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专题 08 最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型
将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的
思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型
和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照
长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接
连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥
（造桥）再也不是问题！
模型1.将军遛马模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直
线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧：
A E
A C
A B
A
B
m m m
P Q P Q P Q
m
B B P Q B'
如图1 如图2
（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，
此时P、Q即为所求的点。（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连
接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·西安·统考一模）问题提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E、F分别为边AD、BC上
的点，且AE＝1；BF＝2．（1）如图①，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为 ；
（2）如图②，P、M是AB边上两动点，且PM＝2，现要求计算出EP、PM、MF和的最小值．九年级一班
某兴趣小组通过讨论得出一个解决方法：在DA的延长线上取一点E'，使AE'＝AE，再过点E'作AB的平行
线E'C，在E'C上E”的下方取点M，使E'M'＝2，连接M'F，则与AB边的交点即为M，再在边AB上点M
的上方取P点，且PM＝2，此时EP+PM+MF的值最小．但他们不确定此方法是否可行，便去请教数学田老师，田老师高兴地说：“你们的做法是有道理的”．现在请你根据叙述作出草图并计算出EP+PM+MF
的最小值；
问题解决：（3）聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为
M、N两个村同时输电．如图所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，M村到AB的距离
为2千米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°，根据架线要求，在农
田区内的线路要与AB垂直．请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的线路图，并计算出最短线路的长度．（要
求：写出计算过程，结果保留根号）
例2．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ，点P、点Q分别在
边 上，且 ，连接 和 ，则 的最小值是_______．
例3．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，矩形 中， ，矩形 的对角线
相交于点O，点E，F为 边上两个动点，且 ，则 的最小值为_________．例4．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，正方形 的边长为4， 、 为对角线 上的动点，且
，连接 、 ，求 周长的最小值．
例5．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为 的正方形 中将 沿射线 平
移，得到 ，连接 、 ．求 的最小值为______．
例6．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形 中，对角线 ， 的长分别为 ， ，将
沿射线 的方向平移得到 ，分别连接 ， ， ，则 的最小值为______．模型2.将军过桥（造桥）模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】
【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：
桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM
与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．
将军 A 将军 A 将军 A
M M M
河 A' 河 A' 河
N N N
B军营 B军营 B军营
图1 图2 图3
【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建
造，问：桥建在何处能使路程最短？
图4 图5 图6考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移
使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．（如图5）
当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．（如图6）
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023.北京西城八年级期中）作图题（不写作法）
（ ）如图 ，一个牧童从 点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路
程最短？请在图中画出最短路线．
（ ）如图 ，直线 是一条河， ， 是两个村庄，欲在 上的某处修建一个水泵站 ，向 ， 两地供
水，要使所需管道 的长度最短，在图中标出 点．（保留作图过程）
（ ）如图 ，在一条河的两岸有 ， 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，
桥在图中用一条线段 表示．试问：桥 建在何处，才能使 到 的路程最短呢？请在图中画出桥
的位置．（保留作图过程）
例2．（2022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2， 、 两地到河岸
边的距离均为1， ， ， ，现欲在河道上架两座桥 、 ，使
最小，则最小值为A． B． C．14 D．12
例3．（2023·内江·中考模拟）如图，已知直线 ， 、 之间的距离为8，点P到直线 的距离为6，
点Q到直线 的距离为4，PQ= ，在直线l 上有一动点A，直线 上有一动点B，满足AB⊥ ，且
1
PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 中， ， ， ， ，
；垂足分别为点F和E．点G和H分别是 和 上的动点， ，那么 的
最小值为______．
例6．（2023·山东济南·统考二模）如图，在矩形 中， ， ，若点E是边 上的一个
