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专题 09 一元一次不等式（组）的应用重难点汇编（六大题型）
重难点题型归纳
【题型一：球赛积分问题】
【题型二：分配问题】
【题型三：销售利润问题】
【题型四：方案问题】
【题型五：其他问题】
【题型六：定义问题】
【题型一：球赛积分问题】
1．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校开展班
级篮球赛．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场扣1分，八年一班在12场比
赛中总积分不低于27分，求该班至少胜多少场？
【答案】至少胜10场
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设该班胜x场，则负(12−x)场，根据题意列出不等式即
可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键．
【详解】解：设该班胜x场，则负(12−x)场，
根据题意得，3x−1×(12−x)≥27，
39
解得x≥ ，
4
∵x是正整数，
∴x的最小值为10，
答：该班至少胜10场．
2．在某市举办的青少年校园足球比赛中，比赛规则是胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某校足
球队共比赛9场，以负1场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于21分，则该校足球队获胜
的场次最少是（ ）
A．6场 B．7场 C．8场 D．9场
【答案】B【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．设该校足球队获胜了x场，则平了(9−1−x)场，根
据最后的积分不少于21分可列不等式3x+(9−1−x)≥21，解不等式可得获胜的场次最少是多少．
【详解】解：设该校足球队获胜了x场，则平了(9−1−x)场，
根据题意得：3x+(9−1−x)≥21，
13
解得：x≥ ，
2
∵x为整数，
∴x的最小值为7．
故应选：B．
3．有A，B，C，D，E五个队分在同一个小组进行单循环足球比赛，争取出线权，比赛规则规定：胜一
场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，A队积分9
分，那么A队最多胜（ ）场？
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】五个队分在同一小组进行单循环赛，则每个组只进行4场比赛，A队的积分为9分，就可以得
到A队的胜负情况．
【详解】解：∵5个队进行单循环足球比赛，
∴每2个队间只比赛1次，每个队和其他队比赛4次，
设A队胜x场，平y场，则由题意得：
x+y≤4，
3x+y=9，则y=9-3x，
将y=9-3x代入不等式得x+9-3x≤4，
解得：x≥2.5，
∴当x=3时，y=0，A队积分9分，
故A队的战绩是3胜0平1负．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的应用，根据球队的积分判处出胜负的场次是解题的关键．
【题型二：分配问题】
4．某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；
如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是多少？
【答案】10人
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用；根据题意列出不等式组是解题的关键；设获奖学生有x
人，则共有(5x+7)支签字笔，根据“如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于
4支”，列出不等式组并求解即可．
【详解】解：设获奖学生有x人，则共有(5x+7)支签字笔．
依题意，得¿
解得9<x<13．
∵x为整数，
∴x的最小值为10，即获奖学生至少有10人．
5．登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一
人所带矿泉水不足2瓶．求登山人数及矿泉水的瓶数．
【答案】登山人数为5人，矿泉水的瓶数为13．
【分析】本题主要考查不等式的运用，理解数量关系，掌握解不等式的方法是关键．
设有x人登山，由此列式求解即可．
【详解】解：设有x人登山，
由题意，得：0<2x+3−3(x−1)<2，
解得：4<x<6，
∵x为正整数，
∴x=5，则2x+3=13，
答：登山人数为5人，矿泉水的瓶数为13．
6．把一些笔记本分给几个学生，如果每人3本 ，那么余8本，如果每人分5本，那么最后一人分到笔记
本但不足3本，求学生有多少人？
【答案】学生有6人
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设学生有x人，则有笔记本(3x+8)本，再根
据如果每人分5本，那么最后一人分到笔记本但不足3本列出不等式组求解即可．
【详解】解：设学生有x人，
由题意得，1≤3x+8−5(x−1)<3，
解得5<x≤6，
∵x为正整数，
∴x=6，
答：学生有6人．7．某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每
人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？
【答案】该班有45学生，本次一共种植221棵树
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设共有x名学生，根据题意列出不等式组即可求解，根
据题意找到不等量关系是解题的关键．
【详解】解：设共有x名学生，
由题意得，¿，
解得44<x<45.5，
∵x是整数，
∴x=45，
∴3x+86=3×45+86=221，
答：该班有45学生，本次一共种植221棵树．
8．我市鹰嘴桃果品肉质爽脆、味甜如蜜，现在将一箱鹰嘴桃分给若干名到果园参观的游客品尝，如果每
人分4个，则剩下20个鹰嘴桃；如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，求这批游客的人数和
这箱鹰嘴桃的个数．
【答案】游客有6名，这箱鹰嘴桃有44个
【分析】本题主要考查一元一次不等式组，根据条件列出不等式组是解题的关键．
设设有x名游客，则鹰嘴桃有(4x+20)个，根据如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，列出不
等式组解出即可得到答案．
【详解】解：设有x名游客，则鹰嘴桃有(4x+20)个，
依题意得：0<4x+20−8(x−1)<8，
解得：5<x<7．
∵游客人数应取整数，
∴x=6．
∴4x+20=44（个）．
答：游客有6名，这箱鹰嘴桃有44个．
9．医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理4名病人，则有20名病人没人护理，如果每名护
士护理8名病人，有一名护士护理的病人多于1人不足8人，这个医院安排了几名护士护理病人？
【答案】这个医院安排了6名护士护理病人
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设这个医院安排了x名护士护理病人，则一共
有(4x+20)名病人，根据如果每名护士护理8名病人，有一名护士护理的病人多于1人不足8人列出不等式组求解即可．
【详解】解：设这个医院安排了x名护士护理病人，
由题意得，1<4x+20−8(x−1)<8，
27
解得5<x< ，
4
∵x为正整数，
∴x=6，
答：这个医院安排了6名护士护理病人．
【题型三：销售利润问题】
10．茂业天地商场从一厂家购买印有巴黎奥运会标志的T恤和奥运会吉祥物，已知购进10件T恤和5个奥
运会吉祥物共需250元；购进15件T恤和10个奥运会吉祥物共需425元．
(1)求购进一件T恤和一个奥运会吉祥物各需多少元？
(2)若商场决定购买T恤和奥运会吉祥物共60个，总费用不低于988元且不高于1000元，则共有几种
购买方案？哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】(1)一件T恤单价为15元，一个奥运会吉祥物单价为20元
(2)有3种购买方案，T恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件需要的总费用最少，最少费用是990元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用等知识点，审清题意，弄清关
系，根据等量关系和不等关系列出二元一次方程组和不等式组是解题的关键．
（1）设一件T恤单价为x元，一个奥运会吉祥物单价为y元，根据等量关系“购进10件T恤和5个奥
运会吉祥物共需250元；购进15件T恤和10个奥运会吉祥物共需425元”列方程组，解之即可解答；
（2）设T恤购买m件，奥运会吉祥物购买(60−m)件，根据不等关系“总费用不低于988元且不高于
1000元”列一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可确定购买方案数．
【详解】（1）解：设一件T恤单价为x元，一个奥运会吉祥物单价为y元，
{10x+5 y=250
)
由题意可得： ，
15x+10 y=425
{x=15)
解得： ，
y=20
