专题08圆中的最值模型之阿氏圆模型解读与提分精练（苏科版）（教师版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_常见几何模型全归纳-V13_2025版

专题 08 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化 归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆 问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 ....................................................................................................................................................1 模型1.阿氏圆模型...........................................................................................................................................1 ..................................................................................................................................................13 模型1.阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且 k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为 阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 P A B O如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即 ）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即 ），∵ ，∴ ， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴ ，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在 于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一 内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中 P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024·安徽合肥·二模）在 中， ，点D是平面上一点，且 ， 连接 ，则下列说法正确的是（ ） A． 长度的最大值是9 B． 的最小值是 C． D． 面积的最大值是40 【答案】B【分析】本题考查了相似三角形判定与性质、勾股定理、点和圆的位置关系等知识，牢记相关性质是解题 关键，根据点和圆的位置关系直接判断A、C、D，根据相似三角形判定与性质及勾股定理、两点之间线段 最短判断B即可． 【详解】解：A、 ，点D是平面上一点，且 ， 点A、C、D在同一直线上且D在 延长线上时， 长度的最大值是 ，故本选项不符合题意； B、在 上取点E，使 ，连接 ， 当B、D、E共线时 最小， 此时， ，故本选项符合题意； C、 点D是平面上一点，且 ， 点在以点C为圆心，4为半径的圆上， 随着点D 的变化而变化，故本选项不符合题意； D、 点在以点C为圆心，4为半径的圆上， 如下图，当 所在直线垂直于 时， 面积的最大， 在 中， ， ， ， ， ， ， 面积的最大值是44，故本选项不符合题意；故选：B． 例2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的 一个动点，则 的最大值为_______．【答案】 【分析】如图，连接 ，在 上取一点 ，使得 ，进而证明 ,则在点P运动的 任意时刻，均有PM= ，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜ DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得 ． 【详解】如图，连接 ，在 上取一点 ，使得 ， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形 是正方形在 中， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造 是解题的关键． 例3．（2024·四川成都·九年级校考期中）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B为圆心 作圆B与AC相切，点P是圆B上任一动点，连接PA、PC，则 PA+PC的最小值为 ． 【答案】 【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，PB，AD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半 径，再根据等腰直角三角形的性质得到BH＝ AC＝ ，接着证明△BPD∽△BCP得到PD＝ PC，所 以PA+ PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA+ PC的最小值，乘以 可得结论． 【详解】解：过B作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，PB，AD，∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径， ∵∠B＝90°，AB＝CB＝2，∴AC＝ BA＝2 ，∴BH＝ AC＝ ，∴BP＝ ， ∴ ， ，∴ ，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP， ∴ ，∴PD＝ PC，∴PA+ PC＝PA+PD， 而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时且P在AD之间时取等号）， 而AD＝ ＝ ，∴PA+PD的最小值为 ，即PA+ PC的最小值为 ， 则 PA+PC的最小值 ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线 段之间的关系．同时也考查了等腰直角三角形的性质． 例4．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图， 的半径为 ， ， ， ， 点 为圆上任意一点，连接 ，则 最小值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，延长 到E，使得 ，过点E作 交 延长线于F，连接 ， 证明 得到 ，则当 三点共线时， 最小，即 最小，最小 值为 的长；求出 ，进而求出 ， ，则，又勾股定理可得 ，则 的最小值为 ． 