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专题 10 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
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模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹........................................................................................................1
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模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？A A
Q Q
B P C B P N M C
结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，
因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，
比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定：
①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，
若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的
坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不
合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。
例1．（2024·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是
边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最
小值是________________．例2．（2024九年级·山东·培优）如图， 为等边三角形，点 在直线 上运动，连接 ，将线段
绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，若 ，则 的最小值为 ．
例3．（2024·湖南邵阳·一模）如图，已知 ，点 在线段 上， 是底边长为6的等腰三角
形且 ，以 为边在 的右侧作矩形 ，连接 ，点 是 的中点，连接 ，则
线段 的最小值为 ．
例4．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，边长 的等边 中，点 为 上一点，且
，点 为 边上的一个动点，点 绕点 顺时针旋转 得到点 ，则 的最小值为 ．例5．（2024·山东泰安·校考二模）如图，矩形 的边 ，E为 上一点，且 ，F
为 边上的一个动点，连接 ，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
2 3
例6．（2024·江苏苏州·八年级期末）如图，菱形ABCD的边长为 ，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于
点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线
段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为_________．1．（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形 中， ， ， ， 是边 上一
点，且 ， 是边 上的一个动点，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 、 ，
则 的最小值是（ ）.
A．4 B． C． D．
2．（2024·河南开封·统考一模）如图，在正方形 中， ，对角线 上的有一动点E，以 为
边作正方形 ，点H是 上一点， ．连接 ，则 的最小值是________．3．（23-24九年级·重庆北碚·自主招生）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射
线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是 ．
4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）菱形 中， ，E是 中点，连接 ，点F是
上一动点，G为 中点，连接 ．
（1） ；（2）若 ，则 的最小值为 ．
5．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，正方形 边长为4，点E是边 上一点，且 ，
F为边 上一动点，点E绕点F逆时针旋转 至点G，则线段 的最小值为 ．
6．（2024·广东清远·统考一模）如图，矩形 中， ， ，动点 、 分别从点 、 同时
出发，以相同的速度分别沿 、 向终点 、 移动，当点 到达点 时，运动停止，过点 作直线
的垂线 ，垂足为点 ，连接 ，则 长的最小值为________．7．（2024·湖北·八年级期中）如图，菱形ABCD中，AB12，ABC 60，点E在AB边上，且
BE2AE，动点P在BC边上，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转60至线段PF，连接AF ，则线段
AF 长的最小值为__．
8. （2024·绵阳市八年级月考）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三
角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为
.
9．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形 中， ，点 为对角线 上的动点，以
为边作正方形 ，点H是 上一点， ，连接 ，则 的最小值为 ．
10．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形 中， ，点 ， 为直线 上的两个动点，且
，将线段 关于 翻折得线段 ，连接 ．当线段 的长度最小时， 的度
数为 度．11．（2024·河南平顶山·九年级统考期中）如图，在菱形 中， ， ，E，F两点分别从
A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接 ，在移动的过程中， 的最小值为
．
12．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，线段 的长为10，点D在线段 上运动，以 为边长
作等边 ．再以 为边长，在线段 上方作正方形 ，记正方形 的对角线交点为O．
连接 ，则线段 的最小值为 ．
13．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，正方形 的边长为 ， 为 上一点，且 ，
为 边上的一个动点，连接 ，以 为边向右侧作等腰 ，其中 ， ，连接
．当 时， ；当 从 运动至 过程中， 的最小值为 ．
14．（2024·重庆·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边
上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为______．15．（2023上·内蒙古赤峰·九年级统考期中）如图，长方形 中， 为 上一点，且
为 边上的一个动点，连接 ，将 绕着点 顺时针旋转 到 的位置，连接 和 ，
问 是否有最小值？如果有，求出 的最小值．
16．（2024·北京西城·八年级校考期中）（1）如图①，在边长为 的等边 中，点 为 上一点，
，过 作 ，垂足为 ，点 是线段 上一动点，以 为边向右作等边 ．
（ ）过点 作 于 ，证明： ．（ ）当点 从点 运动到点 时，求点 运动的路径
长．
（2）如图 ，在长方形 中， ， ， ．E为 上一点，且 ，
为 边上的一个动点，作顶角 的等腰 ，连接 ，求 的最小值．（提示：等腰
直角三角形的三边长 ， ， 满足 ）