答：一件T恤单价为15元，一个奥运会吉祥物单价为20元．
（2）解：设T恤购买m件，奥运会吉祥物购买(60−m)件．
由题意可得：988≤15m+20(60−m)≤1000，
解得：40≤m≤42.4，又 ∵m为正整数．
∴m=40,41,42，
故共3种方案：分别是：T恤购买40件，奥运会吉祥物购买20件，该方案需要的总费用是
15×40+20×20=1000元；
T恤购买41件，奥运会吉祥物购买19件，该方案需要的总费用是15×41+20×19=995元；
T恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件，该方案需要的总费用是15×42+20×18=990元；
故共有3种购买方案，T恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件需要的总费用最少，最少费用是990元．
11．随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，
现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价
共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买B型汽车超过15辆每
辆车进价优惠5千元，当购买A型和B型车各20辆时共需支付进价715万元．
(1)求该汽车销售公司单独购进A，B型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？
(2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆A型汽车
在进价的基础上提高7000元销售，每辆B型汽车在进价的基础上提高6%销售．假如这些新能源汽车
全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是
多少？
【答案】(1)购进A，B型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元．
(2)该公司有2种购进方案，分别是购进A 型汽车10辆，B型汽车5辆 购进A型汽车11辆，B型汽车
4辆．购进A型汽车10辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多∶利润是13.6万元．
【分析】本题主要考查了二元一次不等式组的应用以及一元一次不等式组的应用．
（1）设购进A，B型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程
组求解即可得出答案．
（2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车(15−m)辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，
求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案．
【详解】（1）解：设购进A，B型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，
{ x+ y=37 )
根据题意可知：
20×0.95x+20×(y−0.5)=715
{x=15)
解得： ，
y=22
则购进A，B型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元．
（2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车(15−m)辆，{ 15m+22(15−m)≤260 )
根据题意可得出：
0.7m+22×0.06×(15−m)≥12.5
解得：10≤m≤11.77
∵m为正整数，
∴m=10或11，
当m=10时，购进B型汽车为5辆，
此时利润为：0.7×10+22×0.06×5=13.6（万元）
当m=11时，购进B型汽车为4辆，
此时利润为：0.7×11+22×0.06×4=12.98（万元）
综上：该公司有 2种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型
汽车4辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 13.6万元．
12．某家具店经销A,B两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250
元．
(1)该店销售记录显示，4月份A,B两种品牌的儿童床共售出20张，且销售A,B两种品牌的儿童床的
利润相同．该店4月份A,B两种品牌的儿童床各售出多少张？
(2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A
品牌的儿童床张数的70%，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案．
【答案】(1)A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张
(2)有两种进货方案：①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；②购进A品牌的儿童床17
张，B品牌的儿童床13张
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，
将实际问题转化为数学方程或不等式组．
（1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，根据销售A,B两种品牌的儿童床的利润相同列方程
求解即可；
（2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床(30−a)张，根据购进B品
牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的70%，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，
可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答．
【详解】（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张．
由题意，得(4200−3500)x=(5250−4200)(20−x)，
解得x=12，20−x=8．
故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张；（2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床(30−a)张．
{ 30−a≥0.7a )
由题意，得 ，
3500a+4200(30−a)≤115000
5 11
解得15 ≤a≤17 ，所以正整数解有16，17，
7 17
所以有两种进货方案：
①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；
②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张．
13．牡丹江某县作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的
“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购
进特级鲜品猴头菇3箱、特级干品猴头菇2箱需420元，购进特级鲜品猴头菇4箱、特级干品猴头菇5
箱需910元．请解答下列问题：
(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50
元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元．全部销售后，获利不少于1560元，其中特级干品猴头菇不
多于40箱．该商店有哪几种进货方案？
【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元
(2)有三种进货方案： 购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱； 购进特级鲜品猴头
菇41箱，购进特级干①品猴头菇39箱； 购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干②品猴头菇38箱
【分析】本题考查了二元一次方程组的③应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，
正确列出二元一次方程组以及一元一次不等式组．
（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、
干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可；
（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇(80−m)箱，根据“获利不少于
1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”分别列出不等式求解即可；
【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元．
{3x+2y=420)
由题意，得
4x+5 y=910
{x=40,)
解得
y=150.
