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专题 09 二次函数中的定值与定点压轴题全梳理
类型一、定值问题
例．如图1，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于
点 ．点 是第二象限内抛物线上的一个动点，设点 的横坐标为 ，过点 作直线
轴于点 ，作直线 交 于点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，当 是以 为底边的等腰三角形时，求点 的坐标；
(3)如图2，连接 ，过点 作直线 ，交 轴于点 ，连接 ．试探究：在点 运
动的过程中，是否存在点 ，使得 ，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由．
【变式训练1】已知抛物线的 顶点为 ，与 轴交于 ．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)如图1，过顶点 作 轴于 点，交直线 于 ，点 、 分别在抛物线 和
轴上，若 为 ，且以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，求 的值；
(3)如图2，将抛物线 向右平移一个单位得到抛物线 ，直线 与 轴交于点 ，
与抛物线 交于 、 两个不同点，分别过 、 两点作 轴的垂线，垂足分别为 、
，当 的值在取值范围内发生变化时，式子 的值是否发生变化？若不变，请求其值．（解此题时不用相似知识）
【变式训练2】如图1，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D．
（1）求直线BD的解析式；
（2）P为抛物线上一点，当点Р到直线BD的距离为 时，求点P的坐标；
（3）如图2，直线 交抛物线与M，N两点，C为抛物线上一点，当 时，
请探究点C到MN的距离是否为定值．
【变式训练3】如图1，抛物线 ，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为
抛物线顶点，直线 垂直于x轴于点E，当 时， ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是线段 上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形 的面积；
②如图2，直线 分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问， 是否为定
值？如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由．类型二、定点问题
例．如图，抛物线 与x轴的交点为A，B两点，与y轴的交于点C，
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P为抛物线在第四象限上的一点，直线 与抛物线的对称轴相交于点M，若 是
以 为底边的等腰三角形，求点P的坐标；
(3)P是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，Q、N是抛物线对称轴上两点， ． 求
证：存在确定的点N，使直线 与抛物线只有唯一交点P．
【变式训练1】如图，抛物线 与 轴分别相交于 ， 两点（点 在点 的
左侧）， 是 的中点，平行四边形 的顶点 ， 均在抛物线上．
(1)直接写出点 的坐标；
(2)如图（1），若点 的横坐标是 ，点 在第二象限，平行四边形 的面积是13，
①求直线 的解析式；②求点 的坐标；
(3)如图（2），若点 在抛物线上，连接 ，求证：直线 过一定点．
【变式训练2】已知二次函数 的图象经过点 ，直线AB与抛物线相交于
A、B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若直线AB的解析式为 ，且 的面积为35，求k的值；
(3)如图2，若 ，则直线AB必经过一个定点C，求点C的坐标．
【变式训练3】已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，
，且 的面积为6，
(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)如图1，若 ， 为抛物线上两点，以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
设 点横坐标为 ，求 的值；
(3)如图2，过定点 的直线交抛物线于 ， 两点，过 点的直线 与抛物
线交于点 ，求证：直线 必过定点．课后训练
1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于点
A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，若点P为第一象限的抛物线上一点，直线 交x轴于点D，且 平分 ，
求点P的坐标；
(3)如图②，点Q为第四象限的抛物线上一点，直线BQ交y轴于点M，过点B作直线
，交y轴于点N，当Q点运动时，线段MN的长度是否会变化？若不变，请求出
其长度；若变化，请求出其长度的变化范围．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴相交于点A、B，与y
轴相交于点C，其中B点的坐标为 ，点M为抛物线上的一个动点．
(1)二次函数图像的对称轴为直线 ．
①求二次函数的表达式；
②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是________；
③在②的条件下，连接 ，在 上任意取一点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线对
称轴左侧的图像交于点Q，求线段 的最大值；(2)过点M作 的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n，在点M运动的
过程中，试问 的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出 的
值．
3．如图，直线： 交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 在 轴上， ，经
过点 ， 的抛物线： 交直线 于另一点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 为直线 上方抛物线上一点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ．当
时，求点 的坐标；
(3)抛物线与 轴的另一个交点为 ，过点 的任意直线 （不与 轴平行）
与抛物线交于点 、 ，直线 、 分别交 轴于点 、 ，是否存在 的值使得
与 的积为定值？若存在，求 的值，若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点（ 在 的左边）与 轴交于点 ．
(1)如图1，已知 ，且点 的坐标为
①求抛物线的解析式；
②P为第四象限抛物线上一点， 交 轴于点 ，求 面积的最大值及此时点的坐标．
(2)如图 ， 为 轴正半轴上一点，过点 作 交抛物线于 ， 两点（ 在
的左边），直线 ， 分别交 轴于 ， 两点，求 的值．
5．如图1，已知一次函数 的图象与y轴，x轴相交于点A，B，抛物线
与y轴交于点C，顶点M在直线 上，设点M横坐标为m．
(1)如图2，当 时，求此时抛物线 的函数表达式；
(2)求当m为何值时，点C的纵坐标最大；
(3)如图3，当 时，此时的抛物线 与直线 相交于D，E两点，
连接 ， 并延长，分别与x轴交于P，Q两点．试探究 是否为定值？若是，
请求出该定值；若不是，请说明理由．
