专题12乘法公式（3个知识点10种题型1个易错点3个中考考点）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_常见题型通关讲解练-V3_2024版

专题 12 乘法公式（3 个知识点 9 种题型 1 个易错点 3 个中考考点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.平方差公式（重点） 知识点2.完全平方公式（重点） 知识点3.添括号法则（难点） 【方法二】 实例探索法 题型1.利用乘法公式计算 题型2.乘法公式在解方程中的应用 题型3.整式的化简求值 题型4.应用完全平方公式变形求值 题型5.巧用平方差公式计算 题型6.构造完全平方公式求值 题型7.乘法公式在几何中的应用 题型8.用乘法公式解规律探究题 【方法三】差异对比法 易错点 运用公式时找不准相当于“a”“b”的数 【方法四】 仿真实战法 考法 1.完全平方公式 考法2.应用完全平方公式变形求值 考法3.利用平方差公式与完全平方公式化简求值 【方法五】 成果评定法 【学习目标】 1. 理解平方差公式、完全平方公式的推导过程和结构特征。2. 掌握添括号法则，会利用平方差公式和完全平方公式进行简便运算。 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.平方差公式（重点） (ab)(ab)a2 b2 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. a，b 要点：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平 方. 【例1】（2023上·山西晋城·八年级统考期中）下列各式能用平方差公式进行计算的是（ ） A． B． C． D． 知识点2.完全平方公式（重点） ab2 a2 2abb2 (ab)2  a2 2abb2 ； 2. 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这 两数之积的2倍. 【例2】利用乘法公式计算正确的是（ ） A． B．C． D． 知识点3.添括号法则（难点） 法则上，总体来说只有四句话，两个重点： 首先要确保是在同级运算中（如果加减法和乘法混合在一起就是分配律了） 其次是根据括号前，决定括号内变不变 ①同级运算中，括号前是“＋”，添去括号不变号 ②同级运算中，括号前是“－”，添去括号要变号 ③同级运算中，括号前是“×”，添去括号不变号 ④同级运算中，括号前是“÷”，添去括号要变号 相对来说记忆是比较方便的，括号前是+和×，括号内都不变号。与它们俩相反的则需要改变。所有情况全 列举大概是这样的 【例3】将式子4x＋（3x﹣x）＝4x＋3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）＝4x﹣3x＋x分别反过来，你得到两个怎样的等 式？ （1）比较你得到的等式，你能总结添括号的法则吗？ （2）根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式﹣3x5﹣4x2＋3x3﹣2的值，把它的后两项放在： ①前面带有“＋”号的括号里； ②前面带有“﹣”号的括号里． ③说出它是几次几项式，并按x的降幂排列． 【方法二】实例探索法 题型1.利用乘法公式计算 1．（2023下·河北石家庄·七年级石家庄市第四十中学校考期中） （1）运用整式乘法公式进行计算： ； （2）先化简，再求值： ，其中 ， ．题型2.乘法公式在解方程中的应用 2．计算： 解方程： 题型3.整式的化简求值 3.整式的化简求值： (1) ； (2) ，其中 ． 题型4.应用完全平方公式变形求值 4.（2023上·山东烟台·八年级统考期中）如果 是一个完全平方式，那么 ．题型5.巧用平方差公式计算 5.（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小南马上发现了 其中有一道题目错了，你知道错的是哪道题目吗？（ ） 用平方差公式分解下列各式： （1） （2） （3） （4） A．第（1）道题 B．第（2）道题 C．第（3）道题 D．第（4）道题 题型6.构造完全平方公式求值 6.2023上·山东济南·八年级校考期中）若 是一个完全平方式，则k的值为 ． 题型7.乘法公式在几何中的应用 7．（2023上·山西晋城·八年级统考期中）为进一步推动“双减”工作落地生效，深化教育体制改革，切实 减轻学生课业负担，体现出学校教育主体性角色的回归和强化，某校立足于“减负、提质、增效”的工作 方针，从学校实际出发，积极优化课后服务课程设置，丰富各类教育资源，统筹整体时间安排．如图，某 校园内有一块长为 米，宽为 米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为 米的正 方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)用含a，b的代数式表示绿化部分的面积（结果需化简）． (2)当 ， 时，求绿化部分的面积．题型8.用乘法公式解规律探究题 8.探究应用： (1)计算： ＝ ； ＝ ． (2)上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？ 用含 的字母表示该公式为： ． (3)下列各式能用第（2）题的公式计算的是（ ）． A． B． C． D． 【方法三】差异对比法 易错点 运用公式时找不准相当于“a”“b”的数 9.（2023上·山西临汾·八年级校考期中）计算： ． 【方法四】 仿真实战法 考法1.完全平方公式 10．（2023上·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）计算： 考法2.