【详解】解：如图所示，延长 到E，使得 ，过点E作 交 延长线于F，连接 ， ∵ ，∴ ，∵ 的半径为 ，∴ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴当 三点共线时， 最小，即 最小，最小值为 的 长， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ 的最小值为 ，故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，圆的基本 性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形把求 的最值问题转换成求 的最值问题是解 题的关键． 例5．（2024·福建·九年级校考期中）如图，正方形 边长为 4， 是 的中点， 在 上， 的最大值是 ， 的最小值是 .【解答】解：(1)如图，连接 ， ，交于点 ，连接 ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 、 、 在一条直线上时， ， . (2)延长CD至点H，使CH=2CD 显然 ，由（1）可知 ∴ 由勾股定理可得， ，故 . 例6．（2024·安徽芜湖·二模）如图，正方形 边长为4，点 分别在边 上，且满足 交于 点， 分别是 的中点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】由 可得 ，从而由角的关系可知 ，故 点 在以 为直径的半圆 上移动，如图2，连 ，在 上截取 ，连 ， 得 ，从而得 的最小值为线段 的长度，如图3，作 ，垂 足为 ，求出 ，则 的最小值为 ． 【详解】解：∵四边形 是正方形，∴ 又 ∴ ，∴ 又 ∴ ∴ 即 ， ∴点 在以 为直径的半圆 上移动，如图，连 ，在 上截取 ，连 ， ∵正方形 边长为4，∴ 又 ， ∴ , ，而 的最小值为线段 的长度， 如图，作 ，垂足为 ，则四边形 是正方形， ∴ ∴ ∴ ， ∴ 的最小值为 ．故选：C 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理 等知识，解决本题的关键是证明 ，而 的最小值为线段 的长度，由勾股定理求出 ． A2,0 B0,2 C5,2 D4,4 例7．（2024·江苏·九年级阶段练习如图，在平面直角坐标系中， 、 、 、 ， APB135 2PD4PC 点P在第一象限，且 ，则 的最小值为 ． 【答案】6 10  2  【分析】取一点T  ，0 ，以O为圆心， 为半径作圆，与 交于点F，连接 ，首先利  2  OT OD PF，PC，FC 用 四 点 共 圆 证 明 OP2， 再 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 证 明 2PD4PF， 推 出 2PD4PC 4PF4PC 4PFPC ，根据PF+PCFC，利用两点之间的距离公式，即可求出 FC 的 最小值，即可得．  2  【详解】解：如图所示，取一点T  ，0 ，以 O 为圆心， 为半径作圆，与 交于点 F，连接  2  OT OD PF，PC，FC， ∵A2,0 、B0,2 ，D4,4 ，∴OAOB2，OD 4242 4 2， 以O为圆心，OA为半径作O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA， 1 ∵Q AOB45， ，∴ ， 2 APB135 QAPB45135180 2 ∴A，P，B，Q四点共圆，∴ ，∵ ，OF  ， ， OPOA2 OP2 2 OD4 2 OP OD ∴ ，∴  ，∵ ，∴ ， OP2 OFOD OF OP POF POD △POF∽△DOPPF OF 2 ∴   ，∴ ，∴ 2PD4PC 4PF4PC 4PFPC， PD OP 4 2PD4PF 2 1 1 过点F作 FGOA 于点G，∵ D4,4，OF  2 ，∴ DOG45 ∴点F的坐标为 2 ， 2   ，  1 2  1 2 3 10 ∵ C5,2 ，∴FC    5 2     2 2    2 ∵PF+PCFC，即 2PD4PC 4PFPC4FC 6 10 ,∴ 2PD4PC的最小值是6 10 例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在 PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点 且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正△方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P 是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4， ∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）10；（3） 【分析】（1）证明 PAQ∽ BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ； （2）在AB上取一点△Q，使得△AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值 最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在 CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC−PB的最大值． 【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQAB=4．∴ ． ⋅ 又∵∠A=∠A，∴ PAQ∽ BAP．∴ ．∴PB=2PQ； △ △ （2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ． ∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)． ∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小． ∵QC= =5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10．（3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂 直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1． 由（1）得PB=2PQ，∴2PC−PB=2PC−2PQ=2(PC−PQ) ， ∵PC−PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大． ∵QC= = ，∴2PC−PB=2(PC−PQ)≤2 ．∴2PC−PB的最大值为2 ． 【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线 段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为 两点之间线段最短解决． 例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点 ． (1)求直线 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三 角形?若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点 为圆心，画半径为2的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小值． 