，
对于A,B， ，故A错误，B正确；对于C， ，
当 时， 取得最大值，且最大值为 ，故C正确；
对于D， 的面积
，当 时， 取得最大值，且最大值为 ，故D正确．
故选：BCD.
21．（多选题）（2024·山东潍坊·二模）已知向量 ， ， 为平面向量， ， ， ，
，则（ ）
A． B． 的最大值为
C． D．若 ，则 的最小值为
【答案】BCD
【解析】对A，设 ，根据 有 ，
即 ，为圆心为 ，半径为 的圆，又 的几何意义为原点到圆
上 的距离，则 ，故A错误；
对B，
，则转化为求圆 上的点到 的距离最大值，
为 ，故B正确；对C， ，因为 ，故 ，故C正确；
对D，因为 ，故 ，
又因为 ，故 ，
，
故当 时，取最小值 取最小值 ，故D正确.
故选：BCD
22．（2024·甘肃·一模）已知单位向量 满足 ，则 的范围是 .
【答案】
【解析】设 的夹角为 ，
因为 ，
又 为单位向量，得到 ，
又 ，得到 ，所以 ，
故答案为： .
23．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点 满足
，则 的范围为 .
【答案】
【解析】以 中点为原点 ，以 所在直线为 轴，以 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系
，
因为 ，所以 ， .设 ，因为 ，所以 ，
整理得 ，即 .
.
又 ，
则 ，则 .
故答案为：
24．在 中， ， ， ，点P是 内一点（含边界），若 ，
则 的最大值为 .
【答案】 /
【解析】以A原点，以 所在直线为 轴，建立如图平面直角坐标系，
由 ，得 ，
设 ，
因为 ，
所以 ，得 ，
所以 ，又直线 的方程为 ，
由 ，解得 ，此时 最大，所以 .
故答案为：
25．（2024·天津河西·三模）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B）， ，
， ， ； 的最大值为 ．
【答案】 2 2
【解析】由题意可知O为 的中点，且 ，
则 ；
设 ，作 ，交 的延长线于E，
在 中，
故 ，则 ，
，又 ，故 ，
则 ，
故 ，
当 时， 取到最大值2，
故答案为：2；2
26．如图所示，在边长为3的等边三角形 中， ，且点P在以 的中点O为圆心、 为半径的半圆上，若 ，则下列说法正确的是 ．
① ② 的最大值为
③ 最大值为9
④
【答案】①③
【解析】对于①，因为 ，且点P在以 的中点O为圆心， 为半径的半圆上，
所以 ，则 ，
对于④，
，
则 ，
对于③，如图，以点O为原点建立平面直角坐标系，
则 ，
因为点P在以 的中点O为圆心， 为半径的半圆上，
所以点P的轨迹方程为 ，且在x轴的下半部分，
设 ，
则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， 取得最大值9，故③正确；
对于②，因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， 取得最大值 ，故②错误．
故答案为：①③
27．如图所示，在边长为3的等边三角形 中， ，且点 在以 的中点 为圆心， 为
半径的半圆上，则 的最大值为 ．
【答案】9
【解析】如图，过 向 作垂线，垂足为 ，则 在 上的投影向量是 ，
在 上的投影向量 可能与 同向，也可能与 反向，在本题中 与 的夹角为锐角，所以是同向的，
由向量数量积的几何意义， ．
由等边三角形 边长为3， ，得 ，即半圆 的直径为2，
过点 作直线 的垂线 ， 与直线 的夹角为 ， ，
则圆心 到直线 的距离为1，所以直线 与圆 相切，
记切点为 ，当点 在半圆上运动到与 重合时， ， 最大，
取最大值，最大值为 ．
故答案为：9.