故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；
（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇(80−m)箱．{(50−40)m+(180−150)(80−m)≥1560)
由题意，得
80−m≤40
解得40≤m≤42．
因为m为正整数，所以m可取40，41，42．
故该商店有三种进货方案：
购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱；
①购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇39箱；
②购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干品猴头菇38箱．
③
【题型四：方案问题】
14．为了更好治理黄浦江水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号
的设备，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B
型设备少6万元．
A、B两种型号设备的月处理污水量如下表：
A型 B型
价格（万元/台） a
处理污水量（吨/月） 240 180
(1)设A型设备每台的价格为a万元，则B型每台的价格为 万元；
(2)求A、B两种型号的设备的价格；
(3)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不
低于1860吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
【答案】(1)(a−2)
(2)A型设备的价格为12万元/台，B型设备的价格为10万元/台
(3)购买1台A型设备，9台B型设备
【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意并正确列
方程和方程组是解题关键．
（1）根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，即可用含a的代数式表示出B型设备每台
的价格；
（2）根据购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即
可得出结论；（3）设购买m台A型设备，则购买(10−m)台B型设备，根据“市治污公司购买污水处理设备的资金
不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨”，即可得出关于m的一元一次不
等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出m的值，利用总价=单价×数量，分别
求出m取各值时所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：∵购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，且A型设备每台的价格为a元，
∴B每台的价格为(a−2)万元．
故答案为：(a−2)；
（2）解：根据题意得：3(a−2)−2a=6，
解得：a=12，
∴a−2=10（万元/台）．
答：A型设备的价格为12万元/台，B型设备的价格为10万元/台．
（3）解：设购买m台A型设备，则购买(10−m)台B型设备，
{ 12m+10(10−m)≤105 )
依题意得： ，
240m+180(10−m)≥1860
5
解得：1≤m≤ ，
2
∵m为整数，
∴m可以取1或2．
当m=1时，10−m=9，所需费用为12×1+10×9=102（万元）；
当m=2时，10−m=8，所需费用为12×2+10×8=104（万元）．
∵102<104，
∴最省钱的购买方案为：购买1台A型设备，9台B型设备．
15．某中学组织合唱比赛．某班同学自主购买A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫贵10
元，购买2件A款文化衫和3件B款文化衫共需要220元．
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元；
(2)已知一共需购买48件文化衫，在实际购买时，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利10元，
现计划购买文化衫的费用不超过1530元，且A款文化衫不少于B款文化衫数量的一半，请问共有多少
种购买方案？
【答案】(1)A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元
(2)3种
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键．
（1）设A款文化衫每件x元，B款文化衫每件y元，根据题意建立方程组，解方程组即可得；
（2）设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫(48−a)件，根据总费用不超过1530元，且A款文化
衫不少于B款文化衫数量的一半建立不等式组，解不等式组求出正整数解，由此即可得．
【详解】（1）解：设A款文化衫每件x元，B款文化衫每件y元，
{ x−y=10 )
由题意得： ，
2x+3 y=220
{x=50)
解得 ，符合题意，
y=40
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元．
（2）解：设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫(48−a)件，
{70%×50a+(40−10)⋅(48−a)≤1530
)
由题意得： 1 ，
a≥ (48−a)
2
解得16≤a≤18，
∵a为正整数，
∴满足条件的所有a的值为16,17,18，
答：共有3种购买方案．
16．三明市某化工厂，现有A种原料82千克，B种原料62千克，现准备用这些原料去生产甲、乙两种产品
共20件，已知每生产1件甲种产品需要A种原料5千克以及B种原料2千克；每生产1件乙种产品需要A
种原料3千克以及B种原料4千克，请通过计算写出有哪几种具体的生产方案．
【答案】见详解
【分析】本题考查一元一次不等式（组）的应用、一元一次不等式的整数解正确列出不等式组是解题
关键；
根据题意，列出不等式组，求解分析即可．
【详解】解：设甲的生产件数为x件，则乙的生产件数为(20−x)件，
{5x+3(20−x)≤82)
，
2x+4(20−x)≤62
解得：9≤x≤11，
∵x为整数，
∴x可以取的值为：9，10，11，
∴有三种方案，方案1：甲产品9件，乙产品11件，
方案2：甲产品10件，乙产品10件，
方案3：甲产品11件，乙产品9件；
17．某团队准备给成员网购若干帽子和手套，网店的组合报价为购买1顶帽子和2双手套共需210元；购
买2顶帽子和3双手套共需340元．
(1)求每顶帽子和每双手套的价格各是多少元？
(2)经沟通后团队计划最多拿出3200元购买帽子和手套共50份，由于需要帽子的成员不足30人，请你
规划一下有哪几种购买方案？
【答案】(1)每顶帽子的价格是50元，每双手套的价格是80元
(2)见解析
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，弄清题意，理清各量间的
关系是解题的关键；
（1）设每顶帽子的价格是x元，每双手套的价格是y元，根据“购买1顶帽子和2双手套共需210元；
购买2顶帽子和3双手套共需340元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m顶帽子，则购买(50−m)双手套，根据“团队计划最多拿出3200元购买帽子和手套共
50份，且需要帽子的成员不足30人”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范
围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设每顶帽子的价格是x元，每双手套的价格是y元，
{ x+2y=210 )
根据题意得： ，
2x+3 y=340
{x=50)
解得： ．
y=80
答：每顶帽子的价格是50元，每双手套的价格是80元；
（2）解：设购买m顶帽子，则购买(50−m)双手套，
{ m＜30 )
根据题意得： ，
50m+80(50−m)≤3200
80
解得： ≤m<30，
3
又∵m为正整数，
∴m可以为27，28，29，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买27顶帽子，23双手套；方案2：购买28顶帽子，22双手套；
方案3：购买29顶帽子，21双手套．
18．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实
践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若
每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和
租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人
(2)见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的实际应用，弄清题意，找准各量间的
关系是解题的关键．
（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为
等量关系列方程即可；
（2）首先判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8−m)辆，根据题意列出不等式组
求出整数解即可．
【详解】（1）解：设参加此次劳动实践活动的老师有x人，
根据题意，得30x+7=31x−1，
解得x=8，
∴30x+7=30×8+7=247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人；
（2）解：师生总数为247+8=255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8−m)辆，
根据题意，得：
¿，解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m的值可取3，4，5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租
甲型客车5辆，租乙型客车3辆．
19．某市教育局计划购买27台阅卷扫描仪，有A，B两种型号可供选择，其中B型号功能多一点．已知购
买3台A型号和2台B型号共需要27万元；购买5台A型号和3台B型号共需要43万元．
(1)求A，B两种型号阅卷扫描仪的单价；
(2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过137万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案；
(3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？
【答案】(1)A型号阅卷扫描仪的单价是5万元/台，B型号阅卷扫描仪的单价是6万元/台
(2)有三种购买方案．方案一：购买A型号阅卷扫描仪25台，B型号阅卷扫描仪2台；方案二：购买A型
号阅卷扫描仪26台，B型号阅卷扫描仪1台；方案三：购买A型号阅卷扫描仪27台
(3)选择方案一：购买A型号阅卷扫描仪25台，B型号阅卷扫描仪2台
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设A型号阅卷扫描仪的单价是x万元，B型号阅卷扫描仪的单价是y万元，根据题意列出方程组
并求解；
（2）设购买A型号阅卷扫描仪m台，根据题意列出不等式即可；
（3）写出所有可能的方案，然后选出B型号最多的方案．
【详解】（1）设A型号阅卷扫描仪的单价是x万元/台，B型号阅卷扫描仪的单价是y万元/台，
{3x+2y=27,) {x=5,)
根据题意，得 解得
5x+3 y=43, y=6.
