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专题 1.3 轴对称全章知识典例详解
【人教版】
知识点1 轴对称1．轴对称图形
（1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称
图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，
若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．
【注意】
（1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段．
（2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条．
（3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．
2．轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线
（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做 对称 点 ．
3．轴对称和轴对称图形的区别与联系
名称
关系 轴对称 轴对称图形
意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形
图形个数 两个图形 一个图形
区 对称轴的 可能在两个图形的外部，也可能经过两
一定经过这个图形
别 位置不同 个图形的内部或它们的公共边（点）
对称轴的
只有一条 有一条或多条
数量
（1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形
联系
（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称
4．线段垂直平分线的定义及其性质
（1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
（3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
（4）线段垂直平分线的尺规作图：
已知线段AB，求作AB的垂直平分线
1
分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点.
2
作直线CD.CD就是所求作的直线.如右图.4．轴对称和轴对称图形的性质
（1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线
段的垂直平分线．
（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角
（对折后重合的角）相等．
（4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是
轴对称图形．
5．画图形的对称轴
如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,我们只要找到一对
对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴.
同样,对于轴对称图形,只要找到任意一组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴.
【典例1】（2024春•碑林区校级期末）下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个．
①一条线段；②一个角；③等腰直角三角形；④等边三角形；⑤平行四边形；⑥正方形；⑦圆．
A．4 B．5 C．6 D．7
【典例2】（2023秋•玉山县期末）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一
次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【典例3】（2024春•肥乡区期末）将正方形网格图中的某两个白色方格涂上颜色，使整个图形有四条对称
轴．正确的涂色位置是（ ）A．①② B．①④ C．②③ D．①③
【典例4】（2024春•井冈山市期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点（网格线的交点）
上，要找一个格点 C，连接 AC，BC，使△ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点 C 的个数是
（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【典例5】（2024春•长安区校级月考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
若AB＝4，BC＝9，则△AEF的周长为（ ）
A．4 B．5 C．9 D．13
【典例6】（2024春•通川区期末）如图，在△ABC中，∠A＝32°，∠B＝36°，点D是边AB上一点，点B
关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 ．
【典例7】（2024春•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平
分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为23，△DEC的周长为9，求AB的长；
（2）若∠ABC＝28°，∠C＝46°，求∠CDE度数．【典例8】（2024春•永寿县校级月考）如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，
E．
（1）若BC＝15，DE＝4，则AD+AE＝ ；
（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数；
（3）设直线DM，EN交于点O，判断点O是否在BC的垂直平分线上．
知识点2 画轴对称图形
1．画轴对称图形
几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对
称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
画轴对称图形的方法：
（1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）；
（2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点；
（3）连——依次连接各对称点．
2．用坐标表示轴对称
关于坐标轴对称的点的坐标特点：
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为 （ x ， - y ） ；
（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为 （ - x ， y ） ．
已知两个点的坐标分别为P（x，y），P（x，y），若x=x，y+y=0，则点P，P 关于x轴对称；若
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
x+ x =0，y= y ，则点P，P 关于y轴对称．反之也成立．
1 2 1 2 1 2
在坐标系中画轴对称图形的方法：
（1）计算——计算对称点的坐标；
（2）描点——根据对称点的坐标描点；（3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形．
【典例1】（2024春•南关区校级期末）点A（1﹣a，7）和点B（4，b+2）关于x轴对称，则a+b的值是（
）
A．﹣4 B．10 C．2 D．﹣12
【典例2】（2024春•泊头市月考）已知点P（1﹣2a，a﹣1）关于y轴的对称点在第一象限，则a的值不
可能是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．0
【典例3】（2024春•琼海校级期末）若点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于y轴对称，则a﹣b的值是（
）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．2
【典例4】（2024春•新市区校级期中）若点P关于x轴的对称点为P （2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称
1
点为P （4﹣b，b+2），则P点的坐标为（ ）
2
A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3）
【典例 5】（2024 春•陈仓区期末）如图，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上，请在图
①②③④中分别画出另一个三角形，使它与已知的三角形关于某条直线成轴对称，并画出对称轴．
【典例6】（2024春•宁远县期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A
（1，1），B（4，2），C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A B C ；并写出C 的坐标；
1 1 1 1
（2）在图中，若B （﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时C点
2
关于这条直线的对称点C 的坐标为 ；
2
（3）求△A B C 的面积．
1 1 1【典例7】（2024春•朝阳区校级月考）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点
称为格点，小正方形边长为1，线段AB和CD的端点都在格点上．在给定的网格中按要求画图，仅用无
刻度直尺作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中画DE∥AB，点E在格点上．
（2）在图②中作点C关于AB的对称点C′，点C'在格点上．
（3）在图③中作点D关于AB对称点D'，点D'不在格点上．
知识点3 等腰三角形
1．等腰三角形的定义
有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与
腰的夹角叫做底角.顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形.
