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专题 1.2 全等三角形全章知识典例详解
【人教版】
知识点1 全等三角形的定义和性质
1．全等形的概念
定义：能够 完全 重合 的两个图形叫做全等形．【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等．
（2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关．
（3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合．
2．全等三角形的概念和表示方法
（1）全等三角形的概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（2）全等三角形的对应元素：
①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全
等三角形中，能够重合的角．
（3）全等三角形的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对
应的位置上．
3．全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
C C'
A B A' B'
数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．
【拓展】由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，
对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．
但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等．
【典例1】（2024春•雁峰区期末）如图所示的是两个全等的五边形，AB＝8，AE＝5，DE＝11，HI＝12，
IJ＝10，∠D＝90°，∠G＝115°，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的e＝ ， ＝
°． β
【分析】根据全等形的对应边相等，对应角相等进行解答即可．
【解答】解：由题意可知，五边形ABCDE与五边形FGHIJ是全等的五边形，
所以∠ ＝∠FGH＝115°，
e＝DE＝β11，故答案为：11，115．
【典例2】（2024春•泉港区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝5、BC＝10、CD＝6、AD＝3．若四边形
OPCE≌四边形ABCD，则PD＝ ．
【分析】根据全等图形的对应边相等推知：BC＝PC；结合图形得到：PD＝PC﹣CD．
【解答】解：∵四边形OPCE≌四边形ABCD，BC＝10，
∴BC＝PC＝10．
∵CD＝6，
∴PD＝PC﹣CD＝10﹣6＝4．
故答案为：4．
【典例3】（2023秋•宁明县期末）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，进而得出答案．
【解答】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠1+∠4＝90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．
故答案为：180°．
【典例4】（2024春•高碑店市月考）沿图形中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形．【分析】根据全等图形的定义画出图形即可．
【解答】解：如图所示：
【典例5】（2023秋•姜堰区期末）如图，点B、E在CF上，且△ABC≌△DEF．若CF＝8，BE＝4，则
CE的长为 ．
【分析】根据△ABC≌△DEF得到BC＝EF，从而得到BF＝EC，最后求得答案即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣BE＝EF﹣BE，
即：BF＝EC，
∵CF＝8，BE＝4，
CF−BE 8−4
∴CE= = =2，
2 2
故答案为：2．
【典例6】（2024春•姑苏区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，∠E＝115°，
∠B＝28°，∠DAC＝50°，则∠DGF＝ °．
【分析】根据“全等三角形对应角相等”和三角形内角和定理先求出∠AFC的度数，再根据“对顶角相
等”和三角形内角和定理即可求得∠DGF的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D＝28°，∠ACB＝∠E＝115°，
∴∠ACG＝65°，
∵∠DAC＝50°，
∴∠AFC＝∠GFD＝65°，
∴∠DGF＝180°﹣∠D﹣∠DFG＝87°．
故答案为：87．
【典例7】（2024春•长安区期末）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G．若
∠AED＝105°，∠CAD＝18°，∠B＝30°，则∠1的度数为（ ）
A．67° B．63° C．57° D．53°
【分析】先根据全等三角形的性质得到∠B＝∠D＝30°，∠ACB＝∠AED＝105°，再利用三角形外角性
质计算出∠CFA＝87°，则根据对顶角相等得到∠DFG＝87°，然后根据三角形内角和定理计算∠1的度
数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝30°，∠ACB＝∠AED＝105°，
∵∠ACB＝∠CAD+∠CFA，
∴∠CFA＝105°﹣18°＝87°，
∴∠DFG＝∠CFA＝87°，
∵∠1+∠D+∠DFA＝180°，
∴∠1＝180°﹣87°﹣30°＝63°．
故选：B．
知识点2 全等三角形的判定
1．三角形全等的判定方法：
判定方法 解释 图形
边边边 三条边对应相等的两个三角形全等(SSS)
边角边 两边和它们的夹角对应相等的两个
(SAS) 三角形全等
角边角 两角和它们的夹边对应相等的两个
(ASA) 三角形全等
角角边 两个角和其中一个角的对边对应相
(AAS) 等的两个三角形全等
斜边、直角
斜边和一条直角边对应相等的两个
边
直角三角形全等
(HL)
注意：
（1）全等的理解，对应边相等，对应角相等的三角形，叫做全等三角形．
（2）全等的表示，若 ，则前后对应关系确定；若 与 全等，则前后
