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专题11.9 与三角形有关的角（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】三角形的内角
1.三角形的内角和定理 三角形的内角和为180°
应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
2.直角三角形 如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个
角互余的三角形是直角三角形.
特别指出：如果直角三角形中有一个锐角为 45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是
45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.
【知识点2】三角形的外角
3.定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外
角.
特别指出：
外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；
③另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取
一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
4．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
特别指出：
三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．
另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
5.三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°（可以理解成一个圆周为360度）.要点说明：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是 180°，可推出三
角形的三个外角和是360°．
【考点一】三角形内角和➼➻三角形内角和定理的证明
【例1】学习了证明的必要性，张明尝试证明三角形内角和定理，下面是他的部分证明过程．
已知：如图， ，求证： ．
证明：过点A作直线 …
【答案】见分析
【分析】过点A作直线 ，根据平行线的性质可证得 ， ，再根据平角
的性质，即可证得．
解：证明：如图：过点A作直线 ，
， ，
，
．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理的证明方法，熟练掌握和运用三角形内角和定理的证明方法是
解决本题的关键．
【举一反三】
【变式1】某班学生对三角形内角和为 展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明
的内角和为 的是（ ）A． 过点A作
B． 延长BC到点D，过点C作
C． 过点A作 于点D
D． 过BC上一点D作 ，
【答案】C
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决
此题．
解：A、由 ，则 ， ．由 ，得
，故符合题意．
B、由 ，则 ， ．由 ，得
，故符合题意．
C、由 于 ，则 ，无法证得三角形内角和是 ，故不符合题意．
D、由 ，得 ， ，则 ．由 ，得
， ，由 ，得 ，故符合题意，
故选：C．
【点拨】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本
题的关键．【变式2】如图，铅笔放置在 ABC的边AB上，笔尖方向为点A到点B的方向，把铅笔依次绕点A、
点C、点B按逆时针方向旋转∠A、△∠C、∠B的度数后，笔尖方向变为点B到点A的方向，这种变化说明
____________．
【答案】三角形的内角和为
【分析】根据旋转后的笔尖方向得出旋转角度之和为 ，即这种变化说明三角形的内角和为 ．
解：∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，
∴旋转角度之和为∠A+∠C+∠B．
∵笔尖方向变为点B到点A的方向，
∴旋转角度之和为 ，即 ，
∴这种变化说明三角形的内角和为 ．
故答案为：三角形的内角和为 ．
【点拨】本题考查三角形内角和定理的证明，理解旋转角度之和与三角形内角和的关系是解题关键．
【考点二】三角形内角和➼➻三角形内角和与平行线结合
【例2】如图， ，点 在 上．求证： ．
【答案】证明见分析
【分析】由题意依据三角形内角和定理和平行线的性质以及等式的性质和角的等量代换进行分析求证
即可．
解：在 中，
∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】将一副直角三角板如图放置，已知 ， ， ，则 为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．105°
【答案】D
【分析】由直角三角形的性质得出 ， ，由平行线的性质得出 ，
再由三角形内角和定理即可求出∠CGD的度数．
解：∵ ， ，
∴ ，
同理可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理
是解决问题的关键．
【变式2】如图，在 中， ，点 在 上， ，若 ，则 的度
数为___________．
【答案】 /70度
【分析】利用平角的定义可得 ，再根据平行线的性质知 ，再由内角和定理可得答案．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，内错
角相等．
【考点三】三角形内角和➼➻三角形内角和与角平分线综合
【例3】如图， 是 的角平分线， ，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见分析；(2)97°
【分析】（1）角平分线得到 ，平行，得到 ，即可得到 ；
（2）三角形内角和求出 的度数，角平分线得到 的度数，再利用三角形的内角和进行求
解即可．
解：（1）证明： 是 的角平分线，
，
．
．
．
（2）
是 的角平分线，．
【点拨】本题考查含角平分线的三角形的内角和．熟练掌握角平分线平分角，三角形的内角和为 ，
是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】 中， ， 和 的平分线交于点 ，得 ； 和 的
平分线交于点 ，得 ；…… 和 的平分线交于点 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的性质和三角形外角与内角的关系，先用 表示出 、 并找出规律，再
利用规律得到结论．
解：∵ 和 的平分线交于点 ，
∴ ．
∵ ，
∴
．∵ ，
∴
．
同理可得： ，
．．．
∴ ．
故选C．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的外角与内角的关系及角平分线的性质是解决
本题的关键．
【变式2】如图，在 中， ， 的平分线和 的平分线相交于点 ，则
______．
【答案】 / 度
【分析】可求 ，从而可求 ，接可求解．
解： ，
，
的平分线和 的平分线相交于点 ，
， ，
，，
．
故答案： ．
【点拨】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理，理解定义，掌握定理是解题的关键．
【考点四】三角形内角和➼➻利用三角形内角和解决折叠问题
【例4】已知在 中， ，D是 上一点
(1)如图1， ，求证： ；
(2)将 沿 所在直线翻折，点A落在 边所在直线上，记为点 ．
①如图2，若 ，求 的度数；
②若 ，则 的度数为 （用含α的代数式表示）．
【答案】(1)见分析；(2)① ；② 或
【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得出答案；
（2）①由 ，得 ，再结合（1），得 ，再由折叠的性质即可得到
答案；②由 ，得 ，再结合（1），得 的度数，再由折叠的性质即可得到答
案；