答：A型号阅卷扫描仪的单价是5万元/台，B型号阅卷扫描仪的单价是6万元/台．
（2）设购买A型号阅卷扫描仪m台，则购买B型号阅卷扫描仪(27−m)台．
根据题意，得5m+6(27−m)≤137，
解得m≥25．
∵m为正整数，m≤27，
∴m可取25，26，27，对应27−m的值为2，1，0．
∴有三种购买方案．方案一：购买A型号阅卷扫描仪25台，B型号阅卷扫描仪2台；方案二：购买A型
号阅卷扫描仪26台，B型号阅卷扫描仪1台；方案三：购买A型号阅卷扫描仪27台．
（3）在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择方案一：购买A型号阅卷扫描仪25台，B型号阅卷扫描仪2台．
20．吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创
作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”
造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元．
(1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共
170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m、n
的值．
(2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160
元又不多于1168元，设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，问：有哪几种购买方案？
【答案】(1)m=10，n=14
(2)共有3种购买方案：方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；
方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；方案3：购买“滨滨”
造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出
二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键．
（1）根据题意列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，则购买“妮妮“造型钥匙扣挂件(100−x)个，根据题意列
出一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各购买方案．
{10m+5n=170)
【详解】（1）解：根据题意得： ，
6m+10n=200
{m=10)
解得： ，
n=14
∴m=10，n=14；
（2）设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，则设购买“妮妮“造型钥匙扣挂件(100−x)个，
{10x+14(100−x)≥1160)
根据题意得： ，
10x+14(100−x)≤1168
解得：58≤x≤60，
又∵x为正整数，
∴x可以为58，59，60，
∴共有3种购买方案：
方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；
方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个．
21．黔南州某市通过网络直播带货助力乡村振兴，在直播间销售黔南州特色农产品．两名顾客在该直播间
购买了一些独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡，下面是他们的一段对话．
(1)请你运用所学知识求出独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡的单价；
(2)小明爸爸准备去该直播间购买独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡两种特色农产品共13盒，其中购买独
山盐酸菜扣肉至少4盒，并且总费用不低于1440元，请帮小明爸爸计算并写出所有符合条件的购买方
案．
【答案】(1)独山盐酸菜扣肉，龙里辣子鸡的单价分别为100元，120元；
(2)共有3种购买方案：方案一，购买独山盐酸菜扣肉4盒，则购买龙里辣子鸡的数量9盒；方案二，
购买独山盐酸菜扣肉5盒，则购买龙里辣子鸡的数量8盒；方案一，购买独山盐酸菜扣肉6盒，则购
买龙里辣子鸡的数量7盒．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找
到等量关系和不等关系．
（1）设独山盐酸菜扣肉，龙里辣子鸡的单价分别为x元，y元，然后根据题意列出方程组即可求解；
（2）设购买独山盐酸菜扣肉a盒，则购买龙里辣子鸡的数量(13−a)盒，然后根据题意列出不等式组
即可求解．
【详解】（1）解：设出独山盐酸菜扣肉，龙里辣子鸡的单价分别为x元，y元，
{2x+3 y=560
)
依题意得 ，
4x+5 y=1000
{x=100)
解得 ，
y=120
∴独山盐酸菜扣肉，龙里辣子鸡的单价分别为100元，120元；
（2）解：设购买独山盐酸菜扣肉a盒，则购买龙里辣子鸡的数量(13−a)盒，
{100a+120(13−a)≥1440)
依题意得 ，
a≥4
解得4≤a≤6，
∵a取正整数，∴a可取4，5，6，
∴共有3种购买方案：方案一，购买独山盐酸菜扣肉4盒，则购买龙里辣子鸡的数量9盒；方案二，
购买独山盐酸菜扣肉5盒，则购买龙里辣子鸡的数量8盒；方案一，购买独山盐酸菜扣肉6盒，则购
买龙里辣子鸡的数量7盒．
【题型五：其他问题】
22．秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租
用一辆），其中A型客车每辆租金500元，B型客车每辆租金600元．已知5辆A型客车和2辆B型客
车坐满后共载客310人；3辆A型客车和4辆B型客车坐满后共载客340人．
(1)求每辆A型客车，每辆B型客车坐满后各载客多少人；
(2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部
载至目的地，请列举出该校所有的租车方案；并比较哪种租车方案最省钱．
【答案】(1)每辆A型客车坐满后载客40人，每辆B型客车坐满后载客55人；
(2)共有四种租车方案：①租用A型客车5辆，则租用B型客车5辆；②租用A型客车6辆，则租用B型客
车4辆；③租用A型客车7辆，则租用B型客车3辆；④租用A型客车8辆，则租用B型客车2辆，其中用
A型客车8辆，则租用B型客车2辆最省钱．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的应用，理
解题意正确列方程和不等式组是解题关键．
（1）每辆A型客车坐满后载客x人，每辆B型客车坐满后载客y人，根据题意列二元一次方程组求解
即可；
（2）设租用A型客车a辆，则租用B型客车(10−a)辆，根据题意列一元一次不等式组，求整数解即可
得出a的值，进而得出租车方案和费用即可．
【详解】（1）解：设每辆A型客车坐满后载客x人，每辆B型客车坐满后载客y人，
{5x+2y=310) {x=40)
则 ，解得： ，
3x+4 y=340 y=55
答：每辆A型客车坐满后载客40人，每辆B型客车坐满后载客55人；
（2）解：设租用A型客车a辆，则租用B型客车(10−a)辆，
{500a+600(10−a)≤5500)
则 ，
40a+55(10−a)≥420
26
解得：5≤a≤ ，
3
∴a的可能取值为5、6、7、8，当a=5时，10−a=5，租车费用为500×5+600×5=5500元；
当a=6时，10−a=4，租车费用为500×6+600×4=5400元；
当a=7时，10−a=3，租车费用为500×7+600×3=5300元；
当a=8时，10−a=2，租车费用为500×8+600×2=5200元；
∴共有四种租车方案：①租用A型客车5辆，则租用B型客车5辆；②租用A型客车6辆，则租用B型客
车4辆；③租用A型客车7辆，则租用B型客车3辆；④租用A型客车8辆，则租用B型客车2辆，其中用
A型客车8辆，则租用B型客车2辆最省钱．
23．某商店决定采购A、B两种型号的纪念品，若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5
件，B型3件，需要550元．
(1)求采购A型，B型两种纪念品每件各需多少元？
(2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品
