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专题 11 三角形中位线定理的运用（解析版）
类型一 中位线定理的直接运用
1．（2023•陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延
长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（ ）
13 15
A． B．7 C． D．8
2 2
【思路引领】根据三角形中中位线定理证得DE∥BC，求出DE，进而证得△DEF∽BMF，根据相似三
角形的性质求出BM，即可求出结论．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
1 1
∴DE∥BC，DE= BC= ×6＝3，
2 2
∴△DEF∽△BMF，
DE DF 2BF
∴ = = =2，
BM BF BF
3
∴BM= ，
2
15
CM＝BC+BM= ．
2
故选：C．
【总结提升】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
2．（2023•云南）如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线．设AC、BC的中点分别为M、N．
若MN＝3米，则AB＝（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【思路引领】根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵点M，N分别是AC和BC的中点，
∴AB＝2MN＝6（m），
故选：B．
【总结提升】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
3．（2023秋•海淀区校级月考）如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝3，则
BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路引领】根据三角形中位线定理求出AD，再根据三角形的中线的概念解答即可．
【解答】解：∵E，F分别是AC，DC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴AD＝2EF＝2×3＝6，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD＝6，
故选：D．
【总结提升】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的中线的概念，熟记三角形中位线等于第三边的
一半是解题的关键．4．（2021春•宽城县期末）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的
中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（ ）
A．BC＝12 B．GF＝6 C．AD＝12 D．EH∥GF
【思路引领】先判定EH为△ABD的中位线，GF为△ADC的中位线，然后根据三角形中位线性质对各
选项进行判断．
【解答】解：∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，
∴EH为△ABD的中位线，
1
∴EH= AD，EH∥AD，
2
∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，
∴GF为△ADC的中位线，
1
∴GF= AD，GF∥AD，
2
∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D选项不符合题意．
故选：A．
【总结提升】本题考查了三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
5．（2023春•临沭县期中）如图1，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BO＝DO，∠BCA
＝∠CAD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC
＝16，求△EFG的周长．【思路引领】（1）根据已知可得AD∥BC，然后再利用ASA证明△AOD≌△COB，从而利用全等三角
形的性质可得AD＝BC，最后利用平行四边形的判定方法即可解答；
（2）连接DF，利用平行四边形的性质可得AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC
1
= AC=8，从而可得AB＝DO＝DC，再利用等腰三角形的性质可得DF⊥OC，从而在Rt△AFD中，
2
利用勾股定理求出DF的长，然后利用直角三角形斜边上的中线可求出FG的长，再根据三角形的中位
1
线定理可得EF= BC=7.5，EF∥BC，从而可得四边形GEFD是平行四边形，进而可得EG＝DF＝9，
2
最后进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：在△COB与△AOD中，
{∠BCA=∠CAD，
)
∠BOC=∠DOA，
BO=DO，
∴△COB≌△AOD（AAS），
∴CO＝AO，
又BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：连接DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
1
∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC= AC＝8，
2
∵BD＝2AB，∴AB＝OD，DO＝CD，
∵点F是OC的中点，
1
∴OF= OC＝4，DF⊥OC，
2
∴AF＝OA+OF＝12，
在Rt△AFD中，DF ，
=❑√AD2−AF2=❑√152−122=9
∵点G是AD的中点，∠AFD＝90°，
1
∴DG=FG= AD，
2
∵点E，点F分别是BO，CO的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
1
∴EF= BC＝7.5，EF∥BC，
2
∴EF＝DG，EF∥AD，
∴四边形GEFD是平行四边形，
∴GE＝DF＝9，
∴△EFG的周长＝GE+GF+EF＝9+7.5+7.5＝24，
∴△EFG的周长为24．
【总结提升】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，
勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的
辅助线是解题的关键．
6．如图．在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，连接CE并延长交AB于点F．求证：BF
＝2AF．
【思路引领】作DM∥CF交AB于M，由题意得出DM是△BCF的中位线，EF是△ADM的中位线，得
出BM＝FM，AF＝FM，因此BM＝FM＝AF，即可得出结论．
【解答】证明：作DM∥CF交AB于M，如图所示：∵AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
∴DM是△BCF的中位线，EF是△ADM的中位线，
∴BM＝FM，AF＝FM，
∴BM＝FM＝AF，
∴BF＝2AF．
【总结提升】本题考查了三角形中位线定理；通过作辅助平行线得出 DM是△BCF的中位线，EF是
△ADM的中位线是解决问题的关键．
类型二 中位线定理的综合应用
7．（2021春•盐湖区校级期末）如图，在四边形 ABCD中，AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的
