文档内容
专题 11 特殊的平行四边形中无刻度作图和折叠问题的八种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、平行四边形中的无刻度作图................................................................................................................2
类型二、矩形中的无刻度作图...........................................................................................................................6
类型三、菱形中的无刻度作图...........................................................................................................................9
类型四、正方形中的无刻度作图.....................................................................................................................13
类型五、平行四边形中的折叠问题..................................................................................................................17
类型六、矩形中的折叠问题.............................................................................................................................20
类型七、菱形中的折叠问题.............................................................................................................................26
类型八、正方形中的折叠问题.........................................................................................................................31
压轴能力测评（16题）....................................................................................................................................38
解题知识必备
1.平行四边形
1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）
（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形
（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形
2.矩形
1.矩形的概念和性质
有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四
边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。
2.矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）三个角是直角的四边形是矩形
（3）对角线相等的平行四边形是矩形
3.菱形1.菱形的概念与性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，
还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。
2.菱形的判定
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）
（2）四边相等的四边形是菱形
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.正方形
1.正方形的概念、性质
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是
有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。
2.正方形的判定
（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形
（3）有一个角是直角的菱形是正方形
压轴题型讲练
类型一、平行四边形中的无刻度作图
例题：（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，在 中，点 在 上， ， 平分
交AD于点 ，请用无刻度的直尺画图(保留作图痕迹，不写画法)．
(1)在图 中，过点 画出 中 边上的高 ；
(2)在图 中，过点 画出 到 的垂线段 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）如图，四边形 为平行四边形，点E为 边延长线上一点，
连接 ．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图．(1)如图1，若 ，在 上找一点F，使点F为 的中点；
(2)如图2，点 ，在平面内找一点G，使 与 全等．
2．（2024·江苏徐州·二模）如图，已知 ，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作
法）．
(1)在图1的 边上作点 ，使 ；
(2)在图2的 边上作点 ，使 ．
类型二、矩形中的无刻度作图
例题：（2024·江西吉安·三模）如图，在矩形 中， ， 是对角线 上一点，且 ．
请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作 的中点 ．
(2)在图2中作点 ，使得
【变式训练】
1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，E是矩形 的边 上的中点，现仅用无刻度的直尺
分别按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法）(1)在图1中，画一个以点E为顶点的等腰三角形．
(2)在图2中，画AD的中点F．