应用完全平方公式变形求值 11.（2023上·河南周口·九年级统考期中）已知代数式 可以利用完全平方公式变形为 ， 进而可知 的最小值是5．依此方法，代数式 的最小值是 ．考法3.利用平方差公式与完全平方公式化简求值 12.（1）因式分解： （2）利用公式（平方差公式或完全平方公式）计算： （3）先化简再求值： ，其中 ． 【方法五】 成果评定法 一、单选题 1．（2023上·山西吕梁·八年级校考期中）如图，阴影部分是在一个边长为 的大正方形中剪去一个边长为 的小正方形后得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列四种割拼方法，每种割拼 方法都能够验证平方差公式，其中用到的数学思想是（ ） A．数形结合思想 B．整体思想 C．公理化思想 D．方程思想 2．（2023上·海南海口·八年级海南华侨中学校考期中）小华在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方 时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为 ，则中间一项的系数是 （ ） A． B． C． 或 D． 3．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）下列运算结果正确的是（ ）A． B． C． D． 4．（2023上·广东广州·八年级广州市南武中学校联考期中）计算 的结果是（ ） A． B． C． D． 5．（2023上·山西吕梁·八年级校考期中）下列运算结果正确的是（） A． B． C． D． 6．（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）若多项式 是一个完全平方式，则m的值为（ ） A．4 B． C． D．0 8．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）如图，现有 三种类型卡片， 卡片是边长为 的正方形， 卡片是边长为 的正方形， 卡片是两边长分别为 和 的长方形，若想拼出一个边长为 的正方 形，则需 三种类型卡片的数量分别为（ ） A．2，3，6 B．4，9，0 C．4，9，6 D．4，9，12 9．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）如图，在 中， ，点 在 上，点 在 延长 线上，且 ，若 的面积为2.5，则 与 的面积和为（ ）A．7 B．9.5 C．14 D．19 10．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2023上·四川眉山·八年级校考阶段练习）如果 是一个完全平方式，则m的值是 ． 12．（2023下·广东河源·七年级统考期中）若 是完全平方式，则 ． 13．（2023上·广东广州·八年级广州大学附属中学校考期中）我们定义 ，例如 ．如果 、 均为有理数，并且满足 ，那么 的值为 ． 14．（2023上·四川巴中·八年级统考期中）已知 ， ， ，则 的值是 ． 15．（2023上·黑龙江大庆·八年级大庆一中校考期中）已知 ，则 的值等于 ． 16．（2023上·山西吕梁·八年级校考期中）若 ，则 ． 17．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）利用完全平方公式，将多项式 变形为的形式，然后由 ，就可求出多项式 的最小值．例如：求多项式 的最小值． 解： ．因为 ，所以 ，即当 时， ，因此 有最小值，最小值为1，即 的最小值为1，若代数式 ，则代数式A的最小值为 ． 18．（2023上·河北承德·八年级统考期中）已知 ，则 的值是 ． 三、解答题 19．（2023上·天津滨海新·八年级校考期中）先化简，再求值； ，其中 ， 20．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）先化简，再求值： ，其 中 ．21．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）先化简，再求值： ，其 中 ， ． 22．（2023上·天津南开·八年级南开中学校考期中）按要求计算： (1) ； (2) ； (3)先化简，再求值： ，其中 ．23．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A 种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． 【发现】 （1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ； 【应用】 （2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题： ①已知： ， ，求 的值； ②如果一个长方形的长和宽分别为 和 ，且 ，求这个长方形的面积．24．（2023上·广东广州·八年级广州市南武中学校联考期中）（1）图1中，通过计算图中阴影部分的面积， 可得到关于 的等量关系是______________； （2）尝试解决： ①已知： ，则 ______________； ②已知： ，求 的值； （3）填数游戏：如图2，把数字 填入构成三角形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于 21，将每边四个数字的平方和分别记 ，已知 ．如果将位于这个三角形顶点处的三 个圆圈填入的数字分别表示为 ，求 的值． 25．（2023上·山西晋城·八年级统考期中）计算： (1) ．(2) ． 26．（2023上·山西吕梁·八年级校考期中）（1）计算： ． （2）化简： ．