文档内容
专题 1.10 有理数（全章精选精练）（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·四川自贡·二模）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著 九章算术 中，如果把收入
元记作 元，那么支出 元记作（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
2．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）如果在数轴上A点表示 ，那么在数轴上与点A距离2个长度
单位的点所表示的数是（ ）
A． B． 和 C． 或 D．
3．（2024·河北张家口·三模）如图是甲、乙、丙、丁4个地区某日的平均气温，其中温度最低的地区是
（ ）
某日的平均气温
甲：
乙：10℃
丙：21℃
丁：
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（23-24六年级下·全国·假期作业）已知 ，则a、b、c的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
6．（23-24七年级上·四川泸州·期中） 是数轴上一点表示的数，则 的最小值是（ ）
A．1 B． C．5 D．
7．（2023·北京石景山·一模）实数a在数轴上的位置如图所示，若 ，则下列说法不正确的是
（ ）A．a的相反数大于2 B．
C． D．
8．（23-24七年级上·四川达州·期末）若 ，则 （ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
9．（2024七年级·全国·竞赛）把 四个数按由大到小的顺序排列，正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24七年级上·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c
在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与 的点相距30
个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的 ，则c的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·福建泉州·模拟预测）如果温度上升 ，记作 ，那么温度下降 记作 ．
12．（23-24七年级上·吉林·期末）有理数 的相反数是 ．
13．（23-24六年级下·全国·假期作业）若 ，则 ， ．
14．（2024·河北邢台·一模）如图，数轴上点 表示的数是2024，若 ，则点 表示的数是
．15．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）比较大小： （填“ ”、“ ”或“
”）
16．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知a、b为整数， ，且 ，则a的最
小值为 ．
17．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点A， （点A在点 的左边）分别表示数1，
，若数轴上表示数字5的点 到 和 的距离相等，则 的值为 ．
18．（2024七年级·全国·竞赛）对于任意的有理数 和 ，称 为 和 的“绝对差”．小枫同学
对 这2016个整数进行如下操作：划掉两个整数，并在这列数的后面写上这两个整数的
“绝对差”．重复操作，直到剩下一个数，这个数最大是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24七年级上·山东济南·期中）把下列各数填入它所属的集合内：
（1）分数集合： _________________________________________________
（2）非负整数集合： _________________________________________________
（3）有理数集合： ___________________________________________________ ．
20．（8分）（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）在数轴上表示下列各数：
，并用“＜”把这些数连接起来．21．（10分）（23-24七年级上·陕西商洛·期末）如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相
等，已知点A表示 ，点 表示8．
（1）点 表示的有理数是______，表示原点的是点______．
（2）图中哪些点表示的有理数互为相反数？
（3）图中的数轴上另有点 到A点，点 距离之和为13，求点 表示的有理数．
22．（10分）（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）如果 ， ，且a，b异号，求
a、b的值．
（2）若 ， ，且 ，求a，b的值．
23．（10分）（22-23六年级上·山东泰安·期中）数轴上表示有理数a，b，c，d的点的位置如图所示：
（1）请将有理数a，b，c，d按从小到大的顺序用“＜”连接起来：______；
（2）如果 ，表示数b的点到原点的距离为6， ，c与d距离原点的距离相等，则 ______，
______， ______， ______．
24．（12分）（23-24七年级上·贵州黔南·期末）知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，
