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专题 1.9 有理数（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】有理数
（1）整数和分数统称有理数.
¿ ¿
有理数 有理数
¿ ¿ ¿ ¿
¿ ¿
（2）有理数的分类： ① ②
【知识点二】数轴 越来越大
-3 -2 -1 0 1 2 3
数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
【知识点三】相反数
（1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数； 互为相反数，0的
相反数0;
（2）注意： a-b+c的相反数是-a+b-c；a+b的相反数是-a-b；
【知识点四】绝对值
(1) 数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用“| |”表示。
|
a |=¿{a
(
a
>
0
)¿
{0
(
a
=
0
)¿¿¿¿ |a|=¿{a(a≥0)¿¿¿¿
(2) 绝对值可表示为： 或 ；
(3) ①非负性：|a|≥0 ②|a|=|-a|
|a| |a|
=1⇔a>0 =−1⇔a<0
③若|a|=b则a=±b ④ a ； a .
【知识点五】有理数的大小比较
比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下：
①先求出两个数负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】正负数的意义
【例1】一个物体沿着东西两个相反的方向运动，如果把向东的方向规定为正方向，那么向东运动5m，
向西运动 各应记作什么？运动了6m，运动了 ，运动了0m各表示什么意义？
【变式1】下列说法错误的是（ ）．
A．0既不是正数，也不是负数
B．零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃
C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示
【变式2】某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温 y℃与向上攀登的高度
x km 的几组对应值如表：
若每向上攀登 1km，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为 2.5km 时，登山队所
在位置的气温约为 ．
【题型2】有理数的分类
【例2】（23-24六年级上·山东威海·期中）请把下列各数填在相应的集合内：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
正数集合：{ …}
整数集合：{ …}
正分数集合：{ …}
非负整数集合：{ …}
【变式1】下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数
和分数统称有理数，其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④【变式2】（23-24七年级上·四川乐山·阶段练习）将下列数分类： ，12， ， ， ，
0， ， ．
正有理数集合{ …}；
非负整数集合{ …}；
负分数集合{ …}．
【题型3】数轴（数形结合的应用）
【例3】（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，数轴上点A表示的数是 ，点B表示的数是4．
（1）在数轴上标出原点O．
（2）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“ ”连接起来．
2.5， ， ，
【变式1】（2024·河北唐山·一模）如图，点 ， 对应的数分别为 ， ，对于结论：① ；②
；③ ．下列说法正确的是（ ）
A．仅①②对 B．仅①③对 C．仅②对 D．①②③都对
【变式2】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）已知有理数 ， 在数轴上对应的点如图所示，那么
下列结论正确的有（填序号） ．
① ；② ；③
【题型4】数轴与相反数
【例4】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）给出下列6个数： ， ，0， ，4， ，在
这些数中：
（1）负整数有 ，互为相反数的两个数是 ；（2）画出数轴，将这些数表示在数轴上，并把这些数用“＜”号连接起来．
【变式1】（22-23七年级上·湖北宜昌·期末）如图， 的相反数在数轴上的位置为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若 与 互为相反数，则 的值为 ．
【题型5】绝对值
【例5】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）有理数 、 在数轴上如图，
（1）在数轴上表示 、 ；
（2）用 、 或 填空： ______ ， ______ ， ______ ， ______
（3）试用 连接 ，0， ，
【变式1】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知 与4互为相反数， 的绝对值是最小的正整数，
已知 ，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5
【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期末）如果 ，那么 的值为 ．
【题型6】数轴上的动点问题
【例6】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）我们知道，在数轴上， 表示数a到原点的距离，这是
绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：
．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示 和 的两点之间的距离是______．
（2） 表示：_________； 表示：__________．（3）根据以上结论，若 ，则 =__________．
【变式1】（22-23七年级上·广西南宁·期中）下列四组有理数大小的比较正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上，点 表示的数是 ，点 表示的数
为 ，点 是数轴上的动点．点 沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点 到点 的距离与点 到
点 的距离比是 时，点 表示的数是 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2020·内蒙古·中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用 表示，且点A到原点的距离
等于3，则a的值为（ ）
A． 或1 B． 或2 C． D．1
【例2】（2019·山东枣庄·中考真题）点 在数轴上的位置如图所示， 为原点， ，
．若点 所表示的数为 ，则点 所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
2、拓展延伸
【例1】解答下列问题
（1）若有理数 、 满足 ，且 ，求 的值．
（2）已知有理数 、 、 的在数轴上的位置如图所示，请化简： ．【例2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知： 、 分别是数轴上两点 、 所表示
的有理数，满足 ．
（1）求 、 两点相距多少个单位长度？
（2）若 点在数轴上， 点到 点的距离是 点到 点距离的 ，求 点表示的数；
（3）点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右
移动个单位长度，如此下去，依次操作次后，求点表示的数．
