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专题 08 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法
类型一、平行四边形存在性问题
例．已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与轴交于 点，点 是
抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 的横坐标为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接 ， ， ，设 的面积为 ．
①求 关于 的函数表达式；
②求 点到直线 的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)如图2，设抛物线的对称轴为 ， 与 轴的交点为 ，在直线 上是否存在点 ，使得
四边形 是平行四边形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数 与x轴交于A、B两点
（A点在B点的左侧），直线 与抛物线交于A、C两点．
(1)求点C的坐标；
(2)点P为直线 下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交 于E点，当 最长时求
此时点P的坐标；
(3)抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以 为顶点的四边形为平行四边
形？若存在请求出N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．【变式训练2】如图，抛物线 经过 ， 两点．
(1)求此拋物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点 ，使得 值最小，求最小值；
(3)点 为 轴上一动点，在拋物线上是否存在一点 ，使以 ， ， ， 四点构成的
四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练3】综合与实践
如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点
C，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接 ．
(1)求抛物线的解析式：
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是以 为腰的等腰三角形？如果存在，求
出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行
四边形，直接写出点E的坐标．类型二、菱形存在性问题
例．如图，抛物线 交 轴于点 和 ，交 轴于点 ，顶
点为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形 的面积为 ，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点 是对称轴上一点，点 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的
抛物线上是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，且 ，
如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图1，抛物线 交x轴于点 和点 ，交y轴于点
C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点D是直线 上方拋物线上一动点，连接 ， 和 ， 交 于点M，设
的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点D的坐标；
(3)如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作 轴交直线 于Q点，请问在y轴
上是否存在点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由
【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴分别交于
两点（点 在点 左侧），与 轴交于 点．
(1)求 的面积；
(2)点 为直线 上方抛物线上的任意一点，过点 作 轴交直线 于点 ，求
的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移 个单位长度得到新的抛物线，点 为原抛物
线与平移后的抛物线的交点，点 为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点 为坐标平面
内的一点，直接写出所有使得以点 为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并
把求其中一个点 的坐标的求解过程写出来．
类型三、矩形存在性问题
例．已知抛物线 交x轴于点 和点 ，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线 下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交
直线 于点D，交x轴于点E，当 取最大值时，求点P的坐标及 最大值．(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且 为
一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 交 轴于 、
两点，交 轴于点 ．
(1)求点 、 、 的坐标；
(2)将抛物线 向右平移1个单位，得到新抛物线 ，点 在坐标平面内，在新抛物线 的
对称轴 上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求
出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，抛物线 经过点 ， ， ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点 为第一象限内抛物线上的一点，设 的面积为S，求S的最大值及此时点 的
坐标；
(3)已知 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点 ，使以 、 、 、 为顶点
的四边形是矩形？若存在，直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由．类型四、正方形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛
物线 经过 两点， 是位于对称轴左侧的抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的对称轴方程；
(2)若点 满足 ，求点 的坐标；
(3)设 是抛物线的对称轴上一点， 是坐标平面内一点，若四边形 是正方形，求
此正方形的面积．
【变式训练1】如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左
侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标
为m，过点P作直线 轴于点D．交 于点E．过点P作 的平行线，交y轴于点
M．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线 的函数表达式；(2)在点P的运动过程中，求使四边形 为菱形时，m的值；
(3)点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线 上是否存在点Q使得以P，E，
Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理
由．
【变式训练2】如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点
，点 在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 在第一象限内，过点 作 轴，交 于点 ，作 轴，交抛物线于点 ，
点 在点 的左侧，以线段 为邻边作矩形 ，当矩形 的周长为11时，
求线段 的长；
(3)点 在直线 上，点 在平面内，当四边形 是正方形时，请直接写出点 的
坐标．
课后训练
1．如图1，抛物线 与 轴交于 ， ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点 、 为直线 下方抛物线上的两点，点 的横坐标比点 的横坐标大1，
过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图3，将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位
长度得到新的抛物线 ，在 的对称轴上有一点 ，坐标平面内有一点 ，使得以点 、
、 、 为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点 的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ，点 为抛物线上的动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 为直线 上的动点，当点 在第四象限时，求四边形 面积的最大值及此
时点 的坐标；
(3)已知点 为 轴上一动点，点 为平面内任意一点，是否存在以点 ， ， ， 为顶
点的四边形是以 为对角线的正方形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请
说明理由．
3．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，直线 与
抛物线交于 、 两点，与 轴交于点 ．
(1)求出抛物线与直线的解析式；(2)已知点 为线段 上一动点，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，连接 、
，求 的最大面积；
(3)若点 是 轴上的一动点，点 是抛物线上一动点，当以点 、 、 、 四点为顶
点的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点 的坐标．
4．在平面直角坐标系中，抛物线 （ ）经过点 ， 和 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若直线 与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当 有最大值时，
求出抛物线上点M的坐标；
(3)若点P为抛物线（））的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平
移后抛物线上一动点，在（2）的条件下求得的点M，是否能与A，P，Q构成平行四边形？
若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