数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、B型纪念品各采购几件？
【答案】(1)A型50元，B型100元；
(2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪
念品采购60件、B型纪念品采购10件
【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系．
（1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，
需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数
量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得m=80−2n，再根据采购A
型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出6n≤m≤8n，
解得8≤n≤10，然后求出正整数解，即可得出答案．
【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，
依题意得：
{10x+5 y=1000)
，
5x+3 y=550
{ x=50 )
解得： ，
y=100
答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元；
（2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，
由题意得：50m+100n=4000，
整理得：m=80−2n，由题意可知，6n≤m≤8n，
∴6n≤80−2n≤8n，
解得：8≤n≤10，
∵n为正整数
∴n为8或9或10，
当n=8时，m=64；
当n=9时，m=62；
当n=10时，m=60；
∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪
念品采购60件、B型纪念品采购10件．
24．某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方
米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用
为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．
(1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？
(2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费
用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？
【答案】(1)每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米
(2)施工时有4种调配方案，方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机；方案2：调配7台A型挖
掘机，5台B型挖掘机；方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机；方案4：调配9台A型挖掘
机，3台B型挖掘机
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米，根据“3台A型和
5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225
立方米”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设调配m台A型挖掘机，则调配(12−m)台B型挖掘机，根据“不同数量的A型和B型挖据机共
12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元”，可列出关于m的
一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各调配方案．
【详解】（1）解：设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米，
根据题意得：¿，
解得：¿答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米；
（2）解：设调配m台A型挖掘机，则调配（12−m）台B型挖掘机，
{ 4[30m+15（12−m）)≥1080 )
根据题意得： ，
4[300m+180（12−m）)≤12960
解得：6≤m≤9，
又∵m为正整数，
∴m可以为6，7，8，9，
∴施工时有4种调配方案，
方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机；
方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机；
方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机；
方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机．
25．应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为xkg．已知这两种原料中维
生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示：
甲种原料 乙种原料
维生素C的含量/（单位/千克） 600 100
原料价格/（元/千克） 8 4
现配制这种饮料10kg，要求含有4200单位以上的维生素C．
(1)请列出x应满足的不等式；
(2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式．
【答案】(1)600x+100(10−x)>4200
(2)600x+100(10−x)>4200且8x+4(10−x)<72且8x+4(10−x)>0．
【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键．
（1）先求出所需乙种原料的质量为(10−x)kg，再根据要求含有4200单位以上的维生素C列出不等
式即可得；
（2）先求出所需乙种原料的质量为(10−x)kg，再根据含有4200单位以上的维生素C，购买甲、乙
两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得．
【详解】（1）解：∵现配制这种饮料10kg，所需甲种原料的质量为xkg，
∴所需乙种原料的质量为(10−x)kg，
∵要求含有4200单位以上的维生素C，∴600x+100(10−x)>4200．
（2）解：∵现配制这种饮料10kg，所需甲种原料的质量为xkg，
∴所需乙种原料的质量为(10−x)kg，
∵要求含有4200单位以上的维生素C，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，
∴600x+100(10−x)>4200且8x+4(10−x)<72且8x+4(10−x)>0．
26．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的
主角．某电车生产车间现有A、B两个工种的工人，其中A工种有300人，B工种有200人，且同类工
种工人月工资相同．已知6个A种工人的月工资与5个B种工人的月工资相同，该生产车间每月共付
工资总额540万元．
(1)A、B两个工种工人的月工资分别为多少万元；
(2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘A、B两个工种工人共60人．其中，再招聘的B
7
工种工人不超过再招聘的A工种工人的 ，且最终车间所有A工种工人的数量与车间所有B工种工人的
3
数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最
少，最少为多少？
【答案】(1)0.6，0.72
(2)三种招聘方案：
①招聘A工种工人18人，B工种工人42人
②招聘A工种工人19人，B工种工人41人
③招聘A工种工人20人，B工种工人40人
方案③，40.8万元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（其他问题），一元一次不等式组的其他应用等知识点，
读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程或不等式组是解题的关键．