中点，若∠MPN＝130°，则∠NMP的度数为 25 ° ．
【思路引领】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形
内角和定理即可求出∠PMN的度数．
【解答】解：在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
1 1
∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC，
2 2
∵AB＝CD，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵∠MPN＝130°，
180°−130°
∴∠PMN= =25°．
2
故答案为：25°．【总结提升】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，
确定应用的知识．
8．如图，四边形ABCD中，M，N分别为AD，BC的中点，连BD，若AB＝10，CD＝8，求MN的取值范
围．
【思路引领】取BD的中点E，连接ME、NE，根据三角形中位线定理分别求出ME、NE，根据三角形
三边关系计算即可．
【解答】解：取BD的中点E，连接ME、NE，
∵M，N，E分别为AD，BC，BD的中点，AB＝10，CD＝8，
1 1
∴ME= AB＝5，NE= CD＝4，
2 2
∴5﹣4＜MN≤5+4，即1＜MN≤9．
【总结提升】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，掌握三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，
BE的中点，求证：AE=❑√2MN．
【思路引领】取AB的中点G，连接MG、NG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一1 1
半可得NG= AE，NG∥AE，MG= BF，MG∥BF，再求出AE＝BF，∠MGN＝90°，判断出△MNG是
2 2
❑√2
等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得NG= MN，再表示出AE即可得证．
2
【解答】证明：如图，取AB的中点G，连接MG、NG，
∵M、N分别为AF、BE的中点，
1 1
∴NG= AE，NG∥AE，MG= BF，MG∥BF，
2 2
∵CE＝CF，AC⊥BC，
∴AE＝BF，NG⊥MG，
∴MG＝NG，∠MGN＝90°，
∴△MNG是等腰直角三角形，
❑√2
∴NG= MN，
2
❑√2
∴AE＝2NG= ×2MN=❑√2MN，
2
即AE=❑√2MN．
【总结提升】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识；熟练掌握三角形
中位线定理，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
10．（2021春•庆阳期中）如图，在“飞镖形”ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中
点．求证：四边形EFGH是平行四边形．1 1
【思路引领】连接BD，根据三角形中位线定理得到EH∥BD，EH= BD，FG∥BD，FG= BD，进而
2 2
得到EH∥FG，EH＝FG，根据平行四边形的判定定理证明结论．
【解答】证明：连接BD，
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
1 1
∴EH∥BD，EH= BD，FG∥BD，FG= BD，
2 2
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
【总结提升】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定定理是解题的关键．
11．（2021春•渝中区校级月考）如图，在四边形 ABCD中，AC⊥BD，BD＝12，AC＝16，E，F分别为
AB，CD的中点，则EF＝（ ）
A．8 B．9 C．10 D．6
1
【思路引领】取BC的中点P，连接PE、PF，根据三角形中位线定理得到EP= AC＝15，EP∥AC，FP
2
1
= BD＝8，FP∥BD，根据平行线的性质得到∠EPF＝90°，根据勾股定理计算，得到答案．
2
【解答】解：取BC的中点P连接PE、PF，∵E，P分别为AB，BC的中点，
∴EP是△ABC的中位线，
1
∴EP= AC＝8，EP∥AC，
2
∴∠BPE＝∠BCA，
1
同理可得，FP= BD＝6，FP∥BD
2
∴∠CPF＝∠CBD，
∵AC⊥BD，
∴∠BCA+∠CBD＝90°，
∴∠BPE+∠CPF＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴EF 10，
=❑√82+62=
故选：C．
【总结提升】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半是解题的关键．
12．（2023春•路桥区期末）如图，已知四边形ABCD为菱形，AB＝4，∠C＝60°，BD为对角线，E为边
CD上一动点，且EF∥BD交BC于点F，连接AE，AF，G为AE的中点，连接FG．
①若E为DC的中点，则CF的长为 2 ；
②点E在运动过程中，GF的最小值为 3 ．
【思路引领】（1）由点E为CD的中点，EF∥BD可得EF为△CBD的中位线，进而可得CF的长；（2）延长EF到H，使FH＝EF，连接CH，AH，延长AB交CH于T，先证△CEF为等边三角形，得
EF＝CF，进而可得∠FCH＝∠FHC＝30°，则∠ECH＝90°，据此可得到无论点E在CD上如何运动，始
终有∠ECH＝90°，由此得AT⊥CH，然后再根据三角形的中位线定理得当点H与点T重合时，AH为最
小，最小值为线段AT的长，据此求出AT的长即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝4，
∵点E为CD的中点，EF∥BD，
∴EF为△CBD的中位线，
∴点F为BC的中点，
1
∴CF= BC＝2；
2
（2）延长EF到H，使FH＝EF，连接CH，AH，延长AB交CH于T，
∵四边形ABCD为菱形，
∴CD＝BC＝AB＝4，
又∠DCB＝60°，
∴△DCB为等边三角形，
∴∠CDB＝∠CBD＝60°，
∵EF∥BD，
∴∠CEF＝∠CDB＝60°，∠CFE＝∠CBD＝60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴EF＝CF，
∴FH＝EF＝CF，
∴∠FCH＝∠FHC，
∵∠CFE＝∠FCH+∠FHC＝60°，
∴∠FCH＝∠FHC＝30°，∴∠ECH＝∠DCB+∠FCH＝90°，
∴无论点E在CD上如何运动，始终有∠ECH＝90°，
即：CH⊥DC，
∵AB∥CD，即AT∥CD，
∴AT⊥CH，
∵点G为AE的中点，FH＝EF，
∴GF为△EAH的中位线，
1
∴GF= AH，
2
∴当AH为最小时，GF为最小，
根据“垂线段最短”得：当AH⊥CH时，AH为最小，
即当点H与点T重合时，AH为最小，最小值为线段AT的长，
在Rt△ABT中，BC＝4，∠BCT＝30°，
1
∴BT= BC＝2，
2
∴AT＝AB+BT＝4+2＝6，
∴AH的最小值为6，
∴GF的最小值为3．
【总结提升】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性
质，解答此题的关键是熟练掌握菱形和三角形的性质，理解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边
的一半；在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半；难点是确定无论点 E在CD上如何运动，
始终有∠ECH＝90°．
