文档内容
2023 年高考押题预测卷 03【北京专用】
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第一部分（选择题 共40分）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1． （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．设 ，则“ ”是“ ” 的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的（ ）
A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心
5．在2018年合肥市高中生研究性学习课题展示活动中，甲、乙、丙代表队中只有一个队获得一等
奖，经询问，丙队代表说：“甲代表队没得—等奖”；乙队代表说：“我们队得了一等奖”；甲队
代表说：“丙队代表说的是真话”．事实证明，在这三个代表的说法中，只有一个说的是假话，那
么获得一等奖的代表队是
A．甲代表队 B．乙代表队 C．丙代表队 D．无法判断6．已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线 的准线与圆心为C的圆 交于A，B两点，那么 等
于（ ）
A．2 B． C． D．
8．函数 的零点所在的区间为
A． B． C． D．
9．椭圆 + =1与双曲线 - =1有相同的焦点，则a的值是（ ）
A． B．1或-2 C．1或 D．1
10．已知 的导函数为 且满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． __．
12．在 的展开式中，含 项的系数为__________.
13．在正项等比数列 中，若 ， ，则 ___________； ___________．
14．已知 ， ，当 时， 的最大值为___________， 的最小值为
___________.15．已知 ，均为正数，并且 ，给出下列四个结论：
① 中小于1的数最多只有一个；
② 中小于2的数最多只有两个；
③ 中最大的数不小于2022；
④ 中最小的数不小于 ．
其中所有正确结论的序号为_________．
三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（13分）在① ，② ，③
，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.
已知锐角 中，a､b､c分别为内角A，B､C的对边， ，___________.
（1）求角C；
（2）求 的取值范围.
(注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).
17．（14分）在三棱柱 中，
(1)若 分别是 的中点，求证：平面 平面 .
(2)若点 分别是 上的点，且平面 平面 ，试求 的值．18．（13分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整
数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
办理业务所需的时间
1 2 3 4 5
（分）
频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时.
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2） 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求 的分布列及数学期望.
19．（15分）已知函数 ．
（1）当 时，求 在 处的切线方程；
（2）设函数 ，函数 有且仅有一个零点．
（i）求 的值；
（ii）若 时， 恒成立，求 的取值范围．
20．（15分）神舟飞船是中国自行研制的航天器，从神舟一号到神舟十一号，都按照预定轨道完
成巡天飞行.其中神舟五号的轨道是以地球的中心 为一个焦点的椭圆，选取坐标系如图所示，椭
圆中心在坐标原点，近地点 距地面200千米，远地点 距地面350千米，已知地球半径
千米.
（1）求飞船飞行的椭圆轨道方程；
（2）神舟五号飞船在椭圆轨道运行14圈，历时21小时23分.若椭圆周长的一个近似公式为( 分别为椭圆的长半轴与短半轴的长)，请问：神舟五号飞船平均飞行速度每
秒多少千米？(结果精确到0.01千米/秒， 取3.14)
21．（15分）已知数列 满足： ，且 .记集合
.
(1)若 ，写出集合 的所有元素；
(2)若集合 存在一个元素是3的倍数，证明： 的所有元素都是3的倍数；
(3)求集合 的元素个数的最大值.