6
（1）设A工种工人的月工资为x万元，则B工种工人的月工资为 x万元，根据题意列方程求解即可；
5
（2）设再招聘A工种工人a人，则再招聘B工种工人(60−a)人，根据题意列不等式组求解即可．
6
【详解】（1）解：设A工种工人的月工资为x万元，则B工种工人的月工资为 x万元，
5
6
根据题意可列方程：300x+200× x=540，
5
解得：x=0.6，6
则 x=0.72，
5
∴A、B两个工种工人的月工资分别为0.6万元、0.72万元；
（2）解：设再招聘A工种工人a人，则再招聘B工种工人(60−a)人，
根据题意可列不等式组：
{ 60−a≤ 7 a )
3 ，
(300+a)−(200+60−a)≤80
解得：18≤a≤20，
∵a为整数，
∴a的值为18、19、20，
∴该车间共有三种招聘方案：
①招聘A工种工人18人，B工种工人42人；
②招聘A工种工人19人，B工种工人41人；
③招聘A工种工人20人，B工种工人40人；
∵A工种工人的月工资比B工种工人的月工资低，
∴招聘A工种工人越多，每月付给这60个工人的工资总额越少，
∴招聘A工种工人20人，B工种工人40人时，每月付给这60个工人的工资总额最少，最少为
20×0.6+40×0.72=40.8万元，
答：该车间共有三种招聘方案：①招聘A工种工人18人，B工种工人42人；②招聘A工种工人19人，
B工种工人41人；③招聘A工种工人20人，B工种工人40人；方案③可使每月付给这60个工人的工资
总额最少，最少为40.8万元．
27．随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，科技馆开展
了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的选手，科技馆准备一次性购买A，B
两种航天器模型作为奖品．已知购买7个A模型和8个B模型共需380元：也可以用380元购买13个
A模型和4个B模型．
(1)求A模型和B模型的单价；
(2)根据科技馆实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，且选手对A模型的喜爱，要求购买A
模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的
费用．
【答案】(1)1个A模型的价格为20元，1个B模型的价格为30元；
(2)购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为450元．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据“购买1个A模型和1个B模型共
需139元；购买3个A模型和2个B模型共需356元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之
即可得出结论；
（2）设购买A模型m个，则购买B模型(20−m)个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过
B模型的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整
数，即可得出各购买方案，利用总价=单价×数量可求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，
{7x+8 y=380
)
依题意得： ，
13x+4 y=380
{x=20)
解得： ．
y=30
答：1个A模型的价格为20元，1个B模型的价格为30元；
（2）设购买A模型m个，则购买B模型(20−m)个，
{ m>12 )
依题意得： ，
m≤3(20−m)
解得：12<m≤15．
又∵m为整数，∴m可以为13，14，15，∴共有3种购买方案，
方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为20×13+30×7=470（元）；
方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为20×14+30×6=460（元）；
方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为20×15+30×5=450（元）．
∵470>460>450，
∴方案1：购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为450元．
28．2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“π日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数
学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B
种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元．
(1)A，B两种图书的单价分别为多少元？
(2)若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最
少？并求出最少花费．
【答案】(1)A种图书每本30元，B种图书每本20元(2)购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用：
（1）设A种图书每本x元，B种图书每本y元，根据购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；
购买5本A种图书和8本B种图书共需310元，列出方程组进行求解即可；
（2）设该校购买A种图书m本，根据购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，
列出不等式组，进行求解即可．
【详解】（1）解：设A种图书每本x元，B种图书每本y元．
{9x+6 y=390)
根据题意，得
5x+8 y=310
{x=30)
解得
y=20
答：A种图书每本30元，B种图书每本20元．
（2）设该校购买A种图书m本，则购买B种图书(50−m)本．
{m−(50−m)≥5)
根据题意，得 ，
m≤2(50−m)
55 100
解得 ≤m≤ ，且m为正整数．
2 3
∵A种图书单价高，
∴购买A种图书越少越省钱．
∴m取最小值28时，总费用最少，
最少费用为28×30+(50−28)×20=1280元．
答：购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元．
29．为了支持一次大型活动，某物流公司需要运输一批展览材料．根据调查得知，3辆重型卡车与2辆轻型
卡车可以一次共同运输800箱：7辆重型卡车与4辆轻型卡车可以一次共同运输1800箱．
(1)求1辆重型卡车和1辆轻型卡车分别能够单独运输多少箱展览材料？
(2)计划用两种类型的货车总共15辆来完成这批物资的运输任务，每趟每辆重型货车的费用为6000元，
每趟每辆轻型货车的费用为4000元．如果要求至少使用7台重型货车，并且总费用不超过78000元，
请列出所有可能的配送方案，并指出哪种方案最经济实惠以及所需最低费用是多少？
【答案】(1)1辆重型卡车能够单独运输200箱展览材料，1辆轻型卡车能够单独运输100箱展览材料；
(2)方案1：使用7辆重型货车，8台轻型货车；方案2：使用8辆重型货车，7台轻型货车；方案3：使用
9辆重型货车，6台轻型货车；使用7辆重型货车，8台轻型货车最经济实惠，所需最低费用是74000元．
【分析】（1）设1辆重型卡车能够单独运输x箱展览材料，1辆轻型卡车能够单独运输y箱展览材料，
根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设使用m台重型货车，则使用(15−m)台轻型货车，根据题意列出不等式组即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确
列出二元一次方程组和一元一次不等式组．
【详解】（1）
设1辆重型卡车能够单独运输x箱展览材料，1辆轻型卡车能够单独运输y箱展览材料，
{3x+2y=800
)
根据题意得： ，
7x+4 y=1800
{x=200)
解得： ，
y=100
答：1辆重型卡车能够单独运输200箱展览材料，1辆轻型卡车能够单独运输100箱展览材料；
（2）设使用m台重型货车，则使用(15−m)台轻型货车，
{ m≥7 )
根据题意得： ，
6000m+4000(15−m)≤78000
解得：7≤m≤9，
又∵m为正整数，
∴m可以为7，8，9，
