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专题 09 一元一次不等式（组）的应用重难点汇编（六大题型）
重难点题型归纳
【题型一：球赛积分问题】
【题型二：分配问题】
【题型三：销售利润问题】
【题型四：方案问题】
【题型五：其他问题】
【题型六：定义问题】
【题型一：球赛积分问题】
1．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校开展班
级篮球赛．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场扣1分，八年一班在12场比
赛中总积分不低于27分，求该班至少胜多少场？
【答案】至少胜10场
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设该班胜x场，则负(12−x)场，根据题意列出不等式即
可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键．
【详解】解：设该班胜x场，则负(12−x)场，
根据题意得，3x−1×(12−x)≥27，
39
解得x≥ ，
4
∵x是正整数，
∴x的最小值为10，
答：该班至少胜10场．
2．在某市举办的青少年校园足球比赛中，比赛规则是胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某校足
球队共比赛9场，以负1场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于21分，则该校足球队获胜
的场次最少是（ ）
A．6场 B．7场 C．8场 D．9场
【答案】B【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．设该校足球队获胜了x场，则平了(9−1−x)场，根
据最后的积分不少于21分可列不等式3x+(9−1−x)≥21，解不等式可得获胜的场次最少是多少．
【详解】解：设该校足球队获胜了x场，则平了(9−1−x)场，
根据题意得：3x+(9−1−x)≥21，
13
解得：x≥ ，
2
∵x为整数，
∴x的最小值为7．
故应选：B．
3．有A，B，C，D，E五个队分在同一个小组进行单循环足球比赛，争取出线权，比赛规则规定：胜一
场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，A队积分9
分，那么A队最多胜（ ）场？
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】五个队分在同一小组进行单循环赛，则每个组只进行4场比赛，A队的积分为9分，就可以得
到A队的胜负情况．
【详解】解：∵5个队进行单循环足球比赛，
∴每2个队间只比赛1次，每个队和其他队比赛4次，
设A队胜x场，平y场，则由题意得：
x+y≤4，
3x+y=9，则y=9-3x，
将y=9-3x代入不等式得x+9-3x≤4，
解得：x≥2.5，
∴当x=3时，y=0，A队积分9分，
故A队的战绩是3胜0平1负．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的应用，根据球队的积分判处出胜负的场次是解题的关键．
【题型二：分配问题】
4．某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；
如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是多少？
【答案】10人
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用；根据题意列出不等式组是解题的关键；设获奖学生有x
人，则共有(5x+7)支签字笔，根据“如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于
4支”，列出不等式组并求解即可．
【详解】解：设获奖学生有x人，则共有(5x+7)支签字笔．
依题意，得¿
解得94200
(2)600x+100(10−x)>4200且8x+4(10−x)<72且8x+4(10−x)>0．
【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键．
（1）先求出所需乙种原料的质量为(10−x)kg，再根据要求含有4200单位以上的维生素C列出不等
式即可得；
（2）先求出所需乙种原料的质量为(10−x)kg，再根据含有4200单位以上的维生素C，购买甲、乙
两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得．
【详解】（1）解：∵现配制这种饮料10kg，所需甲种原料的质量为xkg，
∴所需乙种原料的质量为(10−x)kg，
∵要求含有4200单位以上的维生素C，∴600x+100(10−x)>4200．
（2）解：∵现配制这种饮料10kg，所需甲种原料的质量为xkg，
∴所需乙种原料的质量为(10−x)kg，
∵要求含有4200单位以上的维生素C，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，
∴600x+100(10−x)>4200且8x+4(10−x)<72且8x+4(10−x)>0．
26．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的
