文档内容
专题08 等腰三角形、直角三角形中的分类讨论问题专训
【题型目录】
题型一 等腰三角形中的分类讨论问题专训
题型二 直角三角形中的分类讨论问题专训
【知识梳理】
1、等腰三角形中的分类讨论：
【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的
性质与三角形三边关系解题即可．
1.无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论．
2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知 ， 两点是定点，找一点 构成等腰
方法：两圆一线
具体图解：①当 时，以点 为圆心， 长为半径作⊙ ，点 在⊙ 上（ ， 除外）
②当 时，以点 为圆心， 长为半径作⊙ ，点 在⊙ 上（ ， 除外）
③当 时，作 的中垂线，点 在该中垂线上（ 除外）
【经典例题一 等腰三角形中的分类讨论问题】【例1】1．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知 ，
，若点 在坐标轴上，且 为等腰三角形，则满足条件的点 的个数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【变式训练】
1．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在 中， ， ．点P为直线
上一动点，并沿直线 从右向左移动，若点P与 三个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，
则将点P在直线 上进行标记．那么满足条件的点P（不与点B、C重合）的位置有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
2．（2023春·江西抚州·七年级统考期末）如图，在 中， ， ，射线 于
点D，点M为射线 上一点，如果点M满足三角形 为等腰三角形，则 的度数为 ．3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图， 中， ， ，射线 从射线 开始绕点
C逆时针旋转 角 ，与射线 相交于点D，将 沿射线 翻折至 处，射线
与射线 相交于点E．若 是等腰三角形，则 的度数为 ．
4．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期中）如图，在等腰 中， ， ，点 在线段
上运动（点 不与点 、 重合），连接 ，作 ， 交线段 于点 ．
(1)点 运动到图①位置时， ，则 _________， ________；
(2)如图②，当 时，求证：
(3)在点 的运动过程中， 的形状也在变化，判断当 是等腰三角形时， 等于多少度？
（请直接写出结果）5．（2022秋·吉林四平·八年级四平市第三中学校校考期末）如图，在 中， ， ，
点D在边 上运动（D不与A，B重合），连接 ，作 ， 交 与点E．
(1)当 时，若 ，则 ．
(2)当 时，判断 的形状，并说明理由．
(3)在点D运动的过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出 的度数；若不可以，
请说明理由．
【知识梳理】
2、直角三角形中的分类讨论：
【解题技巧】
1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论．
2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知 ， 两点是定点，找一点 构成
方法：两线一圆
具体图解：①当 时，过点 作 的垂线，点 在该垂线上（ 除外）②当 时，过点 作 的垂线，点 在该垂线上（ 除外）
③当 时，以 为直径作圆，点 在该圆上（ ， 除外）
【经典例题二 直角三角形中的分类讨论问题】
【例2】（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，点 、 分别是边长为 的等边 的边 、
上的动点，点 从顶点 ，点 从顶点 同时出发，且它们的速度都是 ，当运动时间为（ ）
秒时， 是直角三角形．
A．5 B．5或 C．5或 D． 或
【变式训练】
1．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图， 中， ， ， ，
，若动点 以 的速度从 点出发，沿着 的方向运动，设 点的运动时间为 秒
（ ），连接 ，当 是直角三角形时， 的值为（ ）A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或7
2．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，点 、 分别是边长为 的等边 的边 、
上的动点，点 从顶点 ，点 从顶点 同时出发，且它们的速度都是 ，当运动时间为（ ）秒时，
是直角三角形．
A．5 B．5或 C．5或 D． 或
3．（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，动点
P，Q同时从A，B两点出发，分别在 边上匀速运动，它们的速度分别为 ， ，
当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为 ．（1）当 时， 为等腰三角形；
（2）当 时， 为直角三角形．
4．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在 中， ， ， 平分
交 于点D，点E是 上一个动点．若 是直角三角形，则 的度数可以是 ．
5．（2022秋·四川泸州·八年级四川省泸县第四中学校考期末）如图1，已知等边 边长为 ，点
P、Q分别是边 上的动点，点P、Q分别从点A、B同时出发，且它们的速度都为 ．连接
交于点M．
(1)求证： ；
(2)连接 ，何时 是直角三角形？
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线 上运动，直线 交于点M，求 的度数．
6．（2019秋·广东佛山·八年级佛山市实验学校校考阶段练习）阅读材料：
如图①，在 中， ，若 ，则有 ；
利用以上结论解决问题：
如图②，等边 的边 长为 ，动点P从点B出发，以每秒 的速度向点A移动，动点Q从点
A出发，以每秒 的速度向点C移动，两动点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止移动．
设动点P的移动时间为t秒．
(1)填空： ______（度）；t的取值范围是_____；
(2)试求当t取何值时， 的形状是等边三角形；
(3)试求当t取何值时， 的形状是直角三角形．
【重难点训练】
题型一 等腰三角形中的分类讨论问题专训
1．（2023·全国·九年级专题练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则该等腰三角形底角的