对应关系不确定．
（3）在全等三角形判定中，有两种不能判定判定三角形全等的方法：SSA 和AAA．
2．合理选择全等三角形的判定方法：
【典例1】（2024春•重庆期末）根据下列已知条件，画出的△ABC不唯一的是（ ）
A．AB＝2cm，BC＝3cm，AC＝4cm
B．∠C＝60°，∠B＝45°，BC＝4cm
C．∠C＝90°，AC＝3cm，AB＝5cm
D．∠C＝30°，BC＝8cm，AB＝6cm
【分析】由于选项A中已知三角形的三边长，根据三边对应相等的两个三角形全等即可对选项A进行判
断；由于对于选项B中已知三角形的两角及其夹边，根据两角及其夹边对应相等的两个三角形全等即可
对选项B进行判断；由于选项C中已知直角三角形的一条直角边和斜边，根据斜边和一条直角边对应相
等的两个直角三角形全等即可对选项C进行判断；由于选项D中已知三角形两边及其一边的对角，根据两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等即可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，已知三角形的三边长，
根据全等三角形的判定定理可知：三边对应相等的两个三角形全等，
因此已知选项A中的条件，画出的△ABC是唯一的，
故选项A不符合题意；
对于选项B，已知三角形的两角及其夹边，
根据全等三角形的判定定理可知：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，
因此已知选项B中的条件，画出的△ABC是唯一的，
故选项B不符合题意；
对于选项C，已知直角三角形的一条直角边和斜边，
根据两个直角三角形全等的判定定理可知：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，
因此已知选项C中的条件，画出的△ABC是唯一的，
故选项C不符合题意；
对于选项D，已知三角形两边及其一边的对角，
根据两个全等三角形的判定定理可知：两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，
因此已知选项C中的条件，画出的△ABC是不唯一，
故选项D符合题意．
故选：D．
【典例2】（2023秋•鹤壁期末）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻
璃，最省事的方法是（ ）
A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意；
B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
故选：A．【典例3】（2023秋•新昌县期末）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出
5个论断：①AB＝DE，②AC＝DF，③BE＝CF，④∠ACB＝∠DFE，⑤∠A＝∠D．选其中3个作
为条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④
【分析】根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL依次对各选项分析即可判断．
【解答】解：③∵BE＝CF，
∴BC＝EF．
A、①②③根据“SSS”可判断△ABC≌△DEF；
B、②③④根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF；
C、③④⑤根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF；
D、①②④为两边与一边的对角对应相等，故不能判断△ABC≌△DEF；
故选：D．
【典例4】（2024春•遂川县期末）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB．
（1）在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使△ABC≌△ADC的条件有 （填序号），
①DC＝BC；②∠D＝∠B；③∠DAC＝∠BAC；④∠DCA＝∠BCA；
（2）分别对（1）中添加条件的情况证明△ABC≌△ADC，并指出两个三角形全等的判定方法．
【分析】（1）由于AC为公共边，则根据全等三角形的判定方法分别对四个条件进行判断；
（2）当添加BC＝DC，根据“SSS”可判断△ABC≌△ADC；当添加∠BAC＝∠DAC时，根据“SAS”
可判断△ABC≌△ADC．
【解答】解：（1）∵AB＝AD，AC＝AC，
∴当添加BC＝DC时，△ABC≌△ADC（SSS）；
当添加∠B＝∠D时，不能判定△ABC≌△ADC；
当添加∠BAC＝∠DAC时，△ABC≌△ADC（SAS）；当添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC；
故答案为：①③．
（2）当添加BC＝DC，
在△ABC和△ADC中，
{AB=AD
)
AC=AC ，
BC=DC
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
当添加∠BAC＝∠DAC时，
在△ABC和△ADC中，
{
AB=AD
)
∠BAC=∠DAC ，
AC=AC
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
【典例5】（2024•新城区校级模拟）如图，点 F在AB上，BC∥AD，AD＝AC，∠AED＝∠B．求证：
△ABC≌△DEA．
【分析】先根据平行线的性质得到∠C＝∠DAE，然后根据“AAS”可判断△ABC≌△DEA．
【解答】解：∵BC∥AD，
∴∠C＝∠DAE，
在△ABC和△DEA中，
{∠B=∠AED
)
∠C=∠DAE ，
AC=AD
∴△ABC≌△DEA（AAS）．
【典例6】（2024•鼓楼区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，在BD上取两点E，F，使DF
＝BE，连接AE，CF．若AE∥CF，试说明△ABE≌△CDF．【分析】根据平行线的性质求出∠ABE＝∠CDF，∠AEB＝∠CFD，由“ASA”可证△ABE≌△CDF．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE∥CF，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