【答案】(1)直线 的解析式为 ；抛物线解析式为(2)存在，点M的坐标为 或 或 (3) 【分析】（1）根据对称轴 ， ，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当 时，求出直线 的解析式为 ，解 方程组 ，即可得到点M的坐标；②当 时，求出直线 的解析式为 ， 解方程组 ，即可得到点M的坐标；（3）在 上取点 ，使 ，连接 ，证得 ，又 ，得到 ，推出 ，进而得到当点C、P、F三点共线时， 的值最小，即为线段 的长，利用勾股定理求出 即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴 ， ，∴ ， 将 代入直线 ，得 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ； 将 代入 ，得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）存在点 ，∵直线 的解析式为 ，抛物线对称轴 与 轴交于点 ． ∴当 时， ，∴ ， ①当 时，设直线 的解析式为 ，将点A坐标代入， 得 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ， 解方程组 ，得 或 ，∴点M的坐标为 ； ②当 时，设直线 的解析式为 ，将 代入，得 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ， 解方程组 ，解得 或 ，∴点M的坐标为 或 综上，点M的坐标为 或 或 ； （3）如图，在 上取点 ，使 ，连接 ， ∵ ，∴ ，∵ ，、∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ，即 ， ∴ ，∴当点C、P、F三点共线时， 的值最小，即为线段 的长， ∵ ，∴ ，∴ 的最小值为 ． 【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质， 勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在 中， ， ， ，以 为圆 心，4为半径作圆 ，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则 最小值为（ ）． A．13 B． C． D． 【答案】B 【分析】当 在一条直线时值最小，连接 ，取 的中点E，证明 ，求出 即可 解得． 【详解】解：连接 ，取 的中点E， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 在一条直线时值最小， ， ∴ 最小值为 ， 故选：B．【点睛】此题考查了三角形相似、勾股定理、圆的性质，解题的关键是构造相似三角形． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在 中， ， ， ， 、 分别是边 上的动点，连接 ，过点 作 交 于点 ，垂足为 ，连接 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查以直角三角形为背景的两条线段和最小问题，首先由 ， ，发现 G在以 为直径的圆上运动，再通过构造直角三角形将 转化为 ，将所求问题转化为常规两条 线段和最小问题来解决． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴点G在以 为直径的圆上运动， 过B作 ，作 于H，∵ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴当G、F、H共线时， 最小， ∴过O作 于M， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， 作 于K，得 ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ 最小值为 ， ∴ 最小值为 ．故选：A． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径， ， ，D为弧 的中点，M是弦 上任意一点（不与端点A、C重合），连接 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，连接 ，根据圆周角定理可证 ，则 ，故 ，从而 的最小值为 的长， 再利用三角函数计算即可． 【详解】解：过点 作 于 ，过点 作 于 ，连接 ， 为 的直径， ， ， ， ， ， ， ，的最小值为 的长， 为弧 的中点， ， 在 中， ， ， 的最小值为 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，特殊角的三角函数，垂线段最短等知识， 将 的最小值转化为 的长是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知：等腰 中， ， ， 是 上 一点，以 为圆心的半圆与 、 均相切， 为半圆上一动点，连 、 ，如图，则 的最 小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质．设半圆与 、 的切点为 、 ，取 的中点 ，连接 、 ，根据已知条件证明 ，得 ，当 且仅当 、 、 三点共线时， 取得最小值，进而求解． 【详解】解：设半圆与 、 的切点为 、 ， 连接 、 、 、 ，则 ， ， ， 所以 平分 ， ， ，， ， ， 取 的中点 ，连接 、 ， 则 ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， 当且仅当 、 、 三点共线时， 取得最小值, 最小值为 ． 故答案为： ． 5．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图， ， ， ， 为 上的一段弧， 且 ，分别在 、线段 和 上选取点 ， ， ，则 的最小值为 ．【答案】 【分析】如图，连接 ，作点P关于 的对称点M，作点P关于 的对称点N，连接 交 于E，交 于F，此时 的周长 ，，求出 的最小值即可解 决问题． 【详解】解：如图，连接 ，作点P关于 的对称点M，作点P关于 的对称点N，连接 交 于E，交 于F， 此时 的周长 ， ∴当 的值最小时， 的值最小， ， ， ， ∴当 的值最小时， 的值最小，取 的中点J，连接 ． ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ∵当点P在直线 上时， 的值最小，最小值为 ， 的最小值为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，轴对称−最短问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知 识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题． 6．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形 中，E、F分别为 上的动点， ，连接 交于点P，则 的最小值为 ．