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专题11 三角形中的特殊模型-高分线模型、双（三）垂直模型
近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直
模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型
条件：AD是高，AE是角平分线 结论：∠DAE=
例1．（2023·辽宁本溪·七年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，
∠B=40°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（ ）
A．20° B．10° C．50° D．60°
例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在 ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长
线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交△AD于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD是 ABE的角平分线；②BE是 ABD的边AD上的中线；
△ △③CH是 ACD的边AD上的高；④AH是 ACF的角平分线和高
A．1个 △ B．2个 △ C．3个 D．4个
例3．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）如图，在 中， 是高， 是中线，若 ，
，则 的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
例4．（2023春·河北沧州·七年级统考期末）如图，在 中， 、 分别是 的高和角平分线．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ， ，且 ，请直接写出 与 ， 关系．
模型2：双垂直模型结论：①∠A=∠C ；②∠B=∠AFD=∠CFE；③ 。
例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在 中， 分别是 边上的高，并且 交于
点P，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考月考）如图，在 中， ， ， 的边 上的
高 与边 上的高 的比值是（ ）
A． B． C．1 D．2
例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在 中， ， ， 于点F，
于点 ， 与 交于点 ， ．
(1)求 的度数．(2)若 ，求 的长．模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)
结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③ 。
例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 于D，求证：
．
例2．（2023·云南玉溪·八年级校考期中）如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
(1)求证：CD是△ABC的高；(2)如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．例3．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，垂足为 ．如
果 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
例4．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在 中， ， 、 分别在边 、
上， 、 相交于点 ．
(1)给出下列信息：① ；② 是 的角平分线；③ 是 的高．请你用其中的两
个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：______，结论：______．（填序号）
证明：
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的度数．（用含 的代数式表示）课后专项训练
1．（2023春·云南文山·七年级校联考期末）如图，AE，AD分别是 的高和角平分线， ，
，则 的度数为（ ）
A．40° B．20° C．10° D．30°
2．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在 中， 平分 交 于点 、 平分 交
于点 ， 与 相交于点 ， 是 边上的高，若 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
3．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在 中， ， 、 分别是
的高和角平分线，点E为 边上一点，当 为直角三角形时，则 ．
4．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在 中， ， 平分 ，若 ，
，则 ．
5．（2023·江苏八年级校考课时练习）已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角
求证：∠ACD=∠B
证明：∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（ ）
∴∠BCD是∠DCA的余角
∵∠BCD是∠B的余角（已知）∴∠ACD=∠B（ ）
6．（2023春·河南新乡·七年级校考期末）如图， 是直角三角形， ， 于点D，
是 的角平分线，过点D作 交 于点G，求证： ．请补全下面的证明
过程．
证明：∵ （已知），
∴ （_____），
∴ （直角三角形两锐角互余），
∵ （已知），
∴ （直角三角形两锐角互余），
∵ 是 的角平分线，，
∴ （______），
∴ （______），
∵ （______），
∴ （等量代换），
∵ （已知），
∴ （______），
∴ （______）．
7．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在 中， ， 于点D， 平分
交 于点E，交 于点F，求证： ．8．（2023春·四川乐山·七年级统考期末）如图，在直角 中， ， 是斜边 上的高，
，求：
（1） 的度数；（2） 的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）
解：（1）∵ ， （已知），
又∵ （______），
∴ （______）．
（2）∵ （______），
∴ （等式的性质）．
∵ （已知），
∴ （垂直定义）．
∴ ______ （等量代换）．
9．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在 中， ， 平分
．
(1)求 的度数；(2)求 的度数；(3)直接写出 ， ， 三个角之间的数量关系．
10．（2023·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图，已知 的两条高 相交于点 ， ，，求 的度数．
11．（2022秋·山东威海·七年级校联考期中）如图， 是 的高，E是 上一点， 交 于F，
且有 ， ，试说明 ．
12．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图所示，在 中，已知 于D， 于E，
， ，求 的大小．
13．如图所示，在 中， 是高， 、 是角平分线，它们相交于点 ， ， ，
求 、 的度数.14．（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，在 中， 为 的高， 为 的角平分
线， 交 于点G， 比 大 ， ，求 的大小．
15．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，已知在 中， ， 于点 ．
（1）尺规作图：作 的平分线交 于点 ，交 于点 ；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不
下结论）
（2）在（1）的条件下，求证： ．
__________
又 __________
__________
__________
平分
__________
．
16．（2023春·黑龙江·七年级校考期中）如图， 中， ， 平分 ， ，
．
(1)求 的度数．(2)直接写出图中四对相等的锐角，17．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图， 是 的角平分线， 是 的 边上的中线．
(1)若 的周长为13， ， ，求 的长度；
(2)若 ， 的面积为10， ，求点 到 的距离．
18．（2023·江苏·七年级统考期末）已知：如图， 中，在 的延长线上取一点 ，作 于点
（1）如图①，若 于点 ，那么 是 的平分线吗？若是，请说明理由．请完
成下列证明并在下面的括号内填注依据
解：是，理由如下：
（已知）
（垂直定义）
（ ）（两直线平行，同位角相等）
（ ）
（已知）
（等量代换）
平分 （ ）
（2）如图②，若 中 的角平分线相交于点 ．
①求证：
②随着 的变化， 的大小会发生变化吗﹖如果有变化，请直接写出 与 的数量关系；如
果没有变化，请直接写出 的度数．
