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专题 09 圆中的最值模型之阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化
归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆
问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早
由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，
连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变
为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2023·山西·九年级专题练习）如图，在 中， ，以点B为圆心作圆B与
相切，点P为圆B上任一动点，则 的最小值是___________．例2．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的
一个动点，则 的最大值为_______．
例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形 的边长为2，锐角大小为 ， 与 相切于点
E，在 上任取一点P，则 的最小值为___________．
例4.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则
PA＋PB的最小值为________．例5．（2023·浙江·一模）问题提出：
如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+ BP的最小值
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将 BP转化为某
一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)
如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有
又∵∠PCD＝∠
△ ∽△
∴ ∴PD＝ BP ∴AP+ BP＝AP+PD
∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ BP的最小值为 ．
(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则 AP+PC的最小
值为 ．(请在图3中添加相应的辅助线)
(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是
上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．例6．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形 的边长为4，圆B的半径为2，点P
是圆B上的一个动点，求 的最小值， 的最小值， 的最大值．
（2）如图2，已知正方形 的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求 的
最小值， 的最大值， 的最小值．
（3）如图3，已知菱形 的边长为4， ，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求
的最小值和 的最大值． 的最小值
例7．（2022·广东·广州市九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，
D(5，3)，点P是第一象限内一动点，且 ，则4PD+2PC的最小值为_______．课后专项训练
1．（2023·江苏苏州·苏州市二模）如图，在 中，点A、点 在 上， ， ，点 在
上，且 ，点 是 的中点，点 是劣弧 上的动点，则 的最小值为
．
2．（2022·四川泸州·校考一模）如图， 为 的直径， ，点C与点D在 的同侧，且
， ， ， ，点P是 上的一动点，则 的最小值为 ．3．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝ ．
连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则 DQ+CQ的最小值为 ．
4．（2022·广东·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为
半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .
5．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt 中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是
扇形AEF的 上任意一点，连接BP，CP，则 BP+CP的最小值是 ．6．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在 中， ，以点B为圆心作圆B与
相切，点P为圆B上任一动点，则 的最小值是 ．
7．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的
一个动点，则PD﹣ PC的最大值为 ．
8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边
CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+ CG的最小值为 ．
9．如图，扇形 中， ， ， 是 的中点， 是 上一点， ， 是 上
一动点，则 的最小值为 ．10．（2023·四川成都·九年级专题练习）在 中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是
上一动点，连接PB，PC，则 的最小值_____________ 的最小值_______
16．（2023·江苏扬州·校联考二模）请认真阅读下列材料：
如图①，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义
为射线 上一点 ，满足 ．
显然点A也是点 的反演点．即点A与点 互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径．这种从点A
到点 的变换或从点 到点A的变换称为反演变换．
例如：如图②，在平面直角坐标系中，点 ，以点O为圆心， 为半径的圆，交y轴的正半轴于点
B；C为线段 的中点，P是 上任意一点，点D的坐标为 ；若C关于 的反演点分别为 ．
（1）求点 的坐标；（2）连接 、 ，求 的最小值．解：（1）由反演变换的定义知： ，其中 ， ．
∴ ，故点 的坐标为 ；
（2）如图③，连接 、 ，由反演变换知 ，
即 ，而 ，∴ ．∴ ，即 ．
∴ ．故 的最小值为13.
请根据上面的阅读材料，解决下列问题：
如图④，在平面直角坐标系中，点 ，以点O为圆心， 为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为
线段 的中点，P是 上任意一点，点D的坐标为 ．
（1）点D关于 的反演点 的坐标为________；（2）连接 、 ，求 的最小值；
（3）如图⑤，以 为直径作 ，那么 上所有的点（点O除外）关于 的反演点组成的图形具有
的特征是__________________．17．（2023·江苏·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径
为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
① ，② ，③ ，④ 的最小值．
18．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形
CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝ ，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋ AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋ AD的最小值．19．（2022·广东·统考二模）（1）初步研究：如图1，在 PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且
AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正△方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是
⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，
∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．