∴共有3种配送方案，
方案1：使用7辆重型货车，8台轻型货车；
方案2：使用8辆重型货车，7台轻型货车；
方案3：使用9辆重型货车，6台轻型货车；
选择方案1所需费用为6000×7+4000×8=74000（元）；
选择方案2所需费用为6000×8+4000×7=76000（元）；
选择方案3所需费用为6000×9+4000×6=78000（元）；
∵74000<76000<78000，
∴使用7辆重型货车，8台轻型货车最经济实惠，所需最低费用是74000元．
【题型六：定义问题】
30．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友
{x−2>0)
好方程”，例如：方程2x−6=0的解为x=3，不等式组 的解集为2<x<5．因为2<3<5，
x<5{x−2>0)
所以称方程2x−6=0为不等式组 ，的“友好方程”．
x<5
{x−1>0)
(1)下列方程是不等式组 的“友好方程”的是___________；（填序号）
x<3
①x−2=0； ②2x+1=0； ③−2x−2=0．
{3x−6>4−2x)
(2)若关于x的方程3x−3k=3是不等式组 的“友好方程”，求k的取值范围；
x−1≥4x−16
2x−1 {(m−2)x<m−2)
(3)若方程2x+4=0， =−1都是关于x的不等式组 的“友好方程”，其中
3 x+5≥m
m≠2，求m的取值范围．
【答案】(1)①
(2)1<k≤4
(3)2<m≤3
【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可；
5 2+k
（2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出 < ≤3，再去求不等式组的解集即
2 2
可；
（3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当m<2时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当
m>2时，求出不等式组的解集，再判断即可．
{x−1>0)
【详解】（1）解：解不等式组 ，得1<x<3，
x<3
解方程x−2=0得：x=2；
1
解方程2x+1=0得：x=− ；
2
解方程−2x−2=0得：x=−1，
{x−1>0)
∴①是不等式组 的“友好方程”，
x<3
故答案为：①；
{3x−6>4−2x)
（2）解：解不等式组 得：2<x≤5，
x−1≥4x−16
解方程3x−3k=3得：x=k+1，
{3x−6>4−2x)
∵关于x的方程3x−3k=3是不等式组 的“友好方程”，
x−1≥4x−16
∴2<k+1≤5，解得：1<k≤4，
即k的取值范围是1<k≤4；
（3）解：解方程2x+4=0得x=−2，
2x−1
解方程 =−1得x=−1，
3
2x−1 {(m−2)x<m−2)
∵方程2x+4=0， =−1都是关于x的不等式组 的“友好方程”， m≠2，
3 x+5≥m
{ x>1 )
所以分为两种情况：①当m<2时，不等式组为 ，
x≥m−5
此时不等式组的解集是x>1，不符合题意，舍去；
②当m>2时，不等式组的解集是m−5≤x<1，
{ m>2 )
所以根据题意得： ，
m−5≤−2
解得：2<m≤3，
所以m的取值范围是2<m≤3．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题
意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键．
31．我们规定若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的
“关联方程”，例如：x−1=2的解为x=3,¿的解集为−3≤x<4，不难发现x=3在−3≤x<4的范围
内，所以x−1=2是¿的“关联方程”．
问题解决：
{ 2x−1>x+1 )
(1)方程3x+3=6是不等式组 的“关联方程”吗？请说明理由．
3(x−2)−x≤4
{3x−2>6−x
)
(2)若关于x的方程2x+k=2是不等式组 的“关联方程”，求k的取值范围；
x−1≥4x−13
(3)若关于x的不等式组¿的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)不是，见解析
(2)−6≤k<−2
4 3
(3) ≤m≤
3 2
【分析】本题考查解不等式组和一元一次方程以及新定义的运算，掌握“关联方程”的定义是解题的
关键．（1）分别求解一元一次方程和不等式组，根据定义判断即可；
（2）分别求解一元一次方程和不等式组，根据定义“一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范
围内”可得方程组，求解即可；
2 3 3 2
（3）解不等式组可得− m<x≤ m，根据题意可得2< m+ m<4，求得m的取值范围，可得
3 2 2 3
16 2 8 18 3 36
− <− m<− ， < m< ，分情况讨论即可．
13 3 13 13 2 13
【详解】（1）解：不是，理由如下：
3x+3=6，
解得：x=1，
¿，
解不等式①得：x>2，
解不等式②得：x≤5，
∴原不等式组的解集为：2<x≤5，
∴不是“关联方程”；
2−k
（2）由2x+k=2，得x= ，
2
{3x−2>6−x
)
由 ，得2<x≤4，
x−1≥4x−13
{3x−2>6−x
)
∵关于x的方程2x+k=2是不等式组 的“关联方程”，
x−1≥4x−13
2−k
∴2< ≤4，
2
解得−6≤k<−2．
即k的取值范围是−6≤k<−2．
2 3
（3）¿的解集为：− m<x≤ m，
3 2
∵不等式组¿的所有“关联方程”只有3个不同整数解，
3 2
∴ 2< m+ m<4，
2 3
12 24
解得 <m< ，
13 13
16 2 8 18 3 36
∴− <− m<− ， < m< ，
13 3 13 13 2 1316 2 3
当− <− m<−1时，必须满足1≤ m<2，m无解；
13 3 2
2 8 3 4 3
当−1≤− m<− 时，必须满足2≤ m<3，解得 ≤m≤ ；
3 13 2 3 2
4 3
综上所述， ≤m≤ ．
3 2
32．定义：三个关于x的整式A、B、C，若A+B>C的解集为x>1，则称它们构成“ABC不等式”例如：
三个整式A=2x−5，B=2−x，C=−2有：当(2x−5)+(2−x)>−2时的解集为x>1，则称2x−5，
2−x，−2构成“ABC不等式”．
(1)整式x−3，x+2，1可以构成“ABC不等式”吗？请说明理由；
(2)若三个关于x的整式ax，x，2a，可以构成“ABC不等式”，求a的值；
{2nx+m<mx+n)
(3)若三个整式mx−3m，2nx，3n构成“ABC不等式”，求关于x的不等式组 的
2mx−n>m
解集．
【答案】(1)可以，见解析
(2)a=−1或1
1 3 1 2
(3)x<− 或x< 或 <x<
2 10 3 3
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据“ABC不等式”的定义列出对应的不
等式，从中得出m、n之间的数量关系及其符号．
（1）由x−3+x+2>1，即2x−1>1的解集为x>1即可得出答案；
（2）分ax+2a>x、ax+x>2a、2a+x>ax三种情况分别求解即可；
（3）分2nx+3n>mx−3m、mx−3m+3n>2nx、mx−3+2nx>3n三种情况，依据新定义得出
m、n之间的数量关系及m、n的正负情况，再代入方程组消掉m或n，进一步求解即可．
【详解】（1）解：x−3，1，x+2可以构成“ABC不等式”，
∵x−3+x+2>1，即2x−1>1的解集为x>1，
∴x−3，1，x+2可以构成“ABC不等式”；
（2）解：①若ax+2a>x，即(a−1)x>−2a，
2a
则a−1>0，即a>1且− =1，
a−1
1
解得a= （舍）；
3
②若ax+x>2a，即(a+1)x>2a，2a
则a+1>0，即a>−1且 =1，
a+1
此时a=1；
③若2a+x>ax，即(a−1)x<2a，则a−1<0，
2a
即a<1且 =1；
a−1
综上，a=−1；
即a=−1或1；
（3）解：①若2nx+3n>mx−3m，即(2n−m)x>−3(n+m)，则2n−m>0，
−3n−3m
即m<2n且 =1，化简得m=−2.5n，
2n−m
代入2n−m>0得4.5n>0，
即n>0，则m<0，
由2nx+m<mx+n，
得：(m−2n)x>m−n，
即−4.5nx>−3.5n，
7
∴x< ；
9
由2mx−n>m，得：2mx>−2.5n+n，
3
∴x< ，
10
3
此时不等式组的解集为x< ；
10