主角．某电车生产车间现有A、B两个工种的工人，其中A工种有300人，B工种有200人，且同类工
种工人月工资相同．已知6个A种工人的月工资与5个B种工人的月工资相同，该生产车间每月共付
工资总额540万元．
(1)A、B两个工种工人的月工资分别为多少万元；
(2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘A、B两个工种工人共60人．其中，再招聘的B
7
工种工人不超过再招聘的A工种工人的 ，且最终车间所有A工种工人的数量与车间所有B工种工人的
3
数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最
少，最少为多少？
【答案】(1)0.6，0.72
(2)三种招聘方案：
①招聘A工种工人18人，B工种工人42人
②招聘A工种工人19人，B工种工人41人
③招聘A工种工人20人，B工种工人40人
方案③，40.8万元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（其他问题），一元一次不等式组的其他应用等知识点，
读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程或不等式组是解题的关键．
6
（1）设A工种工人的月工资为x万元，则B工种工人的月工资为 x万元，根据题意列方程求解即可；
5
（2）设再招聘A工种工人a人，则再招聘B工种工人(60−a)人，根据题意列不等式组求解即可．
6
【详解】（1）解：设A工种工人的月工资为x万元，则B工种工人的月工资为 x万元，
5
6
根据题意可列方程：300x+200× x=540，
5
解得：x=0.6，6
则 x=0.72，
5
∴A、B两个工种工人的月工资分别为0.6万元、0.72万元；
（2）解：设再招聘A工种工人a人，则再招聘B工种工人(60−a)人，
根据题意可列不等式组：
{ 60−a≤ 7 a )
3 ，
(300+a)−(200+60−a)≤80
解得：18≤a≤20，
∵a为整数，
∴a的值为18、19、20，
∴该车间共有三种招聘方案：
①招聘A工种工人18人，B工种工人42人；
②招聘A工种工人19人，B工种工人41人；
③招聘A工种工人20人，B工种工人40人；
∵A工种工人的月工资比B工种工人的月工资低，
∴招聘A工种工人越多，每月付给这60个工人的工资总额越少，
∴招聘A工种工人20人，B工种工人40人时，每月付给这60个工人的工资总额最少，最少为
20×0.6+40×0.72=40.8万元，
答：该车间共有三种招聘方案：①招聘A工种工人18人，B工种工人42人；②招聘A工种工人19人，
B工种工人41人；③招聘A工种工人20人，B工种工人40人；方案③可使每月付给这60个工人的工资
总额最少，最少为40.8万元．
27．随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，科技馆开展
了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的选手，科技馆准备一次性购买A，B
两种航天器模型作为奖品．已知购买7个A模型和8个B模型共需380元：也可以用380元购买13个
A模型和4个B模型．
(1)求A模型和B模型的单价；
(2)根据科技馆实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，且选手对A模型的喜爱，要求购买A
模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的
费用．
【答案】(1)1个A模型的价格为20元，1个B模型的价格为30元；
(2)购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为450元．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据“购买1个A模型和1个B模型共
需139元；购买3个A模型和2个B模型共需356元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之
即可得出结论；
（2）设购买A模型m个，则购买B模型(20−m)个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过
B模型的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整
数，即可得出各购买方案，利用总价=单价×数量可求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，
{7x+8 y=380
)
依题意得： ，
13x+4 y=380
{x=20)
解得： ．
y=30
答：1个A模型的价格为20元，1个B模型的价格为30元；
（2）设购买A模型m个，则购买B模型(20−m)个，
{ m>12 )
依题意得： ，
m≤3(20−m)
解得：12460>450，
∴方案1：购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为450元．
28．2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“π日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数
学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B
