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专题 13.10 最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲
解）
第一部分【知识点归纳】
【模型一： 两定交点型】如图1，直线 和 的异侧两点 A.B，在直线 l上求作一点 P，使
PA+PB最小；
图1
【模型二： 两定一动型】如图2，直线 和 的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使
PA+PB最小（同侧转化为异侧）；
图2
【模型三： 一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使
△PAB的周长最小。
图3【模型四： 两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形PAQB的 周长最小。
图4
【模型五： 一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作
点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图5
【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON
上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图6
【考点1】两定一动型； 【考点2】一定两动（两点之间线段最短）
型；
【考点3】一定两动（垂线段最短）型； 【考点4】两定两动型；
【考点5】一定两动（等线段）转化型；.第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点1】两定一动型；
【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ， 垂直平分 ，交
于点D，则 周长的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．8
【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在 中， ， ．将
沿射线 折叠，使点A与 边上的点D重合，E为射线 上的一个动点，则 周长的最小值
．
【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；
【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图， ，P为 内一点，A为
上一点，B为 上一点，当 的周长取最小值时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图， ，点 分别在射线 上，
， ，点P是直线 上的一个动点，点P关于 的对称点为 ，点P关于 的对称点为 ，连接 、 、 ，当点P在直线 上运动时，则 面积的最小值是 ．
【考点3】 一定两动型（垂线段最短）；
【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在 中， ， ， ， ，
点P、Q分别是边 、 上的动点，则 的最小值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
， 是 的角平分线，若 分别是 和 边上的动点，则 的最小值是
．
【考点4】两定两动型；
【例4】如图，已知 ， 平分 ， ， 在 上， 在 上， 在 上．当
取最小值时，此时 的度数为（ ）A． B． C． D．
【变式】（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图， ，点 ， 分别是边 ， 上的
定点，点 ， 分别是边 ， 上的动点，记 ， ，当 最小时，则
与 的数量关系为 ．
【考点5】一定两动（等线段）转化型；
【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，
E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（ ）
A．75° B．90° C．95° D．105°
【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在 中， ， ， ，点E是边
的中点， 的角平分线交 于点D．作直线 ，在直线 上有一点P，连结 、 ，则
的最大值是 ．第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形 外一点．若 ，连接 ，则
的最大值与最小值的差为 ．
【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在 中， ，若D是 边上的动
点，则 的最小值为 ．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图， 、 在 的同侧，点 为线段 中点，
， ， ，若 ，则 的最大值为（ ）A．18 B．16 C．14 D．12
【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角 中， ， 的面积是
6，D、E、F分别是三边上的动点，则 周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