2．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都
是45°．
3．等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有
判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性
质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
4．等边三角形概念及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60° ．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
5．等边三角形的判定
定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
6．含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【注意】
（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不
能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角
转化后，再利用这个性质解决问题．
【典例 1】（2024春•景德镇期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 40°，则顶角的度数是
（ ）
A．50° B．40°或130° C．50°或130° D．40°或140°
【典例2】（2024春•锦江区校级期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成 9cm和12cm两部
分，则等腰三角形的腰长为（ ）
A．6cm B．6cm或8cm C．8cm D．5cm或9cm
【典例3】（2024•黄岩区一模）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC是钝角．点D在底边BC
上，连接AD，恰好把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
【典例4】（2024春•栖霞市期末）如图，B、D两点在AE边上，C、F两点在AG边上，且AB＝BC＝CD
＝DF＝EF．若∠A＝20°，则∠EFG＝（ ）
A．100° B．90° C．86° D．80°
【典例5】（2023秋•苍梧县期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 A、B是两格
点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【典例6】（2024春•新郑市月考）如图，∠MON＝30°，点A ，A ，A ，…在射线ON上，点B ，B ，
1 2 3 1 2
B ，…在射线OM上，△A B A ，△A B A ，△A B A ，…均为等边三角形．若OA ＝1，则△A B A 的
3 1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 6 6 7边长为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【典例7】（2023秋•婺城区期末）我们知道等边三角形的每个内角都是60°如图，将三个大小不同的等边
三角形的一个顶点重合放置．若∠1＝10°，∠2＝20°，则∠3的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【典例8】（2024春•威海期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线
上，点D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，则BD的长等于（ ）
3 5
A．3 B． C．2 D．
2 2
【典例9】（2023秋•三台县期末）如图，在等边三角形 ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作
DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
3 5 4
A．1 B． C． D．
2 4 3【典例10】（2024春•河口区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边
上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【典例11】（2023秋•甘州区校级期末）已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD
平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
【典例12】（2023秋•东营区校级期中）如图△ABC是等边三角形．
（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，求证：BD＝CE．
【典例13】（2024春•青岛期中）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足为D，过点D作DF⊥AB，
垂足为F，FD的延长线与AC边的延长线交于点E，∠E＝30°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）BF与AE有怎样的数量关系？请说明理由．
知识点4 最短路径问题
（1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即
为
所求的位置．
点A，点B分别是直线l异侧的两个点,在l上找到一个点C，使CA+CB最小，这时点C是直线l与AB的
交点，如图1所示.
（2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称
点，
连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．
点A ，点B分别是直线l同侧的两个点，在l上找到一个点C,使CA+CB最小.这时先作点A关于直线l的
对称点A'，则点C是直线l与A'B的交点；或者先作点B关于直线l的对称点B'，则点C是直线l与直线
AB'的交点，如图2所示.
【典例1】（2024春•大东区期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区 A，B提供牛奶，要使
A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）
A． B．C． D．
【典例2】（2024春•皇姑区期末）如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到
Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2024春•东阳市期末）如图，直线l 、l 表示一条河的两岸，且l ∥l ，现要在这条河上建一座
1 2 1 2
桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（
）
方案一： 方案二：
①
①
将点A向上平移d得到A'；
连接AB交l 于点M；②过点
1
②连接A'B交l
1
于点M；③
M作MN⊥l ，交l 于点N．
1 2
过点M作MN⊥l
1
，交l
2
于点
MN即桥的位置．
N，MN即桥的位置．
A．唯方案一可行 B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行
【典例4】（2024春•揭西县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，且S△ABC ＝15，AD，BE是
△ABC的两条高线，P是AD上一动点，则PC+PE的最小值是（ ）A．4 B．5 C．6 D．8
【典例5】（2024•石门县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF
分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最
小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