度数为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
2．（2022秋·浙江·八年级期末）如图， 是等腰三角形， ， ，BP平分 ；点
D是射线BP上一点，如果点D满足 是等腰三角形，那么 的度数是（ ）．A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100°
3．（2021秋·河北邢台·八年级统考期末）若以 的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点
也在 的其他边上，则这样的等腰三角形最多能画出（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
4．（2022秋·河南三门峡·八年级校考期末）如图，在等腰三角形 中， ， ，D为
的中点，点E在 上， ，若点P是等腰三角形 的腰 上的一点，则当 为等腰
三角形时， 的度数是______．
5．（2021秋·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）（1）等腰三角形一条腰上的中线将
它的周长分成12和9两部分，则腰长为 ___．
（2）若BD是等腰三角形ABC中一条腰上的高，且∠ABD＝50°，则等腰三角形ABC的顶角的度数为 ___．
6．（2023秋·安徽六安·八年级统考期末）如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把
这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这
两条线段叫做这个三角形的“好好线”．
（1）如图，在 中， ，点 D 在 边上，且 ，则 _____度；
（2）在 中， 和 是 的“好好线”，点 D 在 边上，点 E 在 边上，
且 ， ，则 的度数为____________．7．（2022·内蒙古呼和浩特·统考一模）在 中， ， ， ，在直线BC上取
一点P使得 是等腰三角形，则可以考虑点P在线段延长线上和______上的情况；当点P在线段延长
线上时，等腰三角形PAB的腰长为______．
8．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图， 是等腰三角形， 平分 ；点
是射线 上一点，如果点 满足 是等腰三角形，那么 的度数是____．
9．（2022秋·浙江·八年级专题练习）很多三角形过它一个顶点的一条直线，可把它分成两个小等腰三角形．
由此，请你探究如下几个问题．
（1）如图1，在 中， ， ， ，直线 交 于D，求证： 与
都为等腰三角形；
（2）请你在图2、图3中，分别过一个你认为合适的三角形顶点画出一条直线，把它们各自分成两个小等
腰三角形，并在图中标出所得小等腰三角形两个底角的度数（不证明）；
（3）在（1）、（2）中，都是将一个等腰三角形，分成两个小等腰三角形；那么你能把既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形，分成两个小等腰三角形吗？若能，请你设计符合上述条件且6个内角度数
均不同的两个三角形，并且分别过一顶点画一直线分成两个小等腰三角形；同时标出所得小等腰三角形两
个底角的度数（不证明）；若不能，请说明理由．
10．（2023春·上海长宁·七年级统考期末）在 中， ，点 代别在 上，且
，联结 交 于点 ．
(1)如图1， 是 底边上的中线，且 ，
①试说明 的理由；
②如果 为等腰三角形，求 的度数：
(2)如图2，联结 并延长，交 延长线于点G．如果 ， ，试说明 的理由．
11．（2023春·甘肃白银·七年级统考期末）如图，在等边 中， ，现有M、N两
点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为 ，点N的速度
为 ．当点N第一次到达点B时，M、N两点同时停止运动．(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒后，可得到等边 ？（提示：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形）
(3)当点M、N在 边上运动时，是否存在以 为底边的等腰 ？若存在，请求出此时点M、N运
动的时间；若不存在，请说明理由．
12．（2023春·山东济南·七年级统考期末）在 中， ，点D是 上一点，将 沿
翻折后得到 ，边 交射线 于点F．（友情提示：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对
应角相等）
(1)如图1，当 时，求证： ；
(2)如图2，若 ， ，是否存在这样的x的值，使得 是以 为腰的等
腰三角形．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
13．（2023春·上海杨浦·七年级统考期末）已知在 中， ，点 是边 上一点，
．
(1)如图1，试说明 的理由；(2)如图2，过点 作 ，垂足为点 ， 与 相交于点 ．
①试说明 的理由；
②如果 是等腰三角形，求 的度数．
14．（2023春·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期末）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三
角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当 和
为等腰三角形时， 为 的等腰分割线．
(1)如图2， 中， ，线段 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ．求证： 是
的一条等腰分割线．
(2)如图3，在 中， ， ， ，请你用两种不同的方法完成 的等腰分割，
并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数．
(3)在 中， 为 的等腰分割线，且 ， ，请直接写出 的度数．
15．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，点O是等边 内一点，以OC为边作等边三角
形OCD，连接OD．(1)求证： ；
(2)若 ， ，当 为多少度时， 是等腰三角形．
题型二 直角三角形中的分类讨论问题专训
1．（2020秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，Rt ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，点P在
边AC上以1cm/s的速度从点A向终点C运动，与此△同时点Q在边AB上以同样的速度从点B向终点A运
动，各自到达终点后停止运动，设运动时间为t（s），则当 APQ是直角三角形时，t的值为（ ）
△
A．2s B．4s C．2s或4s D．2s或4.5s
2．（2023秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期末）等边 的边长为 ，点 、 分别
