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专题 11.9 三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形的有关概念和性质
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，
则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值
范围．
2.三角形按“边”分类：
不等边三角形
三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称
三角形的高．
三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角
形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等
的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角
平分线.
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
【知识点二】三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
【知识点三】三角形的内角和与外角和
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余；2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【知识点四】多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．
3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
(1)从n边形一个顶点可以引（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形；
(2)n边形共有 条对角线．
【知识点五】多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用三角形三边关系求边或证明
【例1】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知 的三边长是 ．
（1）若 ，且三角形的周长是小于22的偶数，求 的值；
（2）化简 ．
【变式1】（23-24九年级下·湖南长沙·开学考试）在周长为25的三角形中，最短边是x，另一边是
，则x的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为
．
【题型2】利用三角形三条重要线段进行求值或证明
【例2】（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图： 中，点D在 上，且 ，E
是 的中点， 交 于点F.
（1）写出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线？（2）若 ，且 的面积为3，求出 的面积.
【变式1】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图， 为 的中线， 为 的中线．若
的面积为12， ，则 中 边上的高为（ ）
A．1 B．4 C．3 D．2
【变式2】如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则
∠DAE= .
【题型3】利用三角形内角和定理进行求值或证明
【例3】（2024七年级下·全国·专题练习）如图， 中， 是 上一点，过 作 交 于
点， 是 上一点，连接 ．若 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， 平分 ，求 的度数．
【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，将长方形纸片 沿对角线 折叠，点C
的对应点为点E， 交 于点O．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【变式2】（2024七年级下·江苏·专题练习）将一副三角尺按如图所示放置，直角顶点重合于点 ，
， ，斜边 ，垂足为 ，则 ．
【题型4】利用三角形外角性质进行求值或证明
【例4】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知 是 的角平分线， 是 的外
角 的平分线，延长 ， 分别交 于点F，P．
（1）求证： ；
（2）小轩同学探究后提出等式： ，请通过推理论证判断“小轩发现”是否正确；
（3）若 ，求 的度数．
【变式1】（2024·河南·三模）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意
图，已知直线EF与BD相交于点P， ， ， ，则 的大小为（ ）A． B． C． D．85°
【变式2】（2024·河北邯郸·三模）如图，从A观察公路 的走向是北偏东 ，在A的北偏东 方
向上有一点C，在点B处测得点C在北偏东 的方向上．
（1）点B位于点C的 方向上；
（2） °．
【题型5】利用直角三角形两锐角关系进行求值
【例5】如图， 中， ．
（1）试说明 是 的高；
（2）如果 ，求 的长．
【变式1】（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）在下列条件中不能判定 为直角三角形的是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）在直角三角形 中， 比 的3倍还多 ，则
的大小为 ．【题型6】利用多边形内角和与外角和求边数或度数
【例6】（23-24八年级下·河南平顶山·期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多
．
（1）求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．
（2）求这个多边形的对角线的条数．
【变式1】（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图， 平分 交 于点E，
， ，M，N分别是 延长线上的点， 和 的平分线交于点F．则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）若一个多边形的内角和是它的外角和的 倍，则这
个多边形的边数为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川德阳·中考真题）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中 ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．【例2】（2024·四川达州·中考真题）如图，在 中， ， 分别是内角 、外角 的
三等分线，且 ， ，在 中， ， 分别是内角 ，外角
的三等分线．且 ， ，…，以此规律作下去．若 ．则
度．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图， ，N为 上一点，直线 交 于M，交
于F，且 ，若点P为射线 上一点， 平分 ， 平分 交 于H，
交 于T，则 的度数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【例2】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图1，在 中， ， 的角平分线交于点
O，则 ．
如图2，在 中， ， 的两条三等分角线分别对应交于 ， ，则
，则 ．根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有 个点）（用n的代数式表示）
．