2．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，正方形 ，矩形 并排放置， ．请用一把无刻
度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作 中点G；
(2)在图2的边 上找点 ，使得 ．
类型三、菱形中的无刻度作图
例题：（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知四边形 是菱形， 为线段 上一点．仅用无刻
度的直尺完成下列作图：
(1)如图1，在 上作点 ，使 ；
(2)如图2，在 上作点 ，使 ；
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如下图，已知四边形 为菱形，请仅用无刻度的直尺按下列要
求作图．(1)如图（1），点P为 上任意一点，作直线 将菱形分为面积相等的两部分；
(2)如图（2），点E、F为 边中点，以 为边作一个矩形．
2．（2024·江西·中考真题）如图， 为菱形 的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图
（保留作图痕迹）
(1)如图 ，过点 作 的垂线；
(2)如图 ，点 为线段 的中点，过点 作 的平行线．
类型四、正方形中的无刻度作图
例题：（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，四边形 为正方形，点E在 边上，请仅用无
刻度直尺完成以下作图：
(1)在图1中，以 为边，在正方形 内作一个平行四边形；
(2)在图2中，在CD上找一个点M，使 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，已知正方形 ，E为 上任意一点，请仅用无刻度的直
尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）(1)请在图1中完成：在边 上找点F，使得直线 将正方形 的面积平均分成相等的两部分；
(2)请在图2中完成：在边 上找点G，使得 ．
2．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）已知，在正方形 中，请仅用无刻度直尺按要求画图．
（不写作法，保留作图痕迹）
(1)如图1，点E为对角线 上一点，在 上取一点F，使 ；
(2)如图2，点M为 边上一点，在 上取一点N，使 ．
类型五、平行四边形中的折叠问题
例题：（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图将 沿对角线 折叠，使点 落在 处，若
， ，则 °．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知 是平行四边形 的边AB上一点，将 沿直线
DE折叠，点 恰好落在边 上的点 处，如果 的周长为 ， 的周长为 ，那么CF的长等
于 ．2．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形纸片 中， ，将纸片沿对角线
对折至 ，交 边于点E，此时 恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ．
3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平行四边形 中， ， ，
，点E是线段 上一个动点，将 沿 折叠到 位置、再将 沿行 折叠
到 位置，当 落在平行四边形 边上时，则 的长度为 ．
类型六、矩形中的折叠问题
例题：（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，将长方形纸片 折叠，使点 落在点 处，折痕为
． 为 上一点，连接 ，若 ， ，则 ．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·北京顺义·期中）有一张矩形纸片 ， ， ，将纸片折叠，使
边落在 边上，折痕为 ，再将 以 为折痕向右折叠， 与 交于点F（如下图），则
的长为 ．2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知矩形纸片 ， ， ，点 在边 上，连接
，将 沿 所在的直线折叠，点 的对应点为 ，把纸片展平，连接 ， ，当 为直
角三角形时，线段 的长为 ．
3．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，
已知矩形 中， ， ， 为 上一点，将 沿直线 翻折至 的位置（点 落
在点 处）．
(1)【动手操作】
当点 落在边CD上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即 的位置，不写作法，保
留作图痕迹），此时 ________________；
(2)【问题探究】
如图②， 与CD相交于点 ， 与CD相交于点 ，且 ，求证： ；
(3)【拓展延伸】
已知 为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点 恰好落在直线 上的点 处，求 的长．
类型七、菱形中的折叠问题
例题：（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片 折叠，使点 落在 边的点 处，折痕为 ，
若 ，则 的度数是 ．【变式训练】
1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在菱形纸片 中， ，折叠菱形纸片 ，使
点C落在 （点P为 中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕 ．则 的大小为
2．（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形 中， ， ，点E是 的中点，点
F为 上一动点，将 沿 折叠，得到 ．若 与菱形 的对角线平行，则 的长
为 ．
3．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，菱形纸片 的边长为 ，点E在边 上，将纸片滑
折叠，点B落在 处， ，垂足为F．若 ，则 的长是 ．
4．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片 中， ．
（1） ．
（2）点E在 边上，将菱形纸片 沿 折叠，点C对应点为点 ，且 是 的垂直平分线，则 的大小为 ．
类型八、正方形中的折叠问题
例题：（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形 中，点 为射线 上一个动点．连接
