文档内容
专题 09 旋转两种解题模型
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................2
题型一：奔驰模型............................................................................................................2
题型二：费马点模型......................................................................................................15
压轴能力测评..............................................................................................................21
模型一：奔驰模型
旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类
题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点 :旋转的本质是把分散的条件集中化，从而
解决问题
模型二：费马点模型最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而
来，所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。
题型一：奔驰模型
一．选择题（共1小题）
1．（2020秋•顺平县期中）如图， 是等边三角形 内的一点，且 ， ， ，将
绕点 顺时针旋转 到 位置．连接 ，则以下结论错误的是
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
2．（2023秋•北屯市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 是等边三角形，点 的坐标是
，点 在第一象限， 的平分线交 轴于点 ，把 绕着点 按逆时针方向旋转，使边
与 重合，得到 ，连接 ．则 ， 点坐标为 ．3．（2023 秋•长宁区校级期中）已知在 中， ， ， （如图），把
绕着点 按顺时针方向旋转 ，将点 、 的对应点分别记为点 、 ，如果△
为直角三角形，那么点 与点 的距离为 ．
4．（2022秋•新抚区期中）如图，正方形 中，将边 绕着点 旋转，当点 落在边 的垂直平
分线上的点 处时， 的度数为 ．
5．（2021秋•盘龙区校级期中）如图， 是等边三角形 内的一点，且 ， ， ，以
为边在 外作 ，连接 ，则以下结论中正确有 （填序号）
① 是等边三角形 ② 是直角三角形 ③ ④
三．解答题（共6小题）
6．（2022秋•西湖区校级期中）如图，一块等腰直角的三角板 ，在水平桌面上绕点 按顺时针方向
旋转到 的位置，使 ， ， 三点在同一直线上，连接 ，求 的度数．7．（2021秋•长乐区期中）在 中， ， ， ，将 绕点 顺时针
旋转一定的角度得到 ，点 ， 的对应点分别是 ， ，连接 ．
（1）如图1，当点 恰好在边 上时，求 的大小；
（2）如图2，若 为 中点，求 的最大值．
8．（2022秋•东胜区校级期中）（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，
是正方形 内一点，连结 ， ， 现将 绕点 顺时针旋转 得到的△ ，连接
．若 ， ， ，则 的长为 ，正方形 的边长为 ．
（变式猜想）（2）如图2，若点 是等边 内的一点，且 ， ， ，请猜想
的度数，并说明理由．
（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：
如图3，在四边形 中， ， ， ，则 的长度为 ．9．（2023秋•梁山县期中）如图， 是正三角形 内的一点，且 ， ， ．若将
绕点 逆时针旋转后，得到△ ．
（1）求点 与点 之间的距离；
（2）求 的度数．
10．（2020秋•黄石期中）下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
（1）如图1，在等边三角形 内部有一点 ， ， ， ，求 的度数．
解：将 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，连接 ，则 为等边三角形．
， ， ，
．
为 三角形．
的度数为 ．
（2）类比延伸
如图2，在正方形 内部有一点 ，若 ，试判断线段 、 、 之间的数量关系，
并说明理由．
11．（2023秋•罗山县期中）阅读与理解：如图1，等边 （边长为 按如图所示方式设置．操作与证明：
（1）操作：固定等边 （边长为 ，将 绕点 按逆时针方向旋转 ，连接 ， ，如图
2；在图2中，请直接写出线段 与 之间具有怎样的大小关系．
（2）操作：若将图1中的 ，绕点 按逆时针方向旋转任意一个角度 ，连接 ，
， 与 相交于点 ，连 ，如图 3；在图 3中线段 与 之间具有怎样的大小关系？
的度数是多少？证明你的结论．
猜想与发现：
（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，当 为多少度时，线段 的长度最大，最大是多少？
当 为多少度时，线段 的长度最小，最小是多少？
题型二：费马点模型
一．选择题（共1小题）1．（2023秋•萧山区期中）如图，已知 ， ， ，点 在 内，将 绕着
点 逆时针方向旋转 得到 ．则 的最小值为
A．10 B． C． D．
二．解答题（共2小题）
2．（台州期中）（1）知识储备
①如图1，已知点 为等边 外接圆的 上任意一点．求证： ．
②定义：在 所在平面上存在一点 ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 为 的费
马点，此时 的值为 的费马距离．
（2）知识迁移
①我们有如下探寻 （其中 ， ， 均小于 的费马点和费马距离的方法：
如图2，在 的外部以 为边长作等边 及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段 的
长度即为 的费马距离．
②在图3中，用不同于图2的方法作出 的费马点 （要求尺规作图）．
（3）知识应用
①判断题（正确的打 ，错误的打
ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个 ；
ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部 ．
②已知正方形 ， 是正方形内部一点，且 的最小值为 ，求正方形 的
边长．
3．（宿豫区校级期中）探究问题：
（1）阅读理解：
①如图（A），在已知 所在平面上存在一点 ，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点 为的费马点，此时 的值为 的费马距离；
②如图（B），若四边形 的四个顶点在同一圆上，则有 ．此为托勒密定
理；
（2）知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图（C），已知点 为等边 外接圆的 上任意一点．求证： ；
②根据（2）①的结论，我们有如下探寻 （其中 、 、 均小于 的费马点和费马距离的
方法：
第一步：如图（D），在 的外部以 为边长作等边 及其外接圆；
第 二 步 ： 在 上 任 取 一 点 ， 连 接 、 、 、 ． 易 知
；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出 的费马点 ，并请指出线段 的长度即为
的费马距离．
（3）知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓
的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．
已知三村庄 、 、 构成了如图（E）所示的 （其中 、 、 均小于 ，现选取一点
打水井，使从水井 到三村庄 、 、 所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．1．（连城县期中）（1）如图1，点 是等边 内一点，已知 ， ， ，求 的
度数．
要直接求 的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边
集中到一个三角形内，如图2，作 使 ，连接 ， ，则 是等边三角形．
，
是等边三角形
，
，
在 中， ， ， ，
（2）如图3，在 中， ， ，点 是 内一点， ， ， ，
求 的度数．
2．（西城区校级期中）如图， 是等边 内的一点，且 ， ， ，将 绕点逆时针旋转，得到 ．求：
（1）点 与点 之间的距离；
（2）求 的度数．
3．（汉阳区期中）如图， 是等腰 内一点， ，连接 ， ， ．
（1）如图1，当 时，将 绕 点顺时针旋转 ，画出旋转后的图形；
（2）在（1）中，若 ， ， ，求 的大小；
（3）当 时，且 ， ， ，则 的面积是 （直接填答案）
4．（汉阳区期中）（1）阅读证明①如图1，在 所在平面上存在一点 ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 为 的
费马点，此时 的值为 的费马距离．
②如图2，已知点 为等边 外接圆的 上任意一点．求证： ．
（2）知识迁移
根据（1）的结论，我们有如下探寻 （其中 ， ， 均小于 的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图3，在 的外部以 为边长作等边 及其外接圆；
第 二 步 ： 在 上 取 一 点 ， 连 接 ， ， ， ． 易 知
；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出 的费马点 ，线段 的长度即为 的费马距离．
（3）知识应用
已知三村庄 ， ， 构成了如图4所示的 （其中 ， ， 均小于 ，现选取一点 打
水井，使水井 到三村庄 ， ， 所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．5．（当涂县校级期中）如图，点 是等边 外一点， ， ，
（1）将 绕点 逆时针旋转 得到△ ，画出旋转后的图形；
（2）在（1）的图形中，求 的度数．