【答案】2 【分析】证明 ，则 ， ，如图，记 的中点为 ，则 在以 为圆心， 为直径的圆上，如图，连接 ，由勾股定理得， ， 如图，在 上取点 使 ，则 ，连接 ， ，证明 ，则 ， 即 ，由 ，可得当 三点共线时， 的值最小，为 ，如 图，作 于 ，则 ， ， ，则 ，即 ，可得 ，即 ，由勾股定理得， ，根据 ，计算求解即 可． 【详解】解：∵正方形 ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 如图，记 的中点为 ，则 在以 为圆心， 为直径的圆上，如图，连接 ， 由勾股定理得， ， 如图，在 上取点 使 ，则 ，连接 ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴当 三点共线时， 的值最小，为 ， 如图，作 于 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴ ， 由勾股定理得， ， 由勾股定理得， ， 故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理， 圆周角所对的弦为直径， 相似三角形的判定与性质，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理， 圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦是解题的关键． 7．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在ΔABC中， ， ， ，以点 为圆心，6为半径的圆上有一个动点 ．连接 、 、 ，则 的最小值是 ． 【答案】 【分析】在CA上截取CM，使得CM=4，连接DM，BM．利用相似三角形的性质证明DM= AD，推出 AD+BD=DM+BD≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题． 【详解】解：在CA上截取CM，使得CM=4，连接DM，BM． ∵CD=6，CM=4，CA=9， ∴ ， ∴ ， ∵∠DCM=∠ACD， ∴△DCM∽△ACD， ∴ ， ∴DM= AD，∴ AD+BD=DM+BD， ∵DM+BD≥BM， 在Rt CBM中，∵∠CMB=90°，CM=4，BC=12， △ ∴BM= ， ∴ AD+BD≥ ， ∴ AD+BD的最小值为 ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添 加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 8．（2024·江苏·校考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的 圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 . 【答案】 【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将 转化为DE，从而求得 的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值． 【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4 ∵AC=9，CD=6，CE=4∴ ∵∠ECD=∠ACD ∴△DCE∽△ACD ∴ ∴ED= 在△EDB中，ED+DB≥EB ∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB ∴ 在Rt ECB中，EB= △ ∴ ∴2AD+3DB= 故答案为： ． 【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD． 9．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心，6 为半径的圆上有一动点 ，连接 、 、 ，则 的最小值是 【答案】 【分析】本题考查求最值问题，在 上取一点 ，使得 ，先证 ，将 转化为 ，从而求得 的最小值．解题关键是构造出 由性质转换等量关系． 【详解】解：如图，在 上取一点 ，使得 ， ∵ ， ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ 最小值为 的长度， ∴ 的最小值等于 的长度， 在 中， ， ∴ 的最小值 ． 故答案为： ． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在 中， ， ， ，D、E分 别是边BC、AC上的两个动点，且 ，P是DE的中点，连接PA，PB，则 的最小值为 ．【答案】 【分析】在BC上截取CF＝ ，连接PF，CP，AF．通过证明△ACP∽△PCF，可得 ，则PA +PB ＝PA+PF，当点A点P，点F共线时．PA+ PB的最小值为AF，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图：在BC上截取CF＝ ，连接PF，CP，AF． ∵DE＝8，P是DE的中点， ∴CP＝ DE＝4 ∵ ， ， ∵ ， ； ∴ ，且∠FCP＝∠BCP ∴△PCF∽△BCP， ∴ ，∴PF＝ BP， ∵PA+ PB＝PA+PF， 当点A、点P、点F共线时，PA+ PB的最小值为AF ∴AF＝ ＝ ＝ ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，添加恰当的辅助线是解答本题的关键． 11．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在 中， ， ， ，D、E分 别是边 、 上的两个动点，且 ，P是 的中点，连接 ， ，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，在CB 上取一点F，使得 ，连接 ， ，利用相似三角形的性质证明 ， 根据 ，利用勾股定理求出 即可解决问题． 【详解】解：如图，在 上取一点F，使得 ，连接 ， ， ∵ ， ， ， ∴ ，∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ， 故答案为 ． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用 辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 12．（23-24九年级上·江苏南京·期末）在 中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为 半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则 最小值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，连接OP，取OC中点为M，连接PM，BM，证明 ，得到，则 ，即可推出 ，故当点B、P、M三点共线时， 最小值为BM，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接OP，取OC中点为M，连接PM，BM， ∵圆O半径为4，点P为劣弧CD上一动点， ∴OC＝OP＝4， 又∵点M为OC中点， ∴ ， ∵ ，∠MOP＝∠POA， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当点B、P、M三点共线时， 最小值为BM， ∵∠AOB＝90°， ∴ ， 又OM＝2，OB＝10， ∴ ， ∴ 最小值为 ，故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质，正确作出辅助线是解题的 关键． 