一般的，数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对
值方程．像 ， ， 都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值．
例如：
（1） 表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以， 或 ，对
应的数有两个，分别是5和 ．
解：因为 ，所以， 或 ．
（1） 表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以， 或 ，对应的
数有两个，分别是8和 ．
解：因为 ，所以， 或 ，解得： 或 ．
知识应用：
（1）求出下列未知数的值．
；
．
（2）知识探究：
直接写出 的最小值．参考答案：
1．A
【分析】根据正数和负数的定义进行解答．
本题考查了正数和负数的定义，掌握正数和负数的定义是关键．
【详解】解：如果把收入 元记作 元，
那么支出 元记作 元．
故选：A．
2．B
【分析】本题综合考查了数轴上两点之间的路线，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容
易遗漏，体现了数形结合的优点．
在数轴上表示出A点，找到与点A距离2个长度单位的点所表示的数即可．此类题注意两种情况：
要求的点可以在已知点 的左侧或右侧．
【详解】如图所示，
∴在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是 和 ．
故选B．
3．D
【分析】本题主要考查了正数和负数的意义和有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数可
得答案．
【详解】∵
∴温度最低的地区是丁
故选：D．
4．A
【分析】此题考查了绝对值，多重符号化简，有理数的大小比较，先化简个数，再根据有历史大小
比较的方法比较即可．
【详解】解： ，
，
，
故选：A．
5．B【分析】本题主要考查了绝对值、相反数和化简多重符号等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
结合化简多重符号法则、绝对值性质进行化简，然后根据相反数的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A、 ， ，故两数不是相反数，不符合题意；
B、 ， ，两数互为相反数，符合题意；
C、 ， ，故两数不是相反数，不符合题意；
D、 ， ，故两数不是相反数，不符合题意．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，分情况根据绝对值的意义进行化简，即可
求出结果．
【详解】解：当 时，
，
代数式的值随x的增大而减小，
当 时，
，
当 时，
，
代数式的值随x的增大而增大，当 时，代数式的值为5，
则 的最小值是5，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是数形结合，得到 ．
由图得 ，且 ，可知 ，然后逐项判断即可．
【详解】解：由图得 ，且 ，
∴ ，D正确，不符合题意；∴a的相反数大于2，故A正确，不符合题意；
a的相反数大于2即是 ，故B不正确，符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故C正确，不符合题意；
故选：B．
8．A
【分析】此题考查了绝对值，根据绝对值的意义即可解答，解题的关键是熟记绝对值的意义．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故选： ．
9．A
【分析】本题主要考查有理数大小比较，先比较各数绝对值的大小，再比较各数即可．
【详解】解： ，
又 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
．
故选：A．
10．D
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，相反数的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
根据题意得出 与 互为相反数， 与 互为相反数，再根据表示数 与 的点相距30个单位长
度即可求出表示数 的点到原点的距离为15，再根据表示数 的点与原点的距离是表示数 的点与原点距离的 求出 的值，从而求出 的值．
【详解】解： 表示数 的点与表示数 的点到原点的距离相等，
与 互为相反数，即原点在 、 之间，如图，
与 互为相反数，且表示数 与 的点相距30个单位长度，
表示数 的点到原点的距离为15，
表示数 的点与原点的距离是表示数 的点与原点距离的 ，
，
，
故选：D．
11．
【分析】本题考查了正数与负数的知识，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另
一个就用负表示．
【详解】解：“正”和“负”相对，
如果温度上升 ，记作 ，
温度下降 记作 ，
故答案为： ．
12．2023
【分析】根据相反数的定义：“符号相反，绝对值相同的两个数互为相反数”求解即可．
【详解】解： 的相反数是2023，
故答案为：2023．
13．
【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得 ，即可求解．
【详解】因为 ，且 ， ，
所以 ，所以 ．
故答案为： ， ．
14． 或
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，先求出 ，进而得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵数轴上点 表示的数是2024，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 表示的数是 或 ，
