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专题10.三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”
字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型
图1 图2
8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：① ；②
。
8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重庆·八年级假期作业）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确
定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
例2．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ．例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段 相交于点O，连接 ，则我
们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证： ；(2)如图2，若 和 的平分线 和 相交于点P，且与
分别相交于点 ．①若 ，求 的度数；
②若角平分线中角的关系改为“ ”，试探究 与 之间的数量
关系．
例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段 ， 交于点 ，连接 ， ，判断 与 的大小关系，并说明理由；(2)如图2， 平分 ， 为 上任意一点，在 ， 上截取 ，连接 ， ．求证：
；
(3)如图3，在 中， ， 为角平分线 上异于端点的一动点，求证： ．
例5．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，
在图1中， 的内角 与 的内角 互为对顶角，则 与 为对顶三角形，
根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质： ．
（1）【性质理解】
如图2，在“对顶三角形” 与 中， ， ，求证： ；
（2）【性质应用】如图3，在 中，点D、E分别是边 、 上的点， ，若 比
大20°，求 的度数；
（3）【拓展提高】如图4，已知 ， 是 的角平分线，且 和 的平分线 和 相
交于点P，设 ，求 的度数（用 表示 ）．模型2、“A”字模型
结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
例1．（2022秋·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图， 中， ，直线 交 于点D，交 于点
E，则 （ ）．A． B． C．235 D．245
例3．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示， 的两边上各有一点 ，连接 ，求证
．
例4．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在 中， ，现将一块直角三角板放在
上，使三角板的两条直角边分别经过点 ，直角顶点D落在 的内部，则 （ ）．
A． B． C． D．
例5．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1， 为直角三角形， ，若沿图中
虚线剪去 ，则 __________；
（2）如图2，在 中， ，剪去 后成为四边形，则 __________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳 与 的关系是______________；
（4）若没有剪去 ，而是将 折成如图3的形状，试探究 与 的关系，并说明理由．例6．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C；
应用上面模型解决问题：
(1)如图（2），“五角星”形，求 ？
分析： 图中 是“A”型图，于是 ，所以 = ；
(2)如图（3），“七角星”形，求 ；
(3)如图（4），“八角星”形，可以求得 = ；模型3、三角板模型
【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
例1．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①
；② 与 互为补角；③若 ，则 ；④ ．其中一定正确的
序号是（ ）A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④
例2．（2023春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中 ， ，
，若 相交于点E，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
例3.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在 的延长线上，点
C、F分别为直角顶点，且 ， ，若 ，则 的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
例4．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图， ，一副直角三角板 和 如图摆放，
， ，若 ，则下列结论：① ；② ；③ ；
④ 平分 ，正确的有 ．（填序号）
例5．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）实践与探究
材料：一副直角三角尺，记作： 和 ，其中 ， ， ．(1)操作一：如图①，将三角尺按如图方摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的
直线分别为 、 ， 与 相交于点O，则 的大小为 度．
(2)操作二：保持 、 不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在
上，点F在 上，点A与点E重合，点C与点D重合，且 平分 ，求 的度数．
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺 绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒 ，设运动时间为t
秒，当边 与 互相平行时，直接写出t的值．
课后专项训练
1．（2023春·新疆伊犁·七年级统考期末）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在宗上，则图中
的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，其中 ，则下列
结论不正确的是（ ）A． B． C． D．
3．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）如图是两块直角三角板 和 ，其中
， ， ，且点D在边AB上，点F在边CB的延长线上，那么 不
可能等于（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知 为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图）， 与 的交点为C，
且 保持不变．为了舒适，需调整 大小，使 ，则 应调整为（ ）A．30° B．25° C．20° D．10°
6．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图， 的度数为（ ）
A．540° B．500° C．460° D．420°
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角
板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
9．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若 ，则．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，已知 ， 平分 ， 平分 ，求
证：
11．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知 ，
．
12．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，在 中，D、E分别是 上的点，点F在
的延长线上， ， ，求 的度数．13．（2022春·七年级单元测试）探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算
每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补
充完整．
(1)解：∵ ， ．
∴ ．
∵ ________ ，
∴ ________ ，
∴ ________ ．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求 ， ，
， ， 的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点 落在 上，点 落在 上，若 ，则
________ ．
14．（2021秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）（1）如图1，已知 ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图
中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于___________ △A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知 ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______
（3）如图2，根据△（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由．
15．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图 ，将三角板 与三角板 摆放在一起；如图 ，其
中 ， ， ．固定三角板 ，将三角板 绕点 按顺时针方
向旋转，记旋转角 ．
(1)在旋转过程中，当 为 度时， ；当 为 度时， ．
(2)当 时，连接 ，利用图 探究 值的大小变化情况，并说明理由．
16．（2023春·四川成都·七年级统考期末）学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形
进行探究活动，分别得到以下图形．已知 中， ．请根据他们的叙述条件完成题目．
(1)若 为等腰直角三角形，且 ；
①甲同学：如图1， 和 的直角边 在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边
与 相交于点P，那么 度；
②乙同学：如图2， 和 直角顶点C，D互相重合于点P，斜边 与斜边 互相平行，
求 的度数，并写出解答过程；
(2)若 为等腰三角形，已知 ．
丙同学：如图3，若 直角顶点D恰好与 底边 的中点重合， 的斜边 经过
的顶点C，若 ，设 ，请用含x的式子表示 的度数，并写出解答过程．
17．（2023春·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．
他用一副三角板拼成了如下两幅图．
(1)图1中， 的度数是______．
(2)①求图1中 的度数；
②图2中， ，求 的度数．18．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图所示，有一块直角三角板 足够大 ，其中，
把直角三角板放置在锐角 上，三角板 的两边 、 恰好分别经过 、 ．
(1)若 ，则 ______ ， ______ ， ______
(2)若 ，则 ______ ．（写出求解过程）
(3)请你猜想一下 与 所满足的数量关系，并说明理由．
19．（2023春·七年级课时练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．20．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）
(1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明 ；
(2)【简单应用】如图2， 、 分别平分 、 ，若 ， ，求 的度数；
(3)【问题探究】如图3，直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，若 ，
，请猜想 的度数，并说明理由；
(4)【拓展延伸】在图4中，若设 ， ， ， ，试问 与
、 之间的数量关系为：___．（用 、 表示 ，不必说明理由）
