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专题08.三角形中的特殊模型-双角平分线模型
模型1、双角平分线模型
1）两内角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点G；结论： ．
图1 图2 图3
2）两外角平分线的夹角模型
条件：如图2，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论： ．
3）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：
．
图4 图5 图6
4）凸多边形双内角平分线的夹角模型
条件：如图4，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：
5）两内角平分线的夹角模型
条件：如图5，BP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：
6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）条件：如图6， ， 的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ，
， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是．
7）旁心模型
旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
h
2
C C
D D
h
3 h
1
B A E B A E
条件：如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD
例1．（2023·绵阳市八年级课时练习）如图，在 中， ， ， 平分 ，
平分 ，则 .
例2．（2023·河南周口·八年级统考期末）如图，在四边形 中， ， 的平分线与
的平分线交于点P，则 （ ）
A． B． C． D．
例3．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）已知：如图， 是 内一点，连接 ， ．(1)猜想： 与 、 、 存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若 ， 、
分别是 、 的三等分线，直接利用（1）中结论，可得 的度数为 ．
例4．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在 中， ，三角形两外角的角平分线交于点
E，则 ．
例5．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，已知在 中， 、 的外角平分线相交于点 ，若
， ，求 的度数.
例6．（2023春·广西·七年级专题练习）如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点
E，∠A=80°，求∠E的度数例7．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 与 的平分线
交于点 ，得 ； 与 的平分线相交于点 ，得 ； ； 与 的平分线相
交于点 ，得 ，则 ．
例8．（2023·河北·九年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线
上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A
度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是
否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
例9．（2023·重庆·七年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提
出的问题.探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现
，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线
∴ ，
∴
∴
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有怎
样的关系？请说明理由．
（2）探究3： 如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则 与 有
怎样的关系？（直接写出结论）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与
∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
（4）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平
分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_____度．课后专项训练
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图， 平分 ，点 是射线 ， 上的点，连接 ．
按以下步骤作图：
①以点 为圆心，任意长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ；
②分别以点 和点 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点 ；
③作射线 ，交 于点 ．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏·八年级月考） 中，点 是 内一点，且点 到 三边的距离相等；
，则A． B． C． D．
3．（2023·成都·八年级月考）如图， 的外角 的平分线 与内角 的平分线 交于点
，若 ，则
A． B． C． D．
4．（2023·重庆·八年级专题练习）已知，如图， 中， ， ，点D、E分别在
、 延长线上， 平分 ， 平分 ，连接 ，则 的度数为（ ）
A．45° B．48° C．60° D．66°
5．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在 中， ， ，点E在 的延
长线上， 的平分线 与 的平分线 相交于点D，连接 ，下列结论中不正确的是（
）
A． B． C． D．
6．（2022春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，已知 ，点 在两平行线之间，连接 ， ，
的平分线与 的平分线的反向延长线交于点 ，若 ，则 等于（ ）．A． B． C． D．
7．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半
轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
8．（2023·江苏·八年级月考）如图， 的外角 的平分线 与内角 平分线 交于点 ，
若 ，则 的度数是 ．
9．（2023春·河北·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与
∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝
10．（2022秋·浙江八年级课时练习）（2018育才单元考） 如图，在△ABC中， 和 的角平分线交于点 ，得 ， 和 的角平分线交于点 ，得 ，……， 和 的角
平分线交于点 ，得
（1）若 ，则 ， ，
（2）若 ，则 ．
11．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，ADm，ABC的平分线与BCD
的平分线交于点P，则P ．（用含字母m的代数式表示）
12．（2023春·河南·七年级专题练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角
平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ．
13．（2023·甘肃陇南·统考一模）在ABC中，AB AC，A100．点M在BC的延长线上，ABC的
平分线交AC于点D．MCA的平分线与射线BD交于点E．
(1)依题意补全图形；用尺规作图法作MCA的平分线；(2)求BEC的度数．14．（2023·山东八年级期中）如图，在 中，角平分线 、 、 相交于点 ，过点 作
于点 ， 成立吗？说明理由.
15．（2023·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在 ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分
线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2△）如图（2）所示，若O为∠ABC的平
分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？
16．（2023春·八年级单元测试）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别
与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB= ，则∠ADB=
．17．（2023·福建泉州·七年级阶段练习）在 中，已知 .
（1）如图1， 的平分线相交于点 ．①当 时， 度数= 度（直接写出结果）；
② 的度数为 （用含 的代数式表示）；
（2）如图2，若 的平分线与 角平分线交于点 ,求 的度数（用含 的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将 以直线BC为对称轴翻折得到 ， 的角平分线与 的角平
分线交于点 （如图3），求 的度数（用含 的代数式表示）．
18．（2023·江苏盐城·七年级阶段练习）如图，△ABC的角平分线相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求
∠BPC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度数（3）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分线相交于R，且∠A=m°，∠CBR= ∠CBD，∠BCR= ∠BCE，求
∠BRC的度数
19．（2023·江西上饶·八年级校考阶段练习）(1)探究1:如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP
和CP的交点,若∠A=70∘，则∠BPC=_______度；
(2)探究2:如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量
关系?并说明理由．
(3)拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α.,直接写
出∠BPC与α的数量关系；
20．（2023·甘肃天水·七年级统考期末）已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或外
角平分线交于点O，（1）如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．
（2）请直接写出结果．
如图2，若 ，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝________；
如图3，若 ，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝_________．
