文档内容
专题10 轴对称中的翻折、旋转问题专训
【题型目录】
题型一 轴对称中的翻折问题专训
题型二 轴对称中的旋转问题专训
【知识梳理】
知识要点一 ： 翻折（对折）的定义
一条直线把一个平面图形分成两个全等的图形,其中的一个图形沿着这条直线翻折到另一个图形上面,
则两部分完全重合,这个过程就叫做对折.
知识要点二： 翻折（对折）的特点
1、翻折问题实际上就是对称变换；
2、翻折是一种对称变换，属于轴对称，对称轴（折㡾所在直线）是对应点的连线的垂直平分线，翻
折前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；
3、教学初，为使学生直观感悟，可以进行一些实际操作，以便于学生形成直观感受，利于问题的解
决。
知识要点三： 翻折（对折）的基本图形及图形特点
1、翻折图形的基本背景图形有：三角形、四边形、梯形等，解决这些问题的基本方法是精确找出翻
折前后相等边与角，以及结合图形的性质把边角的关系联系起来，同时结合方程思想、数形结合等数学思
想进行解题。
2、翻折特点：有翻折----就有重合----就有全等-----对应线段相等、对应角相等，运用勾股定理、
等面积法结合图形特点进行解题。
【经典例题一 轴对称中的翻折问题专训】
【例1】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在等腰 中， ， ，
的平分线与 的垂直平分线交于点O，点C沿 折叠后与点O重合，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，点 ， 分别为长方形纸片 的边 ， 上的点，
将长方形纸片沿 翻折，点 ， 分别落在点 ， 处．若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西赣州·统考三模）如图， 为等边 的 边的中点，点 是 上的一个动点，连接
，将 沿 翻折，得到 ，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图， 中， ， ，射线 从射线 开始绕点
C逆时针旋转 角 ，与射线 相交于点D，将 沿射线 翻折至 处，射线
与射线 相交于点E．若 是等腰三角形，则 的度数为 ．
4．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，三角形纸片 ，点D是 边上一点，连结 ，把沿着 翻折，得到 ， 与 交于点F．若点F是 的中点， ， 的面积
为12，则点B、E之间的距离为 ．
5．（2023春·浙江金华·七年级统考期末）小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行∶第一步，将长方形纸
条 向上翻折，记点C、D的对应点分别为 ，折痕为 ，且 交 于点G（如图1；第二
步，将四边形 沿 向下翻折，记 的对应点分别为 （如图2）；第三步，将长方形
向下翻折，记A、B的对应点分别为 ，折痕为 （如图3）．
（1）若 ，则 度．
（2）若 ，则当 时， 度．
6．（2023春·山东济南·七年级统考期末）在 中， ，点D是 上一点，将 沿
翻折后得到 ，边 交射线 于点F．（友情提示：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角
相等）(1)如图1，当 时，求证： ；
(2)如图2，若 ， ，是否存在这样的x的值，使得 是以 为腰的等
腰三角形．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
【经典例题二 轴对称中的旋转问题专训】
【例2】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在 中， ， ，直角 的顶点
是 的中点，将 绕顶点 旋转，两边 ， 分别交 ， 于点 ， ．下列四个结论：①
；② 是等腰直角三角形；③ ；④ ．在 旋转过程中，上述
四个结论始终正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【变式训练】
1．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在 中， ，以点B为旋转中心把 按顺时针方向旋转 得到 ，点 恰好落在 上，连接 ，则 度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在 中， ，点D为 中点，
， 绕点D旋转， ， 分别与边 、 交于E、F两点．下列结论：①
，② ，③S CEDF ，④ 始终为等腰直角三角形．其中正确的
四边形
结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2021秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）如图，在 中， ，点 在
内，将 以点 为旋转中心进行旋转，使点B与点C重合，点M 落在点N处，若 ,且 B、
M、N三点恰共线，则 = ．
4．（2020秋·重庆璧山·九年级校联考期中）如图，在 ABC中，AC＝BC＝4， ，直线
AD⊥BC，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段E△C绕点C按逆时针方向旋转 得到FC，连接DF，则点E运动过程中，DF的最小值是 ．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读材料：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．如图①，
等腰 和等腰 中， ，将 绕点A旋转，连接 ，利用上面结论
或所学解决下列问题：
(1)若 ，求证： ；
(2)连接 ，当点D在线段 上时．
①如图②，若 ，则 的度数为 ；线段 与 之间的数量关系是 ；
②如图③，若 ， 为 中 边上的高，判断 的度数及线段
之间的数量关系说明理由．
6．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）【提出问题】在一次数学探究活动中，李老师给出了一道题．如
图①，点 是等边 内的一点，连接 、 、 ．当 ， ， 时，求 的度数．
【解决问题】小明在解决此题时，将点 绕点 逆时针方向旋转 得到点 ，连接 、 、 ，并
结合已知条件证得 ．