13．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点 为 内一动点，且满足 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】 本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质等知识，如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 ， ．证明 ，推出 ，可得 ，推出 ，求 出 即可得到结论，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】 解：在 上取一点 ，使得 ，连接 ， ，如图所示： ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， 的最小值为 ， 故答案为： ． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图①，在 中， ， ， ， 的半径为 ， 为圆上一动点，连接 ，求 的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接 ，在 上取一点 ，使，则 ．又 ，所以 ．所以 ．所以 ，所以 ．请你完成余下的思考，并直接写出答案： 的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求 的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中， ， ， ， ， 是 上一点， 求 的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理即可求得本题答案；（2）连接 ，在 上取点 ，使 ，则有 ，可证 ，得到 ，即 ，从而 的最小值 为 ； （3）延长 到点 ，使 ，连接 ，可证 ，得到 ，得到 ，当 三点共线时，得到最小值． 【详解】（1）解：如图连接 ，∵ ，要使 最小， ∴当 最小，当点 在同一条直线时， 最小，∴ 的最小值为 ， 在 中， ， ，∴ ， ∴ 的最小值为 ，故答案为： ；（2）解：如图连接 ，在 上取点 ，使 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ 的最小值为 ，故答案为： ； （3）解：如图延长 到点 ，使 ， ∴ ，连接 ，∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴当 三点共线时，取得最小值： ，故答案为： ． 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形判定及性质，最值得确定． 15．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，点P在y轴上， 交x轴于A，B两点，连接 并延长交 于 C，过点C的直线 交x轴于D，交y轴于点E，且 的半径为 ， ． (1)写出点B，P，C的坐标；(2)求证： 是 的切线；(3) 上有一动点M，求 的最小值． 【答案】(1) (2)见解析(3) 【分析】（1）根据垂径定理求出B点坐标，根据勾股定理得出P点，根据全等或相似求出C点； （2）只需证明 ，即 ，故证明 ，进而求得； （3）在 上截取 ，进而证明 ，得出 ，进而根据三角形三边关系找出M 点使其最小． 【详解】（1）解：如图1， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 作 于H， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ； （2）解：∵ 过 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是 的切线； （3）解：如图2， 由 得： ， ∴ 在 上截取 ， 在 中， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 又 ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴当D、M．I共线时， 最小值为 ， 即 最小值为 ， ∵ ， ∴ 的最小值为 ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质及与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，三角形三边关系等 知识，解决问题的关键是 构造相似三角形． 16．（2024·江苏无锡·一模）如图，等边 中， ，点 在 上，从A向 运动，运动速度 为1cm/s；点 在 上，从 向 运动，运动速度是 ，两点同时出发，设运动时间为 ，当一点到达 终点时，另一点停止运动．连接 、 ，交点为 ． (1)若 ，求 的度数； (2)在（1）的条件下，取 中点 ， 为 上一动点，连接 、 ，则 的最小值为______； (3)若 ，求 为何值时， 的值最小，并求出最小值是多少？ 【答案】(1) (2)(3) s， 的最小值为 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形的外接圆、相似三角形的判定于性质、解直角三角形 等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键 （1）根据运动速度相等可得 ，在根据等边三角形的性质可证 ，即 ；然后运用角的和差即可解答； （2）先说明 为定角，再作 的外接圆 ，链接 ，则 ，进而 得到 如图：作 于M，则 ，解直角三角形可得 ；再通过轴对称和两点之间线段最短可得 在同一条直线上时， 有最小 值 ；再证明四边形 为矩形，运用矩形的性质以及勾股定理即可解答； （3）如图：过A作 且使 ，作 于N，连接 ；证明 可得 ，进而得到当 共线时， 有 最小值；再证 求得 的长，进而求得 ，即可求得时间；然后再运用解直角三角形和勾股定理即可求得最小值 【详解】（1）解：由题意可得： ， ∵等边 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． （2）解：由 为定角，则如图：作 的外接圆 ，连接 ，则 ，∴ ，∴ ，∴ 如图：作 于M，则 ，∴ ， 如图：作P关于 的对称点 ，连接 交 于T，∴ ， 如图：过 作 交 延长线于R， 由两点之间、线段最短可得： ，∴ ， ∴当 在同一条直线上时， 有最小值 ， 在 中， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴四边形 为矩形， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ 的最小值为 ． （3）解：如图：过A作 且使 ，作 于N，连接 ， 由题知： ，即 ，∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，即 ，由两点之间线段最短可得： ，即 ， ∴当 共线时， 有 最小值， ∵ ，∴ ， ， ∴ ， 2， ∴ ， ， ∴ ， 的值为 ．∴当 的值为 时， 的最小值为 ．