文档内容
专题 11.3 三角形的内角和定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 证明三角形内角和】..................................................................................................................................1
【题型2 由三角形内角和直接求角度】..................................................................................................................3
【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】.........................................................................................................4
【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】.....................................................................................................4
【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】.........................................................................................................5
【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】.................................................................................................7
【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】.....................................................................................................8
【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】.........................................................................................9
【题型9 由直角三角形的性质求角度】................................................................................................................11
【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】.......................................................................................................12
知识点1：三角形的内角和定理
（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 ．
（2）因为三角形三个内角的和等于 ，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直
角．
【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．
（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【题型1 证明三角形内角和】
【例1】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的
同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是180°”的有（ ）
①如图1，过点C作EF∥AB；
②如图2，过AB上一点D分别作DE∥BC，DF∥AC；
③如图3，延长AC到点F，过点C作CE∥AB；
④如图4，过点C作CD⊥AB于点D．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【变式1-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就
能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．
【变式1-2】（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写
正确的是（ ）
已知：△ABC．求证：
∠A+∠B+∠ACB=180°．
证明：如图，过点C作DE∥AB．
∵DE∥AB（已知），
∴∠B=∠★，∠A=∠■（①）．
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（②），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代
换）．
A．★处填2 B．■处填1
C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义
【变式1-3】（23-24·重庆忠县·八年级统考期末）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定
理，下面给出了该定理的一种证明方法．
已知：如图， ．求证：∠A+∠B+∠C=180°．
BC CD △ABC CA
证明：作 的延长线 ，在 外部，以 为一边，作
∠ACE=∠A．
CE∥AB
所以， （内错角相等，两直线平行）．
所以，∠B=∠ECD（ ）．
因为，∠ACB，∠ACE，∠ECD组成一个平角，
所以，∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定义），
所以，∠ACB+∠A+∠B=180°（ ）．
(1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整；
(2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法．
【题型2 由三角形内角和直接求角度】
【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样
的三角形为“倍角三角形”．若△ABC为倍角三角形，∠A=100°，则∠B= ．
【变式2-1】（23-24八年级·新疆巴音郭楞·期末）如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，
若AB∥CD，∠1=130°，∠3=35°，则∠2的度数为 ．
【变式2-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）将△ABC沿BC方向平移得到△≝¿．若∠1=64°，∠2=52°
，则∠A的度数是（ ）A．54° B．64° C．74° D．52°
【变式2-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，∠2与∠3
互余，且∠1=∠4，试猜想AB与BC的位置关系，并说明理由．
【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】
【例3】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图，当x=3 y时，该三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【变式3-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）△ABC中，若∠A−∠C=∠B，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角二角形 D．无法确定
【变式3-2】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形
的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【变式3-3】（23-24八年级·重庆秀山·期中）△ABC中，∠A:∠B:∠C=4:5:9，请判断三角形的形状
并证明．
【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】
【例4】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF ，AD∥CE，
连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）A．40° B．45° C．50° D．60°
【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，AB//CD，AC与BD相交于点O，若∠A＝25°，∠D＝
45°，则∠AOB的大小为（ ）
A．90° B．110° C．120° D．135°
【变式4-2】（23-24八年级·陕西渭南·期中）如图，在三角形ABC中，点D，H，E分别是边AB，BC，
CA上的点，连接DE，DH，F为DH上一点，连接EF，若∠1+∠2=180°，∠3=∠B=65°，
∠C=52°．则∠FEC的度数为 °．
【变式4-3】（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，直线EF∥MN，点A，B分别是EF，MN上的动点，
点G在MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分线交于点D，若∠D=52°，则m的值为
．
【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】
【例5】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，M、N是△ABC边AB、AC上的点，△AMN沿MN翻折后得到△DMN，△BMD沿BD翻折后得到△BED，且点E在BC边上，△CND沿CD翻折后得到△CFD，
且点F在边BC上，若∠A=70°，则∠1+∠2=（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
【变式5-1】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，将直角三角形纸片ABC沿CD（D是斜边AB上一
点）折叠，使点B落在点B′处，若∠ACB′=α°，则∠ACD的度数是 °．（用含α的代数式表示）
【变式5-2】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D
，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠1+∠2=130°，则∠A=
.