是边 、 上的动点，点 、 分别从顶点 、 同时出发，且速度都是 ，则经过______秒后，
是直角三角形．
3．（2023·湖北武汉·一模）如图，在 中， ， ，点P是BC边上的动点，设
，当 为直角三角形时，x的值是______．4．（2023春·八年级课时练习）如图，等边三角形 中， ， 于点D，点E、F分别是
、 上的动点，沿 所在直线折叠 ，使点C落在 上的点 处，当 是直角三角形
时， 的值为______．
5．（2023春·八年级课时练习）如图， 中， ，现有两点M、N分别从点A、点
B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为 /s，点N的速度为2 /s．当点N第一次
到达B点时，M、N同时停止运动．当点M、N运动 _____秒后，可得到直角三角形 ．
6．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，等边三角形 的边长是2，点 在等边三角形
的边 上（除点 外），以 为一边作等边三角形 ，顶点 、 、 逆时针排序．若三角形
是直角三角形时，则 的长度是____________．
7．（2022秋·北京顺义·九年级校考期中）如图，在 中， ， ， ，
点 为 中点，若动点 以1cm/s的速度出发，沿着由 的方向运动，设点E运动的时间为 秒，连
接 ，当 为直角三角形时 的值为______．8．（2023·河北·模拟预测）如图，等边三角形 的边长为 ，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，
沿 方向匀速运动，点P的速度是 ，点Q的速度是 ，当Q到达C点时，P、Q两点停止
运动，设P、Q两点运动的时间为t秒，若 为直角三角形，则t的值是___________．
9．（2022秋·浙江金华·八年级浙江省兰溪市第二中学校考阶段练习）如图，已知 ，P点是射线
上的一个动点， ，
（1）当 ______时， 是直角三角形；
（2）设 ，则 满足______时， 是钝角三角形．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）在 中，若过顶点 的一条直线把这个三角形分割成两个三角
形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为 的关于点 的二分割线．例如：
如图 ，在 中， ， ，若过顶点 的一条直线 交 于点 ，且 ，
则直线 是 的关于点 的二分割线．如图 ，已知 ， 同时满足：① 为最小角；
②存在关于点 的二分割线，则 的度数为______．11．（2023春·广东河源·八年级校考期中）如图，已知 是边长为 的等边三角形，动点P从A点
出发，以 的速度向B运动，同时点Q从B点出发以 速度向C运动，当Q点到达 点时，
两点停止运动．设点P的运动时间为t（ ），则
(1) ___________ ， ___________ ；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时， 是等边三角形？
(3)当t为何值时， 是直角三角形？
12．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图1所示，在边长为12的等边 中，动点P以 的
速度从点A出发，沿线段 向点B运动设点P的运动时间为 ， ．(1)当 _____时， 是直角三角形；
(2)如图2．若另一动点Q从点C出发，沿线段 向点A运动，且动点P，Q均以 的速度同时出发，
那么当 _____时， 是直角三角形
(3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线 方向运动，且动点P，Q均以 的速度同时出发．当
点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接 交 于点D，过点P作 于E，试问线段
的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出 的长度．
13．（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）如图，在等边 中，
厘米， 厘米．如果点 以3厘米/秒的速度运动．
(1)如果点 在线段 上由点 向点 运动，点 在线段 上由 点向 点运动．它们同时出发，若点
的运动速度与点 的运动速度相等．经过2秒后， 和 是否全等？请说明理由．
(2)在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时， 是一个直角三角形？
(3)若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，点 从点 出发，点 以原来的运动速度从点 同时出
发，都顺时针沿 三边运动，经过25秒点 与点 第一次相遇，请直接写出点 的运动速度是多少
厘米/秒？14．（2023春·广东河源·八年级统考期中）如图①， 和 中， ， ，且
， ， 的延长线交 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)当 是等边三角形时，求 的度数；
(3)如图②，当 是直角三角形时，请直接写出 的度数为________；如图③，当 是任意等
腰三角形时，请直接写出 与 某个内角之间的数量关系为________．
15．（2023春·河南郑州·八年级统考阶段练习）如图，已知等边 的边长为 ，现有两点 M、N
分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为 ，已知点 M的速度 ，点 N的速
度为 ．当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时停止运动．(1)当点 N 第一次到达 B 点时，点M的位置在 ；当 M、N运动 秒时，点N追上点M；
(2)当点 M、N 在 边上运动时，能否得到以 为底边的等腰三角形 ？如存在，请求出此时
M、N 运动的时间．
(3)当 为直角三角形时，运动时间t的值是
16．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）在 中， ， 是边 上的动点，过点 作
交 于点 ，将 沿 折叠，点 的对应点为点 ．
(1)如图1，若点 恰好落在边 上，判断 的形状，并证明；
(2)如图2，若点 落在 内，且 的延长线恰好经过点 ， ，求 的度数；
(3)若 ，当 是直角三角形时，直接写出 的长．
17．（2022秋·天津和平·八年级校考期末）如图1，在 中， ， ，点 从点 出发沿
射线 方向，在射线 上运动．在点 运动的过程中，连接 ，并以 为边在射线 上方，作等
边 ，连接 ．
(1)当 时， ___________；
(2)请添加一个条件：___________，使得 为等边三角形；
①如图1，当 为等边三角形时，求证： ；②如图2，当点 运动到线段 之外时，其它条件不变，当 为等边三角形， 是以 为斜边
的直角三角形时，请直接写出线段 长度．
