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专题07 二次函数的压轴题型专训
【精选最新30道二次函数压轴题型】
1．（2023·湖北鄂州·统考二模）已知二次函数 的图象经过点 ，且与 轴交点的
横坐标分别为 ， ，其中 ， ，下列结论：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·湖北黄冈·统考二模）已知二次函数 的图像经过 ，下列结论：①若图像
对称轴在y轴左侧，则 ；② 是方程 的一个根；③若图像与x轴的另一个交点
在 和 之间，则 ；④点 ， 在抛物线上，若 ，则
当 时， ．其中正确结论的序号为（ ）
A．①③④ B．①② C．②③ D．①②③
3．（2023·江苏南通·统考一模）二次函数 的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二
次函数图象上，且到x轴距离为4， ，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．（2023·湖北随州·统考一模）如图是二次函数 图像的一部分，且经过点 ，对
称轴是直线 ，下列说法：① ；② 是关于x的方程 的一个根；③若点
， 是函数图像上的两点，则 ；④设该抛物线与坐标轴的交点为 ， ， ，若是等腰三角形，则 ，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023春·广东·九年级统考学业考试）已知二次函数 与 轴交于点 ，点 （其中点 在
点 的左侧），记二次函数的最低点为点 ，过点 ，点 作二次函数的两条切线（即直线与二次函数有
且仅有一个交点）交于点 ，则线段 的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·福建泉州·统考模拟预测）定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称
这两个函数互为“关联函数”，这对对称的点称为“关联点”．例如：点 在函数 上，点
在函数 上，点 与点 关于原点对称，此时函数 和 互为“关联函数”，
点 与点 则为一对“关联点”．已知函数 和 互为“关联函数”，则n不可能
是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·山东济南·统考三模）在平面直角坐标系 中，点 ， ， 在抛物线
上．若 ，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若抛物线 ：
与抛物线 ： 关于直线 对称，则抛物线 上的点 在抛物线 上的对应
点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山东泰安·统考一模）我们定义一种新函数：形如 （ ， ）的函数
叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数 的图象如图所示，则下列结论：
① ② ③ ④若m的取值范围是 ，则直线 与 的图象有
4个公共点，则正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．③④ D．②③④
10．（2023·湖南岳阳·统考一模）若将抛物线F： 图象位于y轴右侧的部分沿着直线
l： 翻折，其余部分保持不变，组成新图形H，点 为图形H上两点，若
，则m的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
11．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）抛物线 （ 为常数，其中 ）经过 ，
两点 ，下列结论：① ；
② ；
③ ；
④不等式 的解集是 或 ．
其中正确的结论是________（填写序号）．
12．（2023·广东广州·校考二模）已知二次函数 满足：（1） ； （2）
；（3）图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有_____．
① ； ② ； ③ ； ④ ．
13．（2023·安徽安庆·校考三模）已知 ， 是二次函数 图象上两个不同的
点．
（1）若 ， ，则实数a的值是___________；
（2）若 ，当 时，恒有 ，则实数a的取值范围是___________．
14．（2023·安徽芜湖·统考三模）二次函数 的图象经过点 ．
（1）该二次函数图象的顶点坐标是________；
（2）一次函数 的图象经过点 ，点 在一次函数 的图象上，点 在二
次函数 的图象上，若 ， 的取值范围是________．
15．（2023秋·九年级单元测试）在平面直角坐标系中，点 和点 在抛物线
上，若 ，则 ________；若 ，则m的取值范围是________．
16．（2023·四川成都·统考二模）某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度 （米）与球
运行时间 （秒）之间满足函数关系式 ，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面
35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度 （米）与球运行时间 （秒）之间满足的函数关系式为______．（不要求写自变量的取值范围）；
我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“
”表示．那么在这次投球过程中，球入筺前 的取值范围是______．
17．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线 （ 是常数），过顶点 两
点，且 下列四个结论：① ；
② ；
③若点 在抛物线上， ，且 ，则 ；
④当图象经过点 时，方程 的两根为 ， ，则 ．正确的是
______________（填写序号）．
18．（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）二次函数 的图象的顶点在直线 上，该
图象与直线 ， 在 内各有一个交点，则 的取值范围是______．
19．（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考一模）抛物线 的对称轴是直线 ，
该抛物线与x轴两个交点的距离为4，方程 有两个不相等的实数根 ， ，且
，则a的取值范围是__________．
20．（2023春·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4 ，D为边
AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是 _____，△BDE
面积的最大值为 _____．21（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽
了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截
面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度 为 的高度，将乒乓球向正前方击打到对
面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为 （单位： ），乒乓球运行的水平距离记为 （单位： ）．测得如下
数据：
水平距离x/
竖直高度y/
(1)在平面直角坐标系 中，描出表格中各组数值所对应的点 ，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的
大致图象；