动点，过点E作 且分别交对角线 、直线 于点O、F，则在点E移动的过程中，
的最小值为 ．课后专项训练
1．（2023上·安徽宣城·九年级校考阶段练习）如图，矩形 中， ， ， 是 的中点，
线段 在 上左右滑动，若 ，则 的最小值是（ ）
A．5 B． C．6 D．
2．（2023下·江苏无锡·八年级校考期中）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝3BE＝3，
M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．3．（2023·安徽·统考一模）如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，点 在 上，且
，连接 ， ，则 的最小值为（ ）
A．25 B．24 C． D．13
4．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于
点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连
接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （ ）
A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋
5．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）如图， 中， ， ， ，若D，E是
边 上的两个动点，F是边 上的一个动点， ，则 的最小值为（ ）A．3 B． C． D．3
6．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有 ， 两个水文观测点，为方便联络，要在河
上修一座木桥 （河的两岸互相平行， 垂直于河岸），现测得 ， 两点到河岸的距离分别是5米，
4米，河宽3米，且 ， 两点之间的水平距离为12米，则 的最小值是 米．
7．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在 中， ， ，M、N分别是 、 边上的动
点，且 ，则 的最小值是 ．
8．（2023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x
轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，
点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；
9．（成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有 ， 两点．将直线 ：向上平移 个单位长度得到直线 ，点 在直线 上，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，连接 ，
， ，则折线 的长 的最小值为 ．
10．（2023·广西·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，
F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为 ．
11．（2023下·江苏·八年级统考期末）如图，已知菱形 的对角线 ， 相交于点 ，点 ， 在
对角线 上，且 ，过点 作 的垂线，与边 交于点 ，连接 ．若 ， ，则
的最小值为 ．
12．（2023下·四川宜宾·八年级校考阶段练习）如图，在正方形 中， ，点E为 的中点，
点M、N为 边上两个动点，且 ，则 的最小值是 ．13．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，在 边上有一
线段 由 向 运动，点 到达点 后停止运动， 在 的左侧， ，连接 ， ，则 周
长的最小值为 ．
14．（2023上·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，在菱形 中， ， ，点 ， 在
上，且 ，连接 ， ，则 的最小值为
15．（2022下·江苏·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，将 沿射线
平移，得到 ，再将 沿射线 翻折，得到 ，连接 、 ，则 的最小值
为16．（2023·福建·校联考一模）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E、F为矩形内部的两动点，
且满足EF∥BC，EF＝4，S BEFC＝26，则BE+EF+FC的最小值等于 ．
四边形
17．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在 处角转弯，河宽相同，从 处到达 处，
须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使
到 的路程最短，请确定两座桥的位置．
18．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在 中，
，点D，E分别是 的中点．若点M，N分别是 和 上的动点，则
的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，
才能使从A到B的路径 最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河
岸的垂线，使 ， 为河宽，连接 ， 与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A
到B的路径 最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在
矩形 中， ．E、F分别在 上，且满足 ， ．若边长为10的正
方形 在线段 上运动，连接 ，当 取值最小时，求 的长．19．（2023上·重庆万州·九年级校考期中）如图，直线 的图象与 轴和 轴分别交于点 和点
， 的垂直平分线 与 轴交于点 ，与 交于点 ，连接 ．(1)如图1，求 的长；(2)如图2，
若点 是射线 上的动点，点 和点 是 轴上的两个动点，且 ，当 的面积为 时，求
的最小值。
20．（2023下·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）问题背景
（1）如图（1），在公路 的一侧有 ， 两个工厂， ， 到公路的垂直距离分别为 和 ， ，
之间的水平距离为 ．现需把 厂的产品先运送到公路上然后再转送到 厂，则最短路线的长是_____
．
问题探究（2）如图（2）， 和 是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，
，点 ， 重合，点 ， 重合，将 沿直线 平移，得到 ，连接
， ．试探究在平移过程中， 是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请
说明理由．
问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是和 ， ， 的水平距离是 ．游客在景点 游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游
轮沿河航行 到达码头乙，再乘坐大巴到达景点 ．请问码头甲，乙建在何处才能使从 到 的旅游路
线最短，并求出最短路线的长．