②若2nx+mx−3m>3n，即(m+2n)x>3m+3n，
3m+3n
则m+2n>0， =1，
m+2n
化简得n=−2m，代入m+2n>0，
得：m<0，则n>0，
由2nx+m<mx+n，
得：(m−2n)x>m−n，即5mx>3m，
3
∴x< ，
5
由2mx−n>m，得：2mx>−m，
1
∴x<− ，
21
此时不等式组的解集为x<− ；
2
③若mx−3m+3n>2nx，即(m−2n)x>3m−3n，
3m−3n
则m−2n>0，即m>2n，且 =1，
m−2n
化简得n=2m，
代入m−2n>0得−3m>0，
解得m<0，则n<0，
由2nx+m<mx+n，得：(m−2n)x>m−n，
即−3mx>−m，
1
∴x> ，
3
由2mx−n>m，得：2mx>3m，
2
∴x< ，
3
1 2
此时不等式组的解集为 <x< ；
3 3
1 3 1 2
综上，x<− 或x< 或 <x< ．
2 10 3 3
33．【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边为6，8，
10的三角形是“好运三角形”．
(1)【概念运用】在△ABC中，AB=2，BC=4，若△ABC为“好运三角形”，求AC的长；
(2)【变式运用】已知△ABC的周长为16，AC=4，若AB的长为偶数，试判断△ABC是否为“好运三
角形”．
【答案】(1)AC=4
(2)△ABC是“好运三角形”
【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键．
（1）先根据三边关系求出AC的范围，再根据新定义，确定AC的长即可；
（2）设AB=x(x为偶数)，则BC=12−x，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出x的取值范围，
根据AB的长为偶数，求出AB的长，进而求出BC的长，再根据新定义进行判断即可．
【详解】（1）解：∵BC−AB<AC<BC+AB，
∴4−2<AC<4+2，即2<AC<6，
∵△ABC为“好运三角形”，∴AC为偶数，
∴AC=4；
（2）设AB=x(x为偶数)，则BC=12−x，
∴ ¿
解得4<x<8，
∵x为偶数，
∴AB=x=6．
∴BC=12−6=6，
又∵AC=4，
∴△ABC是“好运三角形”．
34．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by=c （其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数x系数a互换，
得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by=c”变更方程”为cx+by=a．
(1)方程3x+2y=4与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ；
(2)已知关于x，y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0，且ax+by=c与它的“变更方
程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny=p的一个解，求代数式
(m+n)m−p(n+p)+2025的值；
(3)已知整数m，n，t且t满足6<t<22，并且(10m−t)x+2025 y=m+t是关于x，y的二元一次方程
(1+n)x+2025 y=2m+2的“变更方程”，求m的值．
{x=−1
)
【答案】(1) 7
y=
2
(2)2025
(3)2
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的
方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键．
（1）根据“变更方程”的定义可得4x+2y=3，联立方程组求解即可；
{x=−1)
（2）根据题意，先联立方程组，结合a+b+c=0求出 ，代入二元一次方程mx+ny=p得
y=−1
−m−n=p，m+n=−p，代入代数式化简求值即可；
（3）根据题意可得 { m+t=1+n ) ，分别求出m= n+3 ，t= 6+8n ，根据6<t<22可得6<n<24，
10m−t=2m+2 9 9
由此可求出1<m<3，结合整数m，n，t即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，方程3x+2y=4的“变更方程”方程为4x+2y=3，{3x+2y=4)
∴联立方程组为 ，
4x+2y=3
{x=−1
)
解得， 7 ，
y=
2
{x=−1
)
故答案为： 7 ；
y=
2
（2）解：根据题意，ax+by=c的”变更方程”为cx+by=a，
{ax+by=c)
∴联立方程组得， ，
cx+by=a
{
x=−1
)
解得， a+c ，
y=
b
∵a+b+c=0，则a+c=−b，
∴y=
−b
=−1，即
{x=−1)
，
b y=−1
{x=−1)
∵ 是二元一次方程mx+ny=p的一个解，
y=−1
∴−m−n=p，则m+n=−p，
∴(m+n)m−p(n+p)+2025
=−pm−p(n−m−n)+2025
=−pm+pm+2025
=2025；
（3）解：(10m−t)x+2025 y=m+t是关于x，y的二元一次方程(1+n)x+2025 y=2m+2的“变
更方程”，
{ m+t=1+n① )
∴ ，
10m−t=2m+2②
n+3
①+②得，11m=2m+n+3，整理得，m= ，n=9m−3，
9
n+3 n+3 6+8n
把m= 代入①得， +t=1+n，整理得，t= ，
9 9 9
∵6<t<22，
6+8n
∴6< <22，
9
解得，6<n<24，∵n=9m−3，
∴6<9m−3<24，则1<m<3，
∵m是整数，
∴m=2，
当m=2时，n=15，t=14，符合题意，
∴m=2．
35．定义：若不等式组的解集是a<x<b，且满足a+b=0，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．若
关于x的不等式组¿的解集是一个“对称集”，求m的值．
【答案】m=−2
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握“对称集”的定义是解答此题的关键．解每个不等
式得出5m−2<x<4m+20，根据“对称集”的定义得出5m−2+4m+20=0，解方程即可．
【详解】解：解不等式2(x+1)>x+5m，得x>5m−2，
x+m x
解不等式 > −1，得x<4m+20，
5 4
∴不等式组的解集为5m−2<x<4m+20，
∵该不等式组的解集是一个“对称集”，
∴5m−2+4m+20=0，
解得m=−2．
36．定义：对于立信不等式：L a>L b(x>0,x≠1)，当x>1时，a>b；当0<x<1时，a<b．
x x
(1)若关于x的不等式
L
1
(2x−3m)>L
1
7
的解集是x<2，求不等式L (mx+2)>L 2m的解集；
2 2
2 2
{L (2x−2)>L n
)
3 3
(2)若关于x的不等式组 L x>L (n+1) 的解集中有且只有2个整数解，求n的取值范围．
1 1
3 3
【答案】(1)x<4
(2)4<n≤6
【分析】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组等．
（1）根据新定义整理不等式
L
1
(2x−3m)>L
1
7
并求出其解集，进而得
3m+7
=2，解方程可得m的
2 2 2
值，根据新定义整理所求不等式，再将m的值代入并解不等式即可．
{2x−2>n)
（2）先根据新定义整理不等式组得 ，解不等式组，再根据其解集中有且只有2个整数解，
x<n+1
得到关于n的不等式组，解不等式组即可得n的取值范围．【详解】（1）解：∵0<
1
<1，
L
1
(2x−3m)>L
1
7
，
2
2 2
∴2x−3m<7，
3m+7
解得：x< ，
2
L (2x−3m)>L 7
又∵关于x的不等式 1 1 的解集是x<2，
2 2
3m+7
∴ =2，
2
解得：m=−1，
∵L (mx+2)>L 2m，
2 2
∴mx+2>2m，
把m=−1代入得−x+2>−2，
解得：x<4；
{L
3
(2x−2)>L
3
n
) {2x−2>n)
（2）解：关于x的不等式组 L
1
x>L
1
(n+1) 可变为 x<n+1 ，
3 3
n+2
解得： <x<n+1，
2
{L (2x−2)>L n
)
3 3
∵关于x的不等式组 L x>L (n+1) 的解集中有且只有2个整数解，
1 1
3 3
n+2
{ n+1− >2)
2
∴ ，
n+2
n+1− ≤3
2
解得：4<n≤6．