种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元．
(1)A，B两种图书的单价分别为多少元？
(2)若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最
少？并求出最少花费．
【答案】(1)A种图书每本30元，B种图书每本20元(2)购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用：
（1）设A种图书每本x元，B种图书每本y元，根据购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；
购买5本A种图书和8本B种图书共需310元，列出方程组进行求解即可；
（2）设该校购买A种图书m本，根据购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，
列出不等式组，进行求解即可．
【详解】（1）解：设A种图书每本x元，B种图书每本y元．
{9x+6 y=390)
根据题意，得
5x+8 y=310
{x=30)
解得
y=20
答：A种图书每本30元，B种图书每本20元．
（2）设该校购买A种图书m本，则购买B种图书(50−m)本．
{m−(50−m)≥5)
根据题意，得 ，
m≤2(50−m)
55 100
解得 ≤m≤ ，且m为正整数．
2 3
∵A种图书单价高，
∴购买A种图书越少越省钱．
∴m取最小值28时，总费用最少，
最少费用为28×30+(50−28)×20=1280元．
答：购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元．
29．为了支持一次大型活动，某物流公司需要运输一批展览材料．根据调查得知，3辆重型卡车与2辆轻型
卡车可以一次共同运输800箱：7辆重型卡车与4辆轻型卡车可以一次共同运输1800箱．
(1)求1辆重型卡车和1辆轻型卡车分别能够单独运输多少箱展览材料？
(2)计划用两种类型的货车总共15辆来完成这批物资的运输任务，每趟每辆重型货车的费用为6000元，
每趟每辆轻型货车的费用为4000元．如果要求至少使用7台重型货车，并且总费用不超过78000元，
请列出所有可能的配送方案，并指出哪种方案最经济实惠以及所需最低费用是多少？
【答案】(1)1辆重型卡车能够单独运输200箱展览材料，1辆轻型卡车能够单独运输100箱展览材料；
(2)方案1：使用7辆重型货车，8台轻型货车；方案2：使用8辆重型货车，7台轻型货车；方案3：使用
9辆重型货车，6台轻型货车；使用7辆重型货车，8台轻型货车最经济实惠，所需最低费用是74000元．
【分析】（1）设1辆重型卡车能够单独运输x箱展览材料，1辆轻型卡车能够单独运输y箱展览材料，
根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设使用m台重型货车，则使用(15−m)台轻型货车，根据题意列出不等式组即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确
列出二元一次方程组和一元一次不等式组．
【详解】（1）
设1辆重型卡车能够单独运输x箱展览材料，1辆轻型卡车能够单独运输y箱展览材料，
{3x+2y=800
)
根据题意得： ，
7x+4 y=1800
{x=200)
解得： ，
y=100
答：1辆重型卡车能够单独运输200箱展览材料，1辆轻型卡车能够单独运输100箱展览材料；
（2）设使用m台重型货车，则使用(15−m)台轻型货车，
{ m≥7 )
根据题意得： ，
6000m+4000(15−m)≤78000
解得：7≤m≤9，
又∵m为正整数，
∴m可以为7，8，9，
∴共有3种配送方案，
方案1：使用7辆重型货车，8台轻型货车；
方案2：使用8辆重型货车，7台轻型货车；
方案3：使用9辆重型货车，6台轻型货车；
选择方案1所需费用为6000×7+4000×8=74000（元）；
选择方案2所需费用为6000×8+4000×7=76000（元）；
选择方案3所需费用为6000×9+4000×6=78000（元）；
∵74000<76000<78000，
∴使用7辆重型货车，8台轻型货车最经济实惠，所需最低费用是74000元．
【题型六：定义问题】
30．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友
{x−2>0)
好方程”，例如：方程2x−6=0的解为x=3，不等式组 的解集为20)
所以称方程2x−6=0为不等式组 ，的“友好方程”．
x<5
{x−1>0)
(1)下列方程是不等式组 的“友好方程”的是___________；（填序号）
x<3
①x−2=0； ②2x+1=0； ③−2x−2=0．
{3x−6>4−2x)
(2)若关于x的方程3x−3k=3是不等式组 的“友好方程”，求k的取值范围；
x−1≥4x−16
2x−1 {(m−2)x2时，求出不等式组的解集，再判断即可．
{x−1>0)
【详解】（1）解：解不等式组 ，得10)
∴①是不等式组 的“友好方程”，
x<3
故答案为：①；
{3x−6>4−2x)
（2）解：解不等式组 得：24−2x)
∵关于x的方程3x−3k=3是不等式组 的“友好方程”，
x−1≥4x−16
∴21 )
所以分为两种情况：①当m<2时，不等式组为 ，
x≥m−5
此时不等式组的解集是x>1，不符合题意，舍去；
②当m>2时，不等式组的解集是m−5≤x<1，
{ m>2 )