{∠ABE=∠CDF
)
BE=DF ，
∠AEB=∠CFD
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
【典例7】（2024•前郭县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，E为AC上一点，
EF⊥AB于点F，AE＝CB．求证：△AEF≌△CBD．
【分析】先证明∠A＝∠BCD，∠EFA＝∠BDC＝90°，根据AAS即可证明△AEF≌△CBD．
【解答】证明：在Rt△ABC中，∠B+∠A＝90°．
∵DC⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°．
∴∠A＝∠BCD．
∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝∠BDC＝90°．
∵AE＝CB，
∴△AEF≌△CBD（AAS）．
【典例8】（2023秋•乌兰察布期末）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC
于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．【分析】根据全等三角形的判定定理HL证得Rt△ADC≌Rt△CBA，在该全等三角形的对应边相等：DC
＝BA，然后再由HL来证得Rt△ABE≌Rt△CDF．
【解答】解：如图，
在Rt△ADC与Rt△CBA中，
{DA=BC)
，
AC=CA
∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL），
∴DC＝BA．
又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
{AE=CF)
，
AB=CD
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
【典例9】（2024春•南岗区校级月考）已知AC＝DB，BD⊥DC于点D，CA⊥AB于点A，BD、AC交于点
E．
（1）如图1，求证：AB＝DC；
（2）如图2，延长BA、CD交于点F，请直接写出图2中的所有全等三角形．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BD⊥DC于点D，CA⊥AB于点A，∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC与Rt△DCB中，
{BC=CB)
，
AC=DB
∴Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴AB＝DC；
（2）解：由（1）知Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴BF＝CF，
∵AB＝CD，
∴AF＝DF，
在△AFC与△DFB中，
{AF=DF
)
CF=BF ，
AC=BD
∴△AFC≌△DFB，
在△ABE与△DCE中，
{∠BAE=∠CDE=90°
)
∠AEB=∠DEC ，
AB=CD
∴△ABE≌△DCE，
故图中的所有全等三角形有Rt△ABC≌Rt△DCB，△AFC≌△DFB，△ABE≌△DCE．
知识点3 全等三角形的应用
1．全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目
的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
2．作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基
本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三
角形来证明．
3．全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为
三角形中的边角关系是关键．
1．（2024春•鄄城县期末）如图，M是线段AB上的一点，ED是过点M的一条线段，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM．
（1）求证：AE＝BF．
（2）连接AC，若∠AEC＝90°，∠CAE＝∠DBF，CD＝4，求EM的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EAM＝∠FBM，结合对顶角相等即可利用 AAS 证明
△AME≌△BMF，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）结合（1）利用ASA证明△AEC≌△BFD，利用全等三角形的性质即可得解．
【解答】（1）证明：∵BF∥AE，
∴∠EAM＝∠FBM，
在△AME和△BMF中，
¿，
∴△AME≌△BMF（AAS），
∴AE＝BF；
（2）解：∵△AME≌△BMF，
∴AE＝BF，EM＝FM，∠BFM＝∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BFD＝90°，
在△AEC和△BFD中，
¿，
∴△AEC≌△BFD（ASA），
∴EC＝FD，
∴EC﹣CF＝FD﹣CF，
即EF＝CD＝4，
1
∴EM= EF＝2．
2
2．（2024秋•镇江期中）阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常
会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，
使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝
AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE
（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．
【分析】（1）在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B＝∠AED，再证明ED
＝EC即可；
（2）由等腰三角形的性质知AE＝FE，再证明△ADE≌△FCE即可解决本题．
【解答】证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图1：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