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________ ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始
点的水平距离是__________ ；
②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度 ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长 为
274 ，球网高 为15.25 ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度 的值约为1.27 ．请你
计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值（乒乓球大小忽略不计）．
22．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）已知抛物线 （a为常数， ）的
图象经过原点，点A在抛物线上运动．
(1)求a的值．
(2)若点 和点 都是这个抛物线上的点，且有 ，求t的取值范围．
(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点
D，过点A作 轴，垂足为点B，过点D作 轴，垂足于点C，试问四边形 的周长是否存
在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．23．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，点 ， ， 均在抛物线
上，点 在 轴上，且 ， 绕点 顺时针旋转后两边与 轴、 轴分别相交
于点 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2) 能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点 的坐标；若不能，请说明理由；
(3)若 是等腰三角形，求点 的坐标．
24．（2022秋·广东珠海·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴
交于点 ，二次函数 的图像经过 两点，且与 轴的负半轴交于点 ，动点 在
直线 下方的二次函数图像上，过点 作 于点 ．(1)求二次函数的表达式；
(2)求 的最大值；
(3)①当 时，直接写出点 的坐标；
②当 为等腰直角三角形时，直接写出点 的坐标．
25．（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）如图，在平面直角坐标系
中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于
点C，且 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，若点P为第一象限的抛物线上一点，直线 交x轴于点D，且 平分 ，求点P的坐标；
(3)如图②，点Q为第四象限的抛物线上一点，直线BQ交y轴于点M，过点B作直线 ，交y轴于
点N，当Q点运动时，线段MN的长度是否会变化？若不变，请求出其长度；若变化，请求出其长度的变
化范围．
26（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）年少的岁月里，约定是令人欣喜的！我们不妨约定：关于原点对
称的一对点（不重合）称为一对“双子星”，图象至少经过一对“双子星”的函数称为“双子星函数”．
(1)若 和 是一对“双子星”，则s＝_______，t＝_______；
(2)已知关于x的函数 和 （其中k，p为常数）
①求出“双子星函数” 图象上所有的“双子星”；②关于x的函数 的图象是否存在“双子星”，如果有，指出共有多少对“双子星”，如果没有，
请说明理由；
(3)已知“双子星函数” （其中a，b，c为常数， ）的图象经过不同的两点
和 ，（其中m，n为常数）并且满足以下2个条件：① ；②当 时，该函数的
最小值为 ，求二次项系数a的值．
27．（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得
人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，
这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 和抛物线 构成，其中
， ，取 中点O，过点O作线段 的垂直平分线 交抛物线 于点E，若以O点
为原点， 所在直线为x轴， 为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线 的顶点 ，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 ， ，若
，求两个正方形装置的间距 的长；(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为 ，求 的长．
28．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知： 关于 的函数 ．(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且 ，则 的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与 轴有两个公共点 ， ，并与动直线
交于点 ，连接 ， ， ， ，其中 交 轴于点 ，交 于点 ．设 的面积为 ，
的面积为 ．
①当点 为抛物线顶点时，求 的面积；
②探究直线 在运动过程中， 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
29．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）“厚德楼”、“博学楼”分别是我校两栋教学楼的名字，“厚
德”出自《周易大传》：天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物，“博学”源自《论语·雍
也》：君子博学于文，约之以礼，博学乃华夏古今治学之基础，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、
纵坐标相等的点称为“厚德点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“博学点”．把函数图象至少经过一个
“厚德点”和一个“博学点”的函数称为“厚德博学函数”．
(1)一次函数 是一个“厚德博学函数”，分别求出该函数图象上的“厚德点”和“博学点”；
(2)已知二次函数 图象可以由二次函数 平移得到，二次函数 的顶点
就是一个“厚德点”，并且该函数图象还经过一个“博学点” ，求该二次函数的解析式；
(3)已知二次函数 （ ， 为常数， ）图象的顶点为 ，与 轴交于点 ，经过点 ，
的直线 上存在无数个“厚德点”，当 ，函数 有最小值 ，求 的值．30．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x
轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知 为抛物线上一点， 为抛物线对称轴 上一点，以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形，
且 ，求出点 的坐标；
(3)如图 ， 为第一象限内抛物线上一点，连接 交 轴于点 ，连接 并延长交 轴于点 ，在点
运动过程中， 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