，把 沿 折叠，当点 的对应点 刚好落在线段 的垂直平分线上时， ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，正方形 的边长为3，将正方形折叠，使点D落到 边
上的点E处，折痕为 ，若 ，折痕 的长为 ．
2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 在 轴上，点
的坐标为(2,0)，点 在边 上，将 沿 折叠，点 落在点 处．若点 的坐标为 ，则点
的坐标为 ．
3.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点 是正方形 的边 上一动点(点 不与 、 重合)，
连接 ，将 沿 翻折，使点 落在点 处．(1)当 最小时， 的值为 ；
(2)如图 ，连接 并延长，交 的延长线于点 ，在点 的运动过程中， 的大小是否变化，若变
化，请说明理由；若不变，请求 的值；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，试探索 、 、 之间的数量关系．
压轴能力测评（16题）
一、单选题
1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，将矩形纸片 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点
处．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在 中， 为边 上一点，将 沿 折叠
至 处， 与 交于点 ，若 ， ，则 的大小为（ ）
A． B．108° C． D．
3．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在菱形 中， ，点M，N分别在 和
上，沿 将 折叠，点A恰好落在 边上的点E处．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在正方形纸片 中，M，N分别是 的中点，将纸
片沿过点C的直线折叠，使点D落在 上的点E处，折痕CF交AD于点F，连接 ，若 ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中， 将 沿 的对角线 折
叠，使点B的对应点落在点E处，且点 B、A、E在一条直线上， 交 于点F，若 ，则
的长为 ．
6．（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）如图，在菱形 中，E是 上一点，沿 折叠 ，点A
恰好落在 上的点F处，连接 ，若 ，则 ．
7．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在矩形 中， 为AD边的四等分点（ ），连接
，将矩形沿 折叠，点 落在点 处，点 落在点 处， 与AD交于点 ，连接 ．若 ，
，则 ，点 到 的距离为 ．8．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，正方形 的边长为 ，点E是 边的中点，点F
是边 上不与点A、D重合的一个动点，将 沿直线 折叠，使点A落在点 处．当 为等腰三
角形时， 的长为 ．
三、解答题
9．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， 分别是边 上的点，
将 沿 进行折叠，使点 落在 边上的点 处，点 落在 外的点 处，若
，求 的度数．
10．（23-24八年级下·河南开封·期末）在 ， ．请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作
图（保留作图痕迹）．
(1)如图1，点E在边 上，且 ，作 的平分线．
(2)如图2，点E、F分别在边 、 上，且 ，连接 ．过点A 作 的垂线．
11．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，四边形 为矩形，且有 ．请用无刻度直尺完成
下列作图，保留必要的画图痕迹．(1)在图1中求作 边的中点 ；
(2)在图2中的边 上求作点 ，使 ．
12．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，点C为线段AB上一点且不与A，B两点重合，分别以AC，
BC为边向AB的同侧做角为60°的菱形．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，连接DF，若AC＝BC，作出线段DF的中点M；
(2)在图2中，连接DF，若 ，作出线段DF的中点N．
13．（23-24八年级下·江西赣州·期末）在正方形 中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保
留作图痕迹）．
(1)在图①中，在 上作出点O，使 ；
(2)在图②中，点E是 上一点，请过点A作线段 的平行线 ，其中点F在 上．
14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形 中， 分别是 边上
一点，将菱形沿 折叠，当点 落在 的中点 处时，连接 ．(1)求证： 是直角三角形；
(2)求 的长．
15．（24-25八年级上·四川成都·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数
学活动．
如图，长方形 中， 是射线 上一点，将 沿 折叠后得到 ．
【初步探究】
如图1， 在线段 上，过点 作 的平行线交 ， 的两边于 ， ，若 ， ，求
的长；
【深入探究】
如图 ， 在线段 的中点上，延长 交 于点 ，若 ，试说明 与 满足的数量关系；
【拓展延伸】
若 ， ，连接 ， ，当 是以 为底的等腰三角形时，直接写出 的长．
16．（24-25八年级上·江苏南京·期中）数学书第69页数学活动《折纸与证明》中提到：折纸，常常能够为
证明一个命题提供思路和方法．
【初步体验】
操作①：取一张矩形 纸 ，将 边折叠到 边上，折痕为 ，点 的对应点为 ．（如图1
所示）
操作②：将 折叠到 边上，折痕为 ，（如图2所示）（1）若 与 恰好重合，则 ；
【初步探究】
在操作①中，沿 剪开，易得一张正方形纸 ，让我们继续折叠下去…
操作③：把正方形 对折后再展开，折痕为 ；
操作④：点 在边 上，翻折 ，使得点 落在折痕 上的点 处，连接 ，则 是等边
三角形；（如图3所示）
（2）求证： 是等边三角形；
【深入探究】
操作⑤：把正方形 对折后再展开，折痕为 ；
操作⑥：将 沿 翻折到 位置，延长 交 于点 ，则点 是 的三等分点．（如图4所示）
（3）通过计算证明：点 是 的三等分点．