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①∵ ，
∴ ，∴ ，
由题意得： ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
当 时， 在线段 上，
；
当4 0时， 在 的延长线上，
，
∴当 时， ，
当 时， ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查直角三角形的性质和折叠的性质，解题的关键是熟悉直角三角形的性质．
【举一反三】
【变式1】如图，在 中， ，把 沿 边上的高 所在的直线翻折，点 落在
边 的延长线上的点 处，如果 ，则 的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出图形如图所示，由折叠可得 ，再由三角形内角和定理可得
，从而根据 求出答案．
解：把 沿 边上的高 所在的直线翻折后如图所示，由折叠可知 ，
则由三角形内角定理可得 ，
又 ，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了图形折叠的性质，三角形内角和定理，关键是根据题意画出图形三角形内角和定
理推出 ．
【变式2】如图，在 中， 是 边上的高，点E，F分别是 ， 边上的点，连接 ，
将 沿着 翻折，使点A与 边上的点G重合，若 ， ，则
的度数为___________．
【答案】 /49度
【分析】利用三角形内角和求出 ，结合已知得到 ，可求得
，再根据折叠的性质，可得 ， ，进一步求出 ，再利
用三角形内角和求出结果．
解：∵ 是 边上的高， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可得： ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形内角和，折叠的性质，三角形的高，图中线段较多，解题的关键是理清角
之间的关系，根据折叠得到相等的角．
【考点五】三角形内角和➼➻利用三角形内角和解决实际问题
【例5】在三角形三个内角中，如果满足其中一个内角 是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形
为“特征三角形”，其中内角 称为“主特征角”，内角 称为“次特征角”．
(1)已知在 中， ， ，判断 是否为“特征三角形”，并说明理由．
(2)在 中， ，若 是“特征三角形”，且 是“次特征角”，求 的度数．
【答案】(1) 是“特征三角形”，理由见分析；(2)当 是“主特征角”时， ；当
是“主特征角”时，
【分析】(1)根据“特征三角形”定义即可解决问题;
(2)根据“特征三角形”定义，分情况讨论特征三角形的情况，当 是“主特征角”时和当 是
“主特征角”时，代入数据便可求出答案.
（1）解：（1） 是“特征三角形”
理由如下：
因为 ， ，所以 ．
所以 ，
所以 是“特征三角形”.
（2）解：因为 是“特征三角形”，且 是“次特征角”，
①当 是“主特征角”时， ，所以， ；
②当 是“主特征角”时， ，
设 ，则 ，因为 ， ，
所以 ，解得： ，
所以 .
【点拨】本题考查特征三角形，解决本题的关键是理解“特征三角形”定义，题目较为新颖，要灵活
运用所学.
【举一反三】
【变式1】如图， ，点 在 边上，已知 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取 的交点为点 ，过点 作平行于 的线 ，利用两直线平行的性质，找到角之
间的关系，通过等量代换即可求解．
解：取 的交点为点 ，过点 作平行于 的线 ，如下图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
根据题意： ，
，
，
，
相交于点 ，
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等、三角形内角和定理，解题的关键是：
添加辅助线，利用两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解．
【变式2】已知 中， ，如果按角分类，那么 是______三角形．
【答案】锐角【分析】根据题意设 ，则 ，根据三角形内角和定理求得 ,进而求得
的度数，进而判断三角形的形状．
解： ，
设 ，则 ，
解得
是锐角三角形．
故答案为：锐角．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
【考点六】三角形外角➼➻直角三角形两锐角互余
【例6】如图，在 中， ， 于D， 平分 交 于E，交 于
F，试说明： ．
【答案】证明见分析
【分析】利用 平分 知 ，又 ， 得 ，再利用对顶
角相等得 ．
解：证明：∵ ， ，
∴ ， ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
【点拨】此题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，证明 是解本
题的关键．【举一反三】
【变式1】已知 ，点 在直线 上，点 在直线 上， 于点 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三
角形两锐角互余是解题关键．
【变式2】如图，在 中， 、 分别是 、 边上的高， 、 交于点O，如果
，那么 ______°．
【答案】50
【分析】根据 ， ，求出 ，根据 ，求出
．
解：∵ 为 边上的高，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 为 边上的高，
∴ ，
∴ ．
故答案为：50．
【点拨】本题主要考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，解题的关键在于根据高线定义推出
和 ．
【考点七】三角形外角➼➻三角形外角和定义及性质
【例7】如图1，直线 ，直线 与直线 分别相交于点E，F，在射线 上取点
G，连结 ，作 的平分线 ，过点E作 ．
(1)如图1，若 ， ，判断直线 与直线 是否平行，并说明理由；
(2)如图2，是否存在点G，使得 平分 ？若存在，请写出 与 之间的数量关系；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)平行，理由见分析；(2) ，理由见分析
【分析】（1）首先根据直角三角形的性质得到 ，然后利用角平分线的概念
得到 ，进而结合 即可证明；
（2）根据直角三角形的性质和角平分线的概念以及三角形外角的性质求解即可．
解：（1）∵ ，
∴
∵ 平分
∴
∴
∴ ；
（2）∵ 平分
∴∵
∴
∴
∵ 平分
∴
∴
∴
∵
∴
∴ ．
【点拨】此题考查了平行线的性质和判定，直角三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性
质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【举一反三】
【变式1】如图， 和 相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的外角性质、对顶角相等即可得．
解：A、无法判断 ，则此项错误，不符合题意；
B、 ，则此项错误，不符合题意；
C、由对顶角相等得： ，则此项正确，符合题意；
D、因为 ，所以 ，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握三角形的外角性质和对顶角相等是解
题关键．
【变式2】如图，一航班沿北偏东 方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着
陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西 方向，则其改变航向时 的度数为_______．【答案】 / 度
【分析】根据题意得出 ， ，再由平行线的性质得出
，利用三角形内角和定理及外角的性质求解即可．
解：如图：
由题意得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】题目主要考查平行线的性质及三角形内角和定理及外角的定义，理解题意，熟练掌握平行线
的性质是解题关键．