【变式5-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=70°，D是线段
AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点E处，当DE平行于△ABC的
边时，∠CDB的度数为 ．【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】
【例6】（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，CE平分∠ACB，
CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF的度数= ．
【变式6-1】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，CD、BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点O，
∠BOC=n，∠A= （用含n的代数式表示）.
【变式6-2】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是
∠BAC、∠ABC的平分线， ∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ABF=（ ）．
A．35° B．40° C．45° D．50°【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数
的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，∠A=80°,∠B=60°，可知
∠A=2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．
(1)在△≝¿中，∠E=40°,∠F=35°，则△≝¿为 倍角三角形．
(2)如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM=30°；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在
△ABC中，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的度数．
(3)如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角
平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F．若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度
数．
【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】
【例7】（23-24八年级·江西南昌·期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，∠C=45°，
∠D=30°，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼
光观察生活，就会有许多意想不到的收获，将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE//BC，
则∠AFD的度数是 ．
【变式7-2】（23-24八年级·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使AB∥CD，则
∠DEB的度数是（ ）
A．15∘ B．20∘ C．65∘ D．95∘
【变式7-3】（23-24八年级·湖北随州·期末）将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个
锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平
分∠AOB
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】
【例8】（23-24八年级·全国·单元测试）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我
们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C=∠B+D；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有__________个，以点O为交点的“8字型”有__________个；
②若∠B=100°,∠C=120°，求∠P的度数；
1 1
③若角平分线中角的关系改为∠CAP= ∠CAB,∠CDP= ∠CDB，试探究∠P与∠B、∠C之间存
3 3
在的数量关系，并证明理由．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，△ABC中，∠B=50°，点D、E分别在边AB、AC
上，∠CED=105°，则下面关于∠C与∠ADE的关系中一定正确的是（ ）
A．∠C+∠ADE=95° B．∠C−∠ADE=25°
C．∠C−∠ADE=35° D．∠C=2∠ADE
【变式8-2】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平
分线，若∠B=30°，∠C=50°
(1)求∠DAE的度数．
(2)求∠DAE与∠B，∠C的关系，并说明理由．【变式8-3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）如图1，过直线AB外一点C作MN∥AB，连接AC,BC，
∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD与MN交于点D，点E是线段AD上一动点（不与A,D重合），连接
EC．
(1)若∠ACM=50°，则∠BAD=_____________°，∠ABC=________________°；
(2)若∠ECA=2∠EAB，求证：∠ECB=∠ABC；
(3)如图2，∠CED的平分线EF与MN交于点F，连接EB，若∠EAB=22°，
，试求 之间的等量关系．
∠ECM=α,∠EBC=β,∠BEF=γ(0°<γ<180°) α,β,γ
知识点2：直角三角形的性质与判定
（1）直角三角形的两个锐角互余．
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．
【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
【题型9 由直角三角形的性质求角度】
【例9】（23-24八年级·河南郑州·期中）在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大
小为 ．
【变式9-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，
若∠EAB=25°，则∠DFC= ．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠ECH= ．
【变式9-3】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，有一副三角板ABC与DEF，其中∠C＝∠F＝90°，∠A
＝60°，∠D＝45°，在一平面内将这副三角板进行拼摆，使得点B、E重合，且点B、C、F三点在同一直线
上，则∠ABD的度数是 °．
【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】
【例10】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AB边上一点，
CE交AD于点M，且∠DCM=∠MAE．求证：△AEM是直角三角形．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·期中）证明：有两个角互余的三角形是直角三角形．
已知：如图， ，
求证： ．
证明：【变式10-2】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）在下列条件中：①∠C=∠A+∠B，②
∠A:∠B:∠C=3:2:1，③∠A=90°−∠B，④∠A=∠B−∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条
件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式10-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC
和BD交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