请利用小明的作法及结论求 的度数．【方法应用】如图②，点 是正方形 内一点，连接 、 、 ．若 ， ，
，则 ______________°．
【重难点训练】
轴对称中的15道翻折问题专训
1．（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图是一张三角形纸片ABC， ，点M是边 的中
点，点E在边AC上，将 沿BE折叠，使点C落在边AC上的点D处，若 ，则
（ ）
A．18° B．54° C．60° D．72°
2．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，在三角形纸片 中， ，将
沿 折叠，使点A与点B重合，则折痕 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．43．（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，将一个等腰直角三角形 按如图方式折叠，若
， ，下列四个结论：
① 平分 ；
② 长为 ；
③ 是等腰三角形；
④ 的周长等于 的长，
其中，正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
4．（2023春·七年级单元测试）如图，已知长方形纸片 ，点 ， 在 边上，点 ， 在 边
上，分别沿 ， 折叠，使点 和点 都落在点 处，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）将一张正方形纸片 按如图所示的方式折叠， 、 为折痕，
点 折叠后的对应点分别为 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．48° B．46° C．44° D．42°
6．（2023春·福建福州·七年级统考期末）如图，将四边形纸片 沿 折叠，点A、D分别落在点 、处．若 ， ，则 与 之间的数量关系可用等式表示为___________．
7．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在 和 中， ， ， 相交于
点E， ．将 沿 折叠，点 落在点 处，若 ，则 的大小为________．
8．（2023春·江苏·七年级统考期末）在 中， ， ，点D是 边上一点，过点D将
折叠，使点C落在 下方的点 处，折痕 与 交于点E，当 与 的一边平行时，
的度数为___________．
9．（2022春·四川成都·七年级统考期末）如图是一张直角三角形纸片 ，其中 ．请按下列
步骤操作：①沿 的垂直平分线/折叠，折痕与 交于点D：②沿过点C的直线l，折叠，使点A落到
上的点E处，若 ，则 的度数为__________．10．（2022春·江西抚州·七年级统考期末）已知 ，点P是射线BC上一动点，把 沿AP折
叠，B点的对应点为点D，当 是等腰三角形时， 的度数为______．
11．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）综合与探究
一张直角三角形纸片 ， ，其中 ，D，E分别是 边上一点．将
沿 折叠，点C的对应点为点 ．
(1)如图1，若 ，则 ______°， ______°．
(2)如图2，若点 落在直角三角形纸片 上，请探究 与 的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，若点 落在直角三角形纸片 外，（2）中 与 的数量关系还成立吗?若成立，请说明理
由；若不成立，请求出 与 的数量关系．
12．（2023·浙江·八年级假期作业）已知，如图1，四边形 ， ，点E在 边上，P
为边 上一动点，过点P作 ，交直线 于点Q．
(1)当 时，求 ；
(2)当 时，求 ；(3)如图3，将 沿 翻折使点D的对应点 落在 边上，当 时，请直接写出 的
度数，答： ．
13．（2022秋·福建福州·八年级校考阶段练习）在三角形 中， ．
(1)将 沿着 翻折得到 ，求证： 平分 ；
(2)过 作 于点 ，在 的延长线上取一点 ，使得 ，连接 、 ，过点 作
，分别与 ， 交于点 ， ，点 在边 上，连接 并延长，交 于点 ，过 作
于 ， ，且 ．
①求证： 是等腰三角形；
②若 ，探究 与 的数量关系．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，AD是 的角平分线， ，试探究线段AB，
BD，AC之间的数量关系．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以可以尝试将角平分线一侧的三角
形翻折（构造全等三角形），小明的解题思路如下：
①如图2，在AC上取一点E，使 ，连接DE．②由 ，AD平分 ，AD是公共边，可得 （理由：____________），则
， ．
③由 ，则 ．
又因为 ，所以 ，则 __________
又由 ，得 ．
④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为__________________．
(1)请你补全小明的解题思路．
(2)参考小明的方法，解决下面的问题：
如图3， 中， ， ，BD平分 ，求证： ．
15．（2021秋·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）如图， 中， ， ，过点 作
，且 ，连接 ．
(1)如图1，若 ，则 的面积为 ；（请用含 的式子表示 的面积；提示：过点
作 边上的高 ）
(2)如图2，若 ，（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；(3)如图3，将 沿 翻折，得到 ， ，连接 ．试直接用含 的式子表示 的面
积．（不写探究过程）
轴对称中的15道旋转问题专训
1．（2023·广东深圳·校考三模）古代大型武器投石机，是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的
装置．图是图投石机的侧面示意图． 为炮架的炮梢两顶点，已知A、B两点到炮轴O的距离分别为1米
和8米，当炮索自然垂落垂直于地面时，落在地面上的绳索还有5米．如图，拉动炮索，炮梢绕炮轴O旋
转，点A的对应点为 ，点B的对应点为 ．当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时，若 垂直
