文档内容
2023 年高考押题预测卷 02【北京专用】
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第一部分（选择题 共40分）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．设 为实数，已知 ，且 ，则 的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2或3或4
2．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．乘积 展开后的项数是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 （ ）
A．-3 B．3 C． D．
5．已知 ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．定义点P(x ，y )到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为 .已知点P ，P 到
0 0 1 2直线l的有向距离分别是d ，d .以下命题正确的是（ ）
1 2
A．若d ＝d ＝1，则直线P P 与直线l平行
1 2 1 2
B．若d ＝1，d ＝－1，则直线P P 与直线l垂直
1 2 1 2
C．若d ＋d ＝0，则直线P P 与直线l垂直
1 2 1 2
D．若d ·d ≤0，则直线P P 与直线l相交
1 2 1 2
7．已知平面 ， ， ，下列结论中正确的是（ ）
A．“ 内有两条相交直线与 平行”是“ ”的充分不必要条件；
B．“ 内有无数条直线与 平行”是“ ”的必要不充分条件；
C．“ ， ”是“ ”的充要条件；
D．“ ”是“ ， 平行于同一直线”的充要条件.
8．在△ABC中，且 ， ，其中 ， ， ， ，则
（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
9．设曲线 在 处的切线斜率为 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．1
10．如图，点 是曲线 上的任意一点， ， ，射线 交曲线
于 点， 垂直于直线 ，垂足为点 .则下列判断：① 为定值 ；②为定值5.其中正确的说法是
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数 的定义域为___________________．
12．双曲线 的焦距是________
13．函数 的部分图像如图所示．若 （点A为图像
的一个最高点）， ，则 __________， __________．
14．曲线 的一条对称轴是_______； 的取值范围是_______.
15．《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”.书中
“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑（biēnào）.如图所示，三棱锥 中，
平面 ， ，则该三棱锥即为鳖臑.若 且三棱锥外接球的体积为 ，则长度的最大值是______.
三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（13分）已知四棱锥 ， ， ， ，△ 为等
腰直角三角形，面 面 ，且 ， 为 中点.
(1)求证： ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
17．（14分）在 中，三边 ， ， 的对角分别为 ， ， ，已知 ，
.
（1）若 ，求 ；
（2）若 边上的中线长为 ，求 的面积.
18．（13分）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：
初一年级 初二年级 初三年级
女
373 x y
生
男
377 370 z
生已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的频率是0.19.
(1)求x的值；
(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
(3)在（2）中，若所抽取的初一年级、初二年级、初三年级三个年级学生的体重的平均数分别是
， ， ，方差分别是1，2，3，估计该校所有学生体重的平均数和方差.
19．（15分）法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个
有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆
的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆
中，离心率 ，左、右焦点分别是 、 ，上顶点为Q，且 ，
O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足
H，若两切线斜率都存在且斜率之积为 ，求 面积的最大值.
20．（15分）已知函数 ， （其中 为常数， 是自然对数的底数）.
若函数 在点 处的切线为 ，函数 在点 处的切线为 .
（1）若 ，求 和 的方程；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.21．（15分）设 ，记 .
（1）求 ；
（2）记 ，求证： 恒成立.