在△ABD和△AED中，
{
AE=AB
)
∠BAD=∠DAC ，
AD=AD
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，
∴∠AED＝2∠C，
而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，
∴∠C＝∠EDC，
∴DE＝CE，
∴AB+BD＝AE+CE＝AC；（2）延长AE、BC交于F，
∵AB＝BF，BE平分∠ABF，
∴AE＝EF，
在△ADE和△FCE中，
{
∠DAE=∠F
)
AE=EF ，
∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD．
3．（2024春•皇姑区期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍
长中线法”添加辅助线．
（1）如图①，△ABC中，若AB＝4，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围；
同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝DA，连接BE．
请你根据同学们的方法解答下面的问题：
①根据题意，补全图形；
②由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 SA S （用字母表示）；
③由三角形的三边关系可以求得AD的取值范围是 1 ＜ AD ＜ 5 （直接填空）；
（2）如图②，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，连接BE，CD，若
AM为△ACD的中线，猜想AM与BE的数量关系并说明理由．【分析】（1）①补全图形，如图①所示：
②根据三角形中线定义得CD＝BD，进而可依据“SAS”判定△ADC和△EDB全等，由此可得出答
案；
③根据全等三角形性质得AC＝BE＝6，AE＝2AD，再根据三角形三边之间关系得BE﹣AB＜AE＜
BE+AB，即6﹣4＜2AD＜6+4，由此可得出AD的取值范围；
（2）延长AM到N，使AM＝MN，连接CN，则AN＝2AM，先证明△ADM和△NCM全等得AD＝CN，
∠DAM＝∠N，则AD∥CN，进而得∠DAC+∠ACN＝180°，再由∠BAC+∠DAE＝180°得∠BAE+∠DAC
＝180°，则∠ACN＝∠BAE，由此可依据“SAS”判定△ACN和△BAE全等，则AN＝BE，由此可得AM
与BE的数量关系．
【解答】解：（1）①补全图形，如图①所示：
②∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
在△ADC和△EDB中，
{
CD=BD
)
∠ADC=∠BDC ，
DE=DA
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS．
③∵△ADC≌△EDB，
∴AC＝BE，
∵AB＝4，AC＝6，DE＝DA，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜BE+AB，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，即AD的取值范围是1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5．
（2）猜想：BE＝2AM，理由如下：
延长AM到N，使AM＝MN，连接CN，如图②所示：
则AN＝2AM，
∵AM为△ACD的中线，
∴DM＝CM，
在△ADM和△NCM中，
{
DM=CM
)
∠AMD=∠NMC ，
AM=MN
∴△ADM≌△NCM（SAS），
∴AD＝CN，∠DAM＝∠N，
∴AD∥CN，
∴∠DAC+∠ACN＝180°，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠BAE+∠DAC＝180°，
∴∠ACN＝∠BAE，
∵AD＝AE，AD＝CN，
∴CN＝AE，
在△ACN和△BAE中，
{
AB=AC
)
∠ACN=∠BAE ，
CN=AE
∴△ACN≌△BAE（SAS），
∴AN＝BE，
∵AN＝2AM，∴BE＝2AM．
4．（2024春•秦都区校级月考）如图1，小朋友在荡秋千．如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止
时秋千位于铅垂线BD上（BD⊥DE），转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千的过程中，当秋
千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m（AC⊥BD于点C），当他从A处摆动到A′处
时，测得点A′到BD的距离A′F＝BC（A′F⊥BD于点F），已知秋千的绳长固定不变（即 BA＝
BA′），求FD的长度．
【分析】证明△ACB≌△BFA′（HL），得到BF＝1.5m，即可得到答案．
【解答】解：∵AC⊥BD，A′F⊥BD，
∴∠ACB＝∠BFA′＝90°，
∴△ACB和△BFA′均为直角三角形．
在△ACB和△BFA′中，
∵BA＝BA′，A′F＝BC，
∴Rt△ACB≌Rt△BFA′（HL），
∴BF＝AC＝1.5m，
∵BD＝2.5m，
∴FD＝BD﹣BF＝2.5﹣1.5＝1（m），
即FD的长度是1m．
5．（2024春•漳州期末）如图，李红同学站在江边的B处，在江的对面（李红的正北方向）的A处有一电
线杆，她想知道电线杆离她有多远，于是她向正东方向走了10米到达小树C处，接着再向前走了10米
到达D处，然后她右转90°直行，当李红看到电线杆、树与自己现处的位置E在一条直线时，她总共走
了50米．
（1）根据题意，画出示意图；
（2）根据你所画的示意图，求点A到点B的距离．【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据ASA证明△ABC≌△EDC得出AB＝DE即可得出结果．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）由题意可知，∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝CD＝10米，∠ACB＝∠ECD，
在△ABC与△EDC中，
{∠ABC=∠EDC
)
BC=CD ，
∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE，
∵她总共走了50米，
∴DE＝50﹣10﹣10＝30（米），
∴AB＝30米，
即点A到点B的距离为30米．
知识点4 角的平分线的性质1．作已知角的平分线
用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：
★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
2．角的平分线的性质
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【提示】
（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导
其他结论．
3．证明几何命题的一般步骤
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
4．角的平分线的判定
（1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
（2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，
角的外部的点不会在角的平分线上．
【典例1】（2023秋•新乡期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】过P作PK⊥OB于K，由角平分线的性质推出PK＝PC＝2，而OD＝4，即可求出△POD的面
1
积= OD•PK＝4．
2
【解答】解：过P作PK⊥OB于K，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，
∴PK＝PC＝2，
∵OD＝4，
1 1
∴△POD的面积= OD•PK= ×4×2＝4．
2 2
故选：A．
【典例2】（2024春•榆阳区校级月考）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD．AD过点
P，且与AB垂直，若AD＝12．则点P到BC的距离是（ ）
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A．5 B． C．6 D．
2 2
【分析】点到直线的距离；过P作PE⊥BC交于E，由角平分线的性质得PA＝PE＝PD，即可求解．
【解答】解：过P作PE⊥BC交于E，∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PA＝PE＝PD，
1
∴PE= AD=6；
2
故选：C．
【典例3】（2024春•西安期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O是∠CAB、∠ABC平分线的交点，
且BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm，则点O到边AB的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】过O点作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，如图，先根据角平分线的性
1 1 1 1 1
质得到OD＝OE＝OF，再根据三角形面积公式得到 •AB•OD+ AC•OE+ BC•OF= AC•BC，即 ×
2 2 2 2 2
1 1 1
10×OD+ ×6×OD+ ×8×OD= ×6×8，然后解方程求出OD即可．
2 2 2
【解答】解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，如图，
∵点O是∠CAB、∠ABC平分线的交点，
∴OD＝OE，OD＝OF，
∴OD＝OE＝OF，
∵S△AOB +S△AOC +S△BOC ＝S△ABC ，
1 1 1 1
∴ •AB•OD + AC•OE + BC•OF = AC•BC，
2 2 2 21 1 1 1
即 ×10×OD + ×6×OD + ×8×OD = ×6×8，
2 2 2 2
解得OD＝2，
即点O到边AB的距离为2cm．
故选：B．
【典例4】（2023秋•金山区期末）如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过E作EG⊥BA交BA的延
长线于点G，EF⊥AC交AC于点F．
（1）求证：EG＝EF；
（2）联结AE，求证：∠AEG＝∠AEF．
【分析】（1）过点E作EH⊥BD于点H，利用角平分线的性质即得证；
（2）通过HL证明Rt△AEG≌Rt△AEF即可．
【解答】证明：（1）如图，过点E作EH⊥BD于点H，
∵BE平分∠ABC，EG⊥BA，EH⊥BD，
∴EG＝EH，
∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EH⊥CD，
∴EF＝EH，
∴EG＝EF．
（2）∵EG⊥BA，EF⊥AC，
∴∠AGE＝90°＝∠AFE，再Rt△AEG和Rt△AEF中，
{EG=EF)
，
AE=AE
∴Rt△AEG≌Rt△AEF（HL），
∴∠AEG＝∠AEF．
【典例5】（2024春•秦都区校级月考）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，有∠BAD＝
100°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F，且∠AEF＝50°，连
接DE．求证：DE平分∠ADC．
【分析】过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H，先通过计算得出∠FAE＝∠CAD＝40°，根据角平
分线的性质得EF＝EG，EF＝EH，进而得EG＝EH，据此根据角平分线的性质可得出结论
【解答】证明：如图，过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H，
∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°，
∴∠FAE＝∠CAD＝40°，即AC为∠DAF的平分线．
又EF⊥AB，EG⊥AD，
∴EF＝EG．
∵BE是∠ABC的平分线，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∴点E在∠ADC的平分线上，
∴DE平分∠ADC．