所以根据题意得： ，
m−5≤−2
解得：2x+1 )
(1)方程3x+3=6是不等式组 的“关联方程”吗？请说明理由．
3(x−2)−x≤4
{3x−2>6−x
)
(2)若关于x的方程2x+k=2是不等式组 的“关联方程”，求k的取值范围；
x−1≥4x−13
(3)若关于x的不等式组¿的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)不是，见解析
(2)−6≤k<−2
4 3
(3) ≤m≤
3 2
【分析】本题考查解不等式组和一元一次方程以及新定义的运算，掌握“关联方程”的定义是解题的
关键．（1）分别求解一元一次方程和不等式组，根据定义判断即可；
（2）分别求解一元一次方程和不等式组，根据定义“一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范
围内”可得方程组，求解即可；
2 3 3 2
（3）解不等式组可得− m2，
解不等式②得：x≤5，
∴原不等式组的解集为：26−x
)
由 ，得26−x
)
∵关于x的方程2x+k=2是不等式组 的“关联方程”，
x−1≥4x−13
2−k
∴2< ≤4，
2
解得−6≤k<−2．
即k的取值范围是−6≤k<−2．
2 3
（3）¿的解集为：− mC的解集为x>1，则称它们构成“ABC不等式”例如：
三个整式A=2x−5，B=2−x，C=−2有：当(2x−5)+(2−x)>−2时的解集为x>1，则称2x−5，
2−x，−2构成“ABC不等式”．
(1)整式x−3，x+2，1可以构成“ABC不等式”吗？请说明理由；
(2)若三个关于x的整式ax，x，2a，可以构成“ABC不等式”，求a的值；
{2nx+mm
解集．
【答案】(1)可以，见解析
(2)a=−1或1
1 3 1 2
(3)x<− 或x< 或 1，即2x−1>1的解集为x>1即可得出答案；
（2）分ax+2a>x、ax+x>2a、2a+x>ax三种情况分别求解即可；
（3）分2nx+3n>mx−3m、mx−3m+3n>2nx、mx−3+2nx>3n三种情况，依据新定义得出
m、n之间的数量关系及m、n的正负情况，再代入方程组消掉m或n，进一步求解即可．
【详解】（1）解：x−3，1，x+2可以构成“ABC不等式”，
∵x−3+x+2>1，即2x−1>1的解集为x>1，
∴x−3，1，x+2可以构成“ABC不等式”；
（2）解：①若ax+2a>x，即(a−1)x>−2a，
2a
则a−1>0，即a>1且− =1，
a−1
1
解得a= （舍）；
3
②若ax+x>2a，即(a+1)x>2a，2a
则a+1>0，即a>−1且 =1，
a+1
此时a=1；
③若2a+x>ax，即(a−1)x<2a，则a−1<0，
2a
即a<1且 =1；
a−1
综上，a=−1；
即a=−1或1；
（3）解：①若2nx+3n>mx−3m，即(2n−m)x>−3(n+m)，则2n−m>0，
−3n−3m
即m<2n且 =1，化简得m=−2.5n，
2n−m
代入2n−m>0得4.5n>0，
即n>0，则m<0，
由2nx+mm−n，
即−4.5nx>−3.5n，
7
∴x< ；
9
由2mx−n>m，得：2mx>−2.5n+n，
3
∴x< ，
10
3
此时不等式组的解集为x< ；
10
②若2nx+mx−3m>3n，即(m+2n)x>3m+3n，
3m+3n
则m+2n>0， =1，
m+2n
化简得n=−2m，代入m+2n>0，
得：m<0，则n>0，
由2nx+mm−n，即5mx>3m，
3
∴x< ，
5
由2mx−n>m，得：2mx>−m，
1
∴x<− ，
21
此时不等式组的解集为x<− ；
2
③若mx−3m+3n>2nx，即(m−2n)x>3m−3n，
3m−3n
则m−2n>0，即m>2n，且 =1，
m−2n
化简得n=2m，
代入m−2n>0得−3m>0，
解得m<0，则n<0，
由2nx+mm−n，
即−3mx>−m，
1
∴x> ，
3
由2mx−n>m，得：2mx>3m，
2
∴x< ，
3
1 2
此时不等式组的解集为 x+5m，得x>5m−2，
x+m x
解不等式 > −1，得x<4m+20，
5 4
∴不等式组的解集为5m−2L b(x>0,x≠1)，当x>1时，a>b；当0L
1
7
的解集是x<2，求不等式L (mx+2)>L 2m的解集；
2 2
2 2
{L (2x−2)>L n
)
3 3
(2)若关于x的不等式组 L x>L (n+1) 的解集中有且只有2个整数解，求n的取值范围．
1 1
3 3
【答案】(1)x<4
(2)4L
1
7
并求出其解集，进而得
3m+7
=2，解方程可得m的
2 2 2
值，根据新定义整理所求不等式，再将m的值代入并解不等式即可．
{2x−2>n)
（2）先根据新定义整理不等式组得 ，解不等式组，再根据其解集中有且只有2个整数解，
xL
1
7
，
2
2 2
∴2x−3m<7，
3m+7
解得：x< ，
2
L (2x−3m)>L 7
又∵关于x的不等式 1 1 的解集是x<2，
2 2
3m+7
∴ =2，
2
解得：m=−1，
∵L (mx+2)>L 2m，
2 2
∴mx+2>2m，
把m=−1代入得−x+2>−2，
解得：x<4；
{L
3
(2x−2)>L
3
n
) {2x−2>n)
（2）解：关于x的不等式组 L
1
x>L
1
(n+1) 可变为 xL n
)
3 3
∵关于x的不等式组 L x>L (n+1) 的解集中有且只有2个整数解，
1 1
3 3
n+2
{ n+1− >2)
2
∴ ，
n+2
n+1− ≤3
2
解得：4