地面， ，此时， 到水平地面的距离是（ ）米
A．12 B． C． D．21
2．（2022春·上海普陀·七年级校考期末）如图，在 中， ， ， ，点
是 的中点，两边 ， 分别交 ， 于点 ， ，当 在 内绕顶点 旋转时（点
不与 、 重合），以下四个结论：① ；② 是等腰直角三角形；③ ；④
．其中一定正确的结论有（ ）．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个3．（2022春·湖南张家界·七年级统考期末）如图，将 绕点A按逆时针方向旋转100°得到 （点
的对应点是点 ，点 的对应点是点 ），连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
4．（2021秋·山东日照·八年级日照港中学校考期末）如图，已知 与 都是以A为直角顶点的等
腰直角三角形， 绕顶点A旋转，连接 ．以下三个结论：① ；②
；③ ；其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
5．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转
n°（0＜n＜∠BAC）得到△ADE，AD交BC于点F，DE交BC、AC于点G、H，则以下结论：
①△ABF≌△AEH；
②连接AG、FH，则AG⊥FH；
③当AD⊥BC时，DF的长度最大；
④当点H是DE的中点时，四边形AFGH的面积等于AF×GH．
其中正确的个数有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2022秋·黑龙江大庆·七年级大庆市第三十六中学校考期末）如图，已知 中， ，
，直角 的顶点是 的中点，两边 分别交 于点E、F，给出以下四个结
论：
① ；② 是等腰直角三角形；③ ；④ ，当 在 内
绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有_______（填序号）．
7．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角尺 固
定不动，将含30°的三角尺 绕顶点A顺时针旋转.如图②，当 时，此时 .继续旋转
三角尺 ，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则 （ ）其他所有可能符合条
件的度数为_______8．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图是一款折叠式台灯，其侧面示意图为折线A−B−C−D，
∠C=60°，连接BD，∠CBD=80°，线段AB绕点B旋转，AB的延长线与射线CD相交与点E，当∠ABC为
______度时， BDE是等腰三角形．
△
9．（2021秋·福建南平·八年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，把一个
三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．梦想飞扬学习小组将三角
尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，给出下
列结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的
面积为定值．其中正确的是：_______________．（填序号）
10．（2021秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）如图，在 中， ，点 在
内，将 以点 为旋转中心进行旋转，使点B与点C重合，点M 落在点N处，若 ,且 B、
M、N三点恰共线，则 =_______．
11．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）已知：如图1，点C为线段 上一点，
都是等边三角形， 交 于点E， 交 于点F．(1)求证： ；
(2)求证： 为等边三角形；
(3)将 绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第
（1）小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．
12．（2023秋·山东临沂·九年级统考期末）如图， 中， ，以 为边向外作等边
，把 绕着 点按顺时针方向旋转 后得到 ．
（1）求 的度数；
（2）若 ， ，求 的长．
13．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）已知 ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动
点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连△接DE．（1）如图1，猜想 ADE是什么三角形？ ；（直接写出结果）
（2）如图2，猜想△线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在点D运动过程中， DEC的周长是否存在最小值？若存在，请求出 DEC周长的最小值；若不存
在，请说明理由． △ △
14．（2023秋·福建福州·九年级统考期末）如图， 和 都是等边三角形，将 绕点 旋转
（保持点 在 内部），连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）当 ， ， 时，求 的长；
（3）设射线 与射线 相交于点 ，连接 ，直接写出旋转过程中 、 、 之间的数量关系．
15（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期末）已知 是边长为4的等边三角形，点D是射线 上的
动点，将 绕点A逆时针方向旋转 得到 ，连接 ．(1)如图1，猜想 是什么三角形？___________；（直接写出结果）
(2)如图2，猜想线段 、 、 之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)①当 ___________时， ；（直接写出结果）
②点D在运动过程中， 的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出 周长的最小值；若不存
在，请说明理由．
