文档内容
专题 12.4 全等模型专题：全等三角形中的常见五大解题模型
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【解题模型一 四边形中构造全等三角形解题】............................................................................................1
【解题模型二 一线三等角模型】....................................................................................................................8
【解题模型三 三垂直模型】..........................................................................................................................15
【解题模型四 倍长中线模型】......................................................................................................................23
【解题模型五 旋转模型】..............................................................................................................................30
【典型例题】
【解题模型一 四边形中构造全等三角形解题】
例题：（2023春·广东梅州·八年级校联考开学考试）已知如图，四边形 中， ， ，
求证： ．【变式训练】
1.如图，在四边形ABCD中， 于点B， 于点D，点E，F分别在AB，AD上， ，
．
(1)若 ， ，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
2．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）已知：如图1，四边形中， 平分 ， 和 都
是直角．
(1)试说明： ．
(2)若将原题中的已知条件“ 和 都是直角”改为“ 和 互为补角”，其余条件不变，如图
2，猜想： 边和邻边 的长度是否一定相等？请说明理由．
3．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上
一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么
条件时，（2）中结论仍然成立？
【解题模型二 一线三等角模型】
例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在 的边 上，点E、F在
内部的射线 上， 分别是 、 的外角．若 ， ，求证：
．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中， ， ，点D在边 上， ，点E、F
在线段 上， ，若 的面积为9，则 与 的面积之和为 ．【变式训练】
1．（2023春·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）（1）问题发现：如图1，射线 在
的内部，点B、C分别在 的边 、 上，且 ，若
，求证： ；
（2）类比探究：如图 2， ，且 ． （1）中的结论是否仍然成立，请说明
理由；
（3）拓展延伸：如图3，在 中， ， ．点E在 边上， ，点D、F在线
段 上， ．若 的面积为 ， ，求 与 的面积之比．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图， 是经过 顶点C的一条直线， ，E、F分
别是直线 上两点，且 ．
(1)若直线 经过 的内部，且E、F在射线 上．
①如图1，若 ， ，试判断 和 的数量关系，并说明理由．
②如图2，若 ，请添加一个关于 与 关系的条件______，使①中的结论仍然成立；
(2)如图3，若直线 经过 的外部， ，请提出关于 ， ， 三条线段数量关系的合
理猜想，并说明理由．3．在直线 上依次取互不重合的三个点 ，在直线 上方有 ，且满足
．
(1)如图1，当 时，猜想线段 之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说
明理由；
(3)应用：如图3，在 中， 是钝角， ， ，直线
与 的延长线交于点 ，若 ， 的面积是12，求 与 的面积之和．
【解题模型三 三垂直模型】例题：问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，
AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．
问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．
问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请
写出这个等量关系，并说明理由．
【变式训练】
1．（2023春·河北邯郸·七年级校考阶段练习）已知： ， ， ， ，
垂足分别为D，E．
(1)如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．
①线段CD和BE的数量关系是： ；
②请写出线段 ， ， 之间的数量关系并证明．
解：①结论： ．
理由：∵ ， ，
∴ ，∴ ， ，
∴ （ ）
在 ACD和 CBE中， ，
∴ ，（ ）
∴ ．
②结论： ．
理由：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
(2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
2．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．3．如图，已知：在 中， ， ，直线 经过点 ， ， ．
（1）当直线 绕点 旋转到图（1）的位置时，求证： ；
（2）当直线 绕点 旋转到图（2）的位置时，求证： ；
（3）当直线 绕点 旋转到图（3）的位置时，试问 、 、 具有怎样的等量关系？请直接写出
这个等量关系：____________．
【解题模型四 倍长中线模型】
例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图， 是 的中线， ， ，求中线
的取值范围．
【变式训练】
1．如图，在 中， 是 边上的中线．延长 到点 ，使 ，连接 ．(1)求证： ；
(2) 与 的数量关系是：____________，位置关系是：____________；
(3)若 ，猜想 与 的数量关系，并加以证明．
2．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝
OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：
(1)求证： OAC和 OBD是兄弟三角形．
(2)“取BD△的中点P，△连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课
讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．
①请在图中通过作辅助线构造 BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；
②求证：AC＝2OP． △3．阅读理解
在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．
如图1， 是 的中线， ， ，求 的取值范围．我们可以延长 到点 ，使
，连接 ，易证 ，所以 ．接下来，在 中利用三角形的三边关
系可求得 的取值范围，从而得到中线 的取值范围是______；
类比应用
如图2，在四边形 中， ，点 是 的中点．若 是 的平分线，试判断 ， ，
之间的等量关系，并说明理由；
拓展创新
如图3，在四边形 中， ， 与 的延长线交于点 ，点 是 的中点，若 是
的平分线，试探究 ， ， 之间的数量关系，请直接写出你的结论．
【解题模型五 旋转模型】
例题：如图， ， ， ．
（1）求证： ；（2）若 ，试判断 与 的数量及位置关系并证明；
（3）若 ，求 的度数．
【变式训练】
1．如图，在 ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转
120°能与BE重△合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．
2．问题发现：如图1，已知 为线段 上一点，分别以线段 ， 为直角边作等腰直角三角形，
， ， ，连接 ， ，线段 ， 之间的数量关系为______；位置关系
为_______．
拓展探究：如图2，把 绕点 逆时针旋转，线段 ， 交于点 ，则 与 之间的关系是
否仍然成立？请说明理由．3．（2023春·贵州贵阳·八年级统考期中）如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2， ABC绕点B逆时
针旋转60°得到 DBE，连接AE． △
（1）求证： A△BC≌△ABE；
（2）连接AD△，求AD的长．
4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时
针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、AB、EB的数量关
系为 ；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两
种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．
