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专题 12.1 全等三角形【十大题型】
【人教版】
【题型1 全等图形的概念】......................................................................................................................................1
【题型2 辨别全等图形】..........................................................................................................................................2
【题型3 分成全等图形】..........................................................................................................................................2
【题型4 全等三角形的概念】..................................................................................................................................4
【题型5 由全等三角形的性质求线段长度】.........................................................................................................6
【题型6 由全等三角形的性质求角度】..................................................................................................................6
【题型7 由全等三角形的性质求周长】..................................................................................................................7
【题型8 由全等三角形的性质求面积】..................................................................................................................8
【题型9 由全等三角形的性质探究线段或角度之间的数量关系】.....................................................................9
【题型10 由全等三角形的性质探究线段之间的位置关系】...............................................................................10
知识点1：全等图形
定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等．
（2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关．
（3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合．
【题型1 全等图形的概念】
【例1】（23-24八年级·河南郑州·期末）下列叙述中错误的是（ ）
A．能够完全重合的两个图形称为全等图形
B．全等图形的形状和大小都相同
C．所有正方形都是全等图形
D．平移、翻折、旋转前后的图形全等
【变式1-1】（23-24八年级·江苏无锡·期末）将一几何图形放在平面镜前，则该图形与镜子里的图形全
等，因为它们的 相同．
【变式1-2】（23-24八年级·全国·单元测试）从同一张底片上冲出来的两张五寸照片 全等图形，
从同一张底片上冲出来的一张一寸照片和一张两寸照片 全等图形（填“是”或“不是”）．
【变式1-3】（23-24八年级·江苏·周测）下列关于全等图形的说法：①两个正方形一定是全等图形；②所有半径相等的圆都是全等图形；③所有的长方形都是全等图形；④如果两个图形全等，那么它们的形状和
大小一定都相同．其中，正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．②④
【题型2 辨别全等图形】
【例2】（23-24八年级·辽宁阜新·期中）下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24八年级·全国·专题练习）请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是 ．
【变式2-2】（23-24八年级·全国·课后作业）下图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有
对．
【变式2-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）找出下列各组图中的全等图形（ ）
A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦
【题型3 分成全等图形】
【例3】（23-24八年级·河南郑州·期末）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二
种不同方法）：【变式3-1】（23-24八年级·江苏·假期作业）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，
并能拼成一个正方形．
【变式3-2】（23-24八年级·全国·课后作业）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．”
理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形．
范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法．
请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来．
【变式3-3】（23-24八年级·北京·期中）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相
同的两个部分吗？请画出分割线．
知识点2：全等三角形的概念与表示方法（1）全等三角形的概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（2）全等三角形的对应元素：
①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全
等三角形中，能够重合的角．
（3）全等三角形的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对
应的位置上．
【题型4 全等三角形的概念】
【例4】（23-24八年级·福建福州·开学考试）如图，△AOC≌△DOB，C，B是对应点，下列结论错误的
是（ ）
A．∠C和∠B是对应角 B．∠AOC和∠DOB是对应角
C．OA与OB是对应边 D．AC和DB是对应边
【变式4-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，△ABC与△ADC全等，请用数学符号表示出这两个三
角形全等，并写出相等的边和角．
【变式4-2】（23-24八年级·全国·竞赛）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合
同三角形和镜面合同三角形．假如△ABC和△A′B′C′是全等三角形，且点A与点A′对应，点B与点B′对
应，点C与点C′对应．如下图，当沿周界A→B→C→A及A′→B′→C′→A′环绕时，若运动方向相
同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ．
【变式4-3】（23-24八年级·吉林长春·期中）如图①，点C为∠MON的平分线上一点，且不与点O重合，
在角的两边分别截取AO=BO，连接AC、BC；如图②，在图①的射线OC上取异于点O、C的点D，连
接AD、BD；如图③，在图②的射线OC上取异于点O、C、D的点E，连接AE、BE；……，在每个图
形中，在OC同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线OC上相差1个点，依此规律，第11个
图形中全等三角形共有 对．
知识点3：全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．
【拓展】由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，
对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．
但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等．
【总结】寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：
（1）图形特征法：
最长边对最长边，最短边对最短边；
最大角对最大角，最小角对最小角．
（2）位置关系法：
①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．
②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．
（3）字母顺序法：
【题型5 由全等三角形的性质求线段长度】
【例5】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，△ACE≌△DBF，AD=8，BC=2，则BD=（ ）A．2 B．8 C．6 D．5
【变式5-1】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）一个三角形的三边为2、3、x，另一个三角形的三边为y
、4、2，若这两个三角形全等，则x−y= ．
【变式5-2】（23-24八年级·湖南长沙·期末）已知△ABC≌△≝¿，BC=EF=10cm，若△≝¿的面积是
40cm2，则△ABC中BC边上的高是 cm.
