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专题 13.1 垂直平分线中的几何综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
◆ 知识点总
结
一、线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上.
二、线段垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（这样的点需要找两个）
◆ 典例分析
【典例1】如图，△ABC的两条高CD与AE交于点O，AB=BC=8，OC=6．
（1）求证：BD=BE；
（2）连结BO，试说明：BO是AC的垂直平分线；
（3）F是射线AB上一点，且BF=CO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点
A运动，同时动点Q从点C出发，沿射线CB以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点A时，P，Q两
点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△COP与△FBQ全等时，求t的值．【思路点拨】
（1）证明△AEB≌△CDB，即可得到BE=BD；
（2）先证明△ADO≌△CEO，得到OA=OC，进而得到点O在AC的垂直平分线上，再根据AB=BC得
到点B在AC的垂直平分线上，即可得到BO是AC的垂直平分线；
（3）当点F在AB延长线上时，设运动t秒，根据△COP≌△FBQ得到BF=OC，
∠COP=∠EOD=180°−∠DBE=∠FBQ，根据△COP≌△FBQ得到OP=BQ，进而得到t=8−3t
，求得t=2；当点F在AB之间时，设运动t秒，根据△COP≌△FBQ得到BF=OC，
∠COP=∠EOD=180°−∠DBE=∠FBQ，根据△COP≌△FBQ得到OP=CQ，进而得到t=3t−8
，求得t=4，问题得解．
【解题过程】
（1）证明：∵CD、AE是高，
∴∠AEB=∠CDB=90°，
在△AEB与△CDB中，
{∠AEB=∠CDB
)
∠ABE=∠CBD
AB=CB
∴△AEB≌△CDB(AAS)，
∴BE=BD；
（2）证明：∵AB=BC，BE=BD，
∴AB−BD=BC−BE，
∴AD=CE ，
∵CD、AE是高，
∴∠ADO=∠CEO=90°．
{∠AOD=∠COE
)
在△ADO与△CEO中， ∠ADO=∠CEO ，
AD=CE
∴△ADO≌△CEO(AAS)，
∴OA=OC，
∴点O在AC的垂直平分线上．
∵AB=BC，
∴点B在AC的垂直平分线上，
∴BO是AC的垂直平分线；（3）解：①如图1，当点F在AB延长线上时，
设运动t秒，P、Q分别运动到如图位置，△COP≌△FBQ．
∵BF=OC，∠COP=∠EOD=180°−∠DBE=∠FBQ，
∴当△COP≌△FBQ时，OP=BQ．
∵OP=t，CQ=8−3t，
∴t=8−3t，
解得t=2．
②如图2，当点F在AB之间时，
设运动t秒，P、Q分别运动到如图位置，△COP≌△FBQ．
∵BF=OC，∠COP=∠EOD=180°−∠DBE=∠FBQ，
∴当△COP≌△FBQ时，OP=CQ．
∵OP=t，CQ=3t−8，
∴t=3t−8，
解得t=4．
综上所述，t=2或4．
◆ 学霸必刷1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l ，l 相交于点O．若
1 2
∠OEB＝46°，则∠AOC＝（ ）
A．92° B．88° C．46° D．86°
2．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，△ABC中，AB=2AC,AD是∠BAC的角平分线，延长
AC至E，使得CE=AC，连接DE,BE．下列判断：①BD=ED；②BD=2CD；③ED平分∠CEB；
④△ABD的面积=△EBD的面积，一定成立的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在AD，AB边上，将∠A
沿EF折叠，使点A落在点G处，连接GE，GF．有下面四个结论：
①AF=GF；②直线EF是线段AG的垂直平分线；③∠B+∠C+∠D+∠G=360°；④
∠BFG=∠DEG+2∠A．
所有正确结论的序号为( )
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④4．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC中，AB＞AC，MN是边BC的垂直平分线，交
AB于G，过点F作FE⊥AB于点E，AF平分∠DAB交MN于F，连接BF，CF．下列结论：①
FB=FC②FB+FC＞AB+AC③AB−AC=2AE④∠BFC=∠BAC．其中正确的结论是
（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上
的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S :S =AD:FD；④若
△ABF △AFC
BF=2EC，则BC=AB．正确的结论序号是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
6．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，△ABC中，AC=BC，点M，N分别在AC，AB上，将
△AMN沿直线MN翻折，点A的对应点D恰好落在BC边上（不含端点B，C），下列结论：①直线MN
垂直平分AD；②AD=CD；③∠CDM=∠BND；④若M是AC中点，则AD⊥BC．其中一定正确的
是（ ）A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
7．（22-23八年级上·重庆巴南·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD，满
足AC=AD，点E为BC上一点，连接AE，∠CAD=2∠BAE，下列结论：①∠ACB=∠ADE；②
AC⊥DE；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE−BE=BE+CE．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，
∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC于点F，AC=6，BC=9，则BF的长为 ．
9．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC，AC
边上的高，AD，BE相交于点F，连接CF，则下列结论：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；
③CF⊥AB；④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长．其中正确的有 (写出所有正确结论的
序号)10．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上
一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线
上，且DE：BN＝1：7，S ABD＝15，则S ABE＝ ．
△ △
11．（23-24八年级上·福建莆田·开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线
AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF
交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①
∠CDA=45°；②AF−CG=CA；③DE=DC；④CF=2CD+EG；其中正确的有 ．（填序号）
12．（2023·江苏无锡·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图：（1）如图1，在BC上求作点D，使S =S ；
△ABD △ACD
（2）如图2，若点D在AB边上，在BC上求作点E，使S =S ．
△BDE 四边形ADEC
13．（2023·江苏扬州·模拟预测）尺规作图：保留作图痕迹，不要求写作法．
（1）过点A作一条直线，使其平分△ABC的面积．
（2）在BC上求作一点E，使△ACE与△ACD面积相等．
（3）过点D作一条直线，使其平分△ABC的面积．
14．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边
AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．（1）若AB=5，则△CMN的周长为 ；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
15．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分∠ABC．
（1）若∠ADB=48°，求∠A的度数；
（2）若AB=5cm，△ABC与△ABD的周长之差为8cm，且△ADB的面积为10cm2，求△DBC的面积．
16．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．（1）在AC的右侧作△DCF，使点F在AC上，且△DCF≌△ABC；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD交AC于点P．若AC＝2BC＝4，求PC的长．
17．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图：在△ABC中，∠BAC=110°，AC=AB，射线AD、
AE的夹角为55°，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连接CG．
（1）如图1，若射线AD、AE都在∠BAC的内部，且点B与点B′关于AD对称，求证：CG=B′G；
（2）如图2，若射线AD在∠BAC的内部，射线AE在∠BAC的外部，其他条件不变，求证：
CG+2GF=BG；14
（3）如图3，若射线AD、AE都在∠BAC的外部，其他条件不变，若CG= GF，AF=3，S =7.5
5 △ABG
，求BF的长．
1
18．（23-24八年级上·辽宁·期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，射线AD，AE的夹角为 α，过
2
点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连接CG．
（1）如图1，射线AD，AE都在∠BAC内部．
①若α=120°，∠CAE=20°，则∠CBG= °；
②作点B关于直线AD的对称点H，在图1中找出与线段GH相等的线段，并证明．
（2）如图2，射线AD在∠BAC的内部，射线AE在∠BAC的外部，其它条件不变，探究线段
BF，BG，CG之间的数量关系，并证明．
