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专题 1.1 有理数全章知识典例详解
【人教版2024】
知识点1 正数和负数
1．用正负数表示相反意义的量：
我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表
示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数．
2．正数：像30、+6、 、 这样的数叫做正数，正数都大于零；
3．负数：在正数前面加上“ ”号的数叫做负数，比如： 、 、 、 ．【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“ ”号一定不能省略；② 数 0 既不是正数也不
是负数．
1 11
【典例1】（2024秋•宿松县期末）在−5 ，0，﹣（﹣1.5），﹣|﹣5|， ，﹣24中，负数有 个．
2 4
【典例2】（2024春•长宁区期中）如果把“增加16%”记作“16%”，那么“ ”表示“减少8%”．
【典例3】（2024春•绥棱县校级月考）小明和小佳是同班同学．放学后，两人同时从学校大门处向相反方
向
回家，小明向北走了800m记作“+800m”，小佳走的路程记作“﹣600m”．这时两人相距 m．
【典例4】（2024秋•海沧区期末）巴黎，北京，悉尼同一时刻的当地时间如表．若北京时间记为 0，用正
数表示同一时刻比北京时间早的时数，即悉尼时间记为+2，则巴黎时间记为 ．
城市 巴黎 北京 悉尼
时间 5：00 11：00 13：00
知识点2 有理数的概念及分类
1．有理数：整数与分数统称为有理数．
2．有理数的分类：
（1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类：
（3）小数的分类
有限小数
小数
无限循环小数——可化成分数，是有理数
无限小数
无限不循环小数——不可化成分数，是无理数
【注】注意以下几个概念的区分：
非负数：正数和零；非正数：负数和零；
非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；
非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．
【典例1】下列说法中正确的是 （填序号）．
①整数包括正整数和负整数；
②分数包括正分数、负分数以及0；③有理数可分为正有理数、0、负有理数；
④0是整数，它既不是正数也不是负数；
⑤有理数不是整数就是分数；
⑥有理数是指整数、分数、0这三类；
⑦所有整数都是正数；
⑧非正整数就是0和负整数；
⑨正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数．
【典例2】（2024秋•平度市校级月考）把下列各数分别填入相应的大括号里：
22
﹣2.5、3.14、﹣2、+72、﹣0. ⋅、π、 、0、﹣0.010101．
6
7
正数集合{ …}；
分数集合{ …}；
非负整数集合{ …}．
7 1
【典例3】（2024秋•松滋市期中）在π，﹣8，2023，3.21，0， ，+13.1，− ，﹣2.5中，正数有m
22 3
个，负
整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为 ．
知识点3 数轴
1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线．
【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素；
①原点：表示数0的点；
②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向；
③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度.
2．数轴的画法
（1）画一条水平直线；
（2）在这条直线上取一点作为原点；
（3）一般用箭头表示正方向；
（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方．
【例】一个标准的数轴：
【注】画数轴的常见错误：
①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度；
②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样；
③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱．一些错误的数轴示例：
错误类型 错误示例
三要素缺失
单位长度不统一
方向不统一
3．数轴与有理数的关系
①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示；
但数轴上的点不一定代表有理数，比如 ．
②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；
③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数．
4．数轴与数学思想
①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系；
②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零．
【典例1】（2024秋•江岸区校级月考）数轴上表示﹣2的点离原点的距离是 个单位长度；表示+2的
点
离原点的距离是 个单位长度；数轴上与原点的距离是2个单位长度的点有 个，它们表示的数分
别是 ．
1 2 1 3
【典例2】（2024秋•巨野县校级月考）已知− ，− ， ， 四个有理数在数轴上所对应的点分别为A、
2 3 3 4
B、
C、D，则这四个点从左到右的顺序为 ，离原点最近的点为 ．
【典例3】（2024秋•恩施市期末）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边
界
与数轴相交点的数据；则被淹没的整数点有 个，负整数点有 个，被淹没的最小的负整数点所
表示的数是 ．
知识点4 相反数
1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为
相反数．特别地，0的相反数是0．
【例】 与 互为相反数； 是 的相反数；
【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“ 是相反数”是错误的.2．相反数的性质：
（1）代数性质：若a与b互为相反数，则a+b=0；反之，若 ，则a与b互为相反数．
（2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两
点是关于原点对称的．
3．倒数：乘积为 的两个有理数互为倒数．
【例】2与 ， 与 ， 与 ．
4．负倒数：乘积为 的两个有理数互为负倒数．
【例】2与 ， 与 ， 与 ．
【注】①0没有倒数，也没有负倒数；②倒数是它的本身的数 1 或 -1 ．
1 1
【典例1】（2024秋•乐至县校级月考）﹣1 相反数是 ；﹣2是 的相反数； 与 互为相反
2 10
数．
【典例2】（2024秋•文峰区校级月考）化简：﹣[+（﹣7）]＝ ，﹣[﹣（﹣2）]＝ ，+[﹣
（+a）]＝ ．
【典例3】（2024秋•安阳县月考）若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，则x的相反数是 ．
【典例4】（2024秋•江岸区校级月考）数轴上，若A、B表示互为相反数，A在B的右侧，并且这两点的
距
离为8，则这两点所表示的数分别是 和 ．
m+n
【典例5】（2024秋•德惠市校级月考）已知m，n互为相反数，则2m+2n+2− = .
3
知识点5 绝对值
1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作 ．
2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
3．绝对值的性质：
（1）非负性： ；
（2）双解性：若 ，则 或 ．
【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都 必为 0．
例如，若 ，则 ， ， ．4．绝对值的拓展
（1）若 ，则 ；若 ，则 ．
（2） ．
（3） ．
1
【典例1】（2024秋•天心区校级月考）已知|a|＝3，|b|= ，且a＜0＜b，则a＝ ，b＝ ．
3
3
【典例2】（2024秋•新吴区校级月考）如果|﹣x|=|− |，那么x＝ ，|3.1﹣π|＝ ．
4
【典例3】（2024秋•利州区校级期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为 ．
【典例4】（2024秋•鄂尔多斯月考）当a＝ 时，代数式|a﹣4|+3有最小值是 ．
【典例5】（2024秋•林州市期末）若x为有理数，则5﹣|x﹣2|的最大值为 ．
【典例6】（2024秋•中原区校级月考）绝对值不大于4的非负整数是 ．
绝对值大于1而小于3的整数是 ．
1 1
【典例7】（2024秋•邻水县期末）比较大小：−|− | −(+ )（填“＞”或“＜”）．
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【典例8】（2024秋•呼和浩特期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、|a|、﹣b
按从大到小的顺序排列，并用“＞”号连接，结果为 ．