【变式5-3】（23-24八年级·四川绵阳·期末）如图，已知△ABE≌△ACD,∠B和∠C是对应角，AB和
AC是对应边，BD=1.1cm,CD=3.3cm，则DE的长度为（ ）.
A．2.1cm B．2.2cm C．2.3cm D．3cm
【题型6 由全等三角形的性质求角度】
【例6】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，若△OAD≌△OBC，∠O=65°，∠D=20°，则∠BED
的度数为（ ）
A．75° B．85° C．60° D．55°
【变式6-1】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图所示的两个三角形全等，则∠E的度数为（ ）A．80° B．70° C．60° D．50°
【变式6-2】（23-24八年级·山东威海·期末）如图，△ABC≌△DEC，AF⊥CD，若∠BCE=65°，则
∠CAF= °．
【变式6-3】（23-24八年级·上海松江·期末）如图，△ABC≌△DBE，点A、C的对应点分别是点D、E，
点D在边BC上，如果∠ABC=30°，那么∠BCE= °．
【题型7 由全等三角形的性质求周长】
【例7】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，△ABC≌△CDA，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABCD的周
长是（ ）
A．14 B．11 C．16 D．12
【变式7-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）已知△ABC≌△DEF，若AB=5，BC=6，AC=8，则△DEF的周
长是 .
【变式7-2】（23-24八年级·黑龙江绥化·期末）如图，△AOB≌△DOC，△AOB的周长为10，且BC=4
，则△DBC的周长为（ ）A．10 B．12 C．14 D．16
【变式7-3】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于
点P，已知∠ABE=162°，∠DBC=30°，AD=DC=2.5，BC=4．
（1）∠CBE的度数为 ；
（2）△CDP与△BEP的周长和为 ．
【题型8 由全等三角形的性质求面积】
【例8】（23-24八年级·山东淄博·阶段练习）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，
△ABC≌△CDE,AB=6,BC=8,CE=10.
（1）求△ABC的周长；
（2）求△ACE的面积.
【变式8-1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，若△ABC≌△EBD，且BD=4,AB=8，则阴影部分
的面积S = ．
△ACE【变式8-2】（23-24八年级·江苏镇江·期中）在研究平面图形的面积时，我们经常用到割补法．割补法在
我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想
在几何上的体现．《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题．下面
举例说明：在《九章算术》中，三角形被称为圭田．圭田术曰：“半广以乘正纵”，也就是说三角形的面
积等于底的一半乘高．刘徽注为：“半广者，以盈补虚，为直田也”，说明三角形的面积是应用出入相补
原理，由长方形面积导出的．如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果图中阴影部分的面积为2，那么
图中原三角形ABC的面积是 ．
【变式8-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，将Rt△ABC沿BC方向平移得到Rt△≝¿，其中AB=8
，BE=8，DM=5，求阴影部分的面积．
【题型9 由全等三角形的性质探究线段或角度之间的数量关系】
【例9】（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，已知△ABD≌△ACE，点B，D，E，C在同一条直线
上．(1)∠BAE与∠CAD有何关系？请说明理由．
(2)BE与CD相等吗？请说明理由．
【变式9-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，△ABD≌△ACE，写出对应边和对应角，并证明∠1＝
∠2．
【变式9-2】（23-24八年级·陕西安康·阶段练习）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌
△DAE.线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
【变式9-3】（23-24八年级·浙江·期末）如图，△ACB≌△DEB，点A和点D是对应顶点，
∠C=∠E=90°，记∠CBE=α,∠CAB=β，当AD//BC时，α与β之间的数量关系为（ ）
A．α=2β B．α=β C．a+β=90° D．α+β=180°
【题型10 由全等三角形的性质探究线段之间的位置关系】
【例10】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判
断AE与DE的关系，并证明．【变式10-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，直线AB与CD交于点O，△AOC≌△BOD，试
判断AC与BD的位置关系，并说明理由．
【变式10-2】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，在正方形ABCD中，E是边AD上的一点，F是
BA延长线上的一点．已知△ABE≌△ADF，试探究线段BE与DF之间的关系，并说明理由．
【变式10-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，已知△ABD≌△CAE，A、E、D在同一直线上，试
探究当BD∥CE时，AD与EC的位置关系，并证明．