故答案为： 或 ．
15．
【分析】本题考查绝对值、多重符号、有理数比较大小，根据“负数的绝对值等于它的相反数”
“负负得正”求出两个数，再比较大小即可．
【详解】解： ， ， ，
所以 ，
故答案为： ．
16．
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，以及表示出数轴上两个有理数数的中点，根据
，可知a到 的距离和b到2的距离相等．即b和a分别是位于 和2这
两个点中点的两侧相邻的整数．先求出 和2的中点，再利用 即可得出a的值．
【详解】解：∵
∴
和2的中点
又∵ ，a、b为整数，
∴b为 ，a的最小值为 ．
故答案为： ．
17．
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解
题的关键．由数轴上表示数5的点 到 和 的距离相等得到 ，解得 或 ，由点
在点 的左边可以得到 ．
【详解】解： 数轴上表示数5的点 到 和 的距离相等，
，
整理得： ，
或 ，
解得： 或 ，
点 在点 的左边，
，
故答案为： ．
18．2016
【分析】本题考查了绝对值的计算；除1与2016外，共有2014个数，从2开始，每相邻两个连续
的整数为一组，划掉这样相邻的两个数，加上1，如此操作，可得这列数为：708个1与2016；这
708个1，每两个一组划掉，最后剩下两个数为0，2016，故可求得最后剩下的这个最大数．
【详解】解：由运算规律可知，要使最后剩下的一个数最大，则除1与2016外，共有2014个数，
从2开始，每相邻两个连续的整数为一组，其“绝对差”为1，划掉这样相邻的两个数，加上整数
1，共加上707个1，这样的一列数为：708个1与2016，这708个1，每两个一组划掉，其“绝对
差”均为0，故最后剩下的两个数为0与2016，2016与0的“绝对差”为2016， 故可最后剩下的
这个最大数为2016．
故答案为：2016．
19．(1) ， ， ，
(2) ，
(3) ，
【分析】本题主要考查了有理数的分类：
（1）根据所有的分数组成的数集是分数集合，即可求解；
（2）根据所有正整数与零组成的数集是非负整数集合，即可求解；
（3）根据所有的有理数组成的数集是有理数集合，即可求解．【详解】（1）解：分数集合： ， ， ， ， ；
（2）解： ，
非负整数集合： ， ；
（3）解：有理数集合： ， ， ．
20．图见解析，
【分析】本题考查在数轴上表示有理数，并比较有理数的大小，先在数轴上表示出各数，根据数轴
上的数右边比左边的大，比较即可．
【详解】解： ，在数轴上表示各数如图：
由图可知： ．
21．(1) ，C
(2)B和D，A和E，
(3) 或
【分析】本题考查了数轴，两点间的距离公式，解题的关键是采用数形结合的数学思想．
（1）根据 ，可知图中相邻的两个点之间的距离是2个单位长度，则后边
的点表示的数总是比前边相邻的点表示的数大2，据此即可判断；
（2）根据相反数的几何意义可知，原点两旁到原点距离相等的点互为相反数，即可解答；
（3）根据两点间的距离公式 ，设M表示的数是x，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解： ，
图中相邻的两个点之间的距离是2个单位长度，
则B表示： ，C表示 ，是原点．
故答案为： ，C；（2）解：由（1）可知C为原点，且相邻两点之间的距离都相等，
B和D，A和E，分别互为相反数；
故答案为：B和D，A和E，
（3）解： ，
M不在线段 上，设M表示的数是x，
当M在A的左边时： ，解得 ；
当M在G的右侧时： ，解得 ，
则M点表示： 或 ．
故答案为： 或 ．
22．（1） 或
（2）
【分析】
本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键．
（1）根据绝对值的性质，可知 ， ，结合a，b异号，可知 或
（2）根据绝对值的性质，可知 ， ，而 ，即可确定出答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
又∵a，b异号，
∴ 或 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
23．(1)
(2) ，6， ，2【分析】此题主要考查了数轴以及绝对值的性质，正确利用数形结合得出答案是解题关键．
（1）利用数轴上a，b，c，d的位置进而得出大小关系；
（2）利用绝对值的意义以及结合数轴得出答案
【详解】（1）由题意得： ，
故答案为： ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵数b的点到原点的距离为6， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵c与d距离原点的距离相等， ，
∴ ．
故答案为： ，6， ，2．
24．（1）① 或 ；② 或 ；（2）2．
【分析】本题考查了数轴上的点所表示的数、绝对值的含义、数轴上两点间的距离等基础知识，明
确相关概念是解题的关键．
（1） 表示在数轴上，数 与数 的距离为 个单位长度，所以， 或 ，
对应的数有两个，分别是 和 ；
表示在数轴上，数 与数 的距离为 个单位长度，所以， 或 ，对应
的数有两个，分别是 和 ．
（2）根据 表示数 与表示数 和 的点之间的距离之和，当表示数 的点处于表示 和
的点之间时，距离最小，可得答案．
【详解】解：（1）①因为 ，
所以 或 ，
解得： 或 ；
因为 ，所以 或 ，
解得： 或 ；
（2） 表示数 与表示数 和 的点之间的距离之和，
当a在3和5之间时距离之后最小，最小值为2，
的最小值是 ．
