文档内容
专题 13.1 轴对称与线段的垂直平分线
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 轴对称图形的识别】................................................................................................................................1
【考点二 成轴对称的两个图形的识别】................................................................................................................3
【考点三 根据成轴对称图形的特征进行判断】....................................................................................................4
【考点四 根据成轴对称图形的特征进行求解】....................................................................................................7
【考点五 利用轴对称的性质解决折叠问题】......................................................................................................13
【考点六 利用线段垂直平分线的性质求解】......................................................................................................19
【考点七 线段垂直平分线的判定定理】..............................................................................................................21
【考点八 作垂线（尺规作图）】..........................................................................................................................25
【考点九 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】......................................................................................29
【过关检测】............................................................................................................................................................36
【典型例题】
【考点一 轴对称图形的识别】
例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）下列图案中．是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·河北沧州·期末）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，靖江市积极普及科
学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·广东佛山·期末）下列常见的手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图所示图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点二 成轴对称的两个图形的识别】
例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两
个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·河南安阳·期中）下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（ ）
A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④【考点三 根据成轴对称图形的特征进行判断】
例题：（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列图形中， 与 成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图， 与 关于直线l对称，连接 ， ， ，其
中 分别交 ， 于点D， ，下列结论：① ；② ；③直线l垂直平分
；④直线 与 的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
2．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线 是
其对称轴．下列结论不正确的是（ ）A． B．
C． 平分 D． 垂直平分
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图， 与 关于直线 对称，P为 上任一点（ ，
P， 不共线），下列结论中不正确的是（ ）
A．
B． 垂直平分线段
C． 与 面积相等
D．直线 ， 的交点不一定在直线 上
【考点四 根据成轴对称图形的特征进行求解】
例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P在四边形 的内部，且点P与点M关于 对称，
交 于点G，点P与点N关于 对称， 交 于点H， 分别交 于点 ．
(1)连接 ，若 求 的周长；
(2)若 ，求 的度数．【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图， 与 关于直线 l对称，若 ，
求 的度数．
2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图， 和 关于直线 对称， 和 的交点 在直
线 上．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)若 ， ， ，求 的度数；
(3)连接 和 ，则 和 的位置关系，并说明理由．
3．（22-23八年级上·吉林·阶段练习）如图，点 在 的内部，点 和点 关于 对称，点 关于的对称点是点 ，连接 交 于点 ，交 于点 ．
(1)①若 ，求 的度数；
②若 ，则 __________°（用含 的代数式表示）；
(2)若 ，则 的周长为__________．
【考点五 利用轴对称的性质解决折叠问题】
例题：（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在 中， ， ，点D是 边的中
点，点E在 边上（不与点B、C重合），连结 ，将 沿 翻折得到 ，点B的对应点为
点F．
(1)当 时， 的大小为 度．
(2)当 时，求 的大小．
(3)当 时，直接写出 的大小．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）有一条纸带 ，现小慧对纸带进行了下列操作：(1)为了检验纸带的两条边线 与 是否平行，小慧按如图①所示画了直线l，后量得 ，则
，理由为________；
(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设 ，请求出 的度数．
2．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在 中，点 分别在边 上，将 沿直线
折叠，使点 落在点F处， 向右平移若干单位长度后恰好能与边 重合，连结 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求四边形 的周长．
3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）如图1，在一张直角三角形纸片 中， ，点E
在 边上，把纸片沿 折叠，使点B落在 边上的点D处，过点D作 交 于点F，若
，则求 的度数．
（2）如图2，在一张三角形的纸片 中， ， ，点E在 边上，把纸片沿 翻折，
使点B落在 边上的点D处，过点D作 交 于点F
①求证： ．
②若 ，探究 与β之间的数量关系，并说明理由．【考点六 利用线段垂直平分线的性质求解】
例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在 中， 边的垂直平分线 ，分别交 ，
于点D，E两点，连接 ， ， ，则 的度数是 ．
【变式训练】
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在 中， 是 的垂直平分线，若 ， ，则
的周长是 ．
2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰 中， ， 的垂直平分线交 于
点 ，交 于点 ，若 的周长为50，则底边 的长为 ．3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，边 的
垂直平分线 交 于点 ．已知 的周长为 ，则 的长为 ；
【考点七 线段垂直平分线的判定定理】
例题：（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交 ，
于点E，F， 的垂直平分线分别交 ， 于点M，N，直线 ， 交于点P．
(1)求证：点P在线段 的垂直平分线上；
(2)已知 ，求 的度数．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形 的对角线 与 相交于点 ，
， ．求证：
(1) ；
(2) 垂直平分 ．
2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知 中， ，点 ， 分别为 ， 上的点，
．
(1) 与 全等吗？为什么？
(2)连接 ，求证： 垂直平分 ．
3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图， 是 的角平分线， 分别是 和 的
高．(1)试说明 垂直平分 ；
(2)若 ，求 的长．
【考点八 作垂线（尺规作图）】
例题：（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加
植树活动，要在道路 的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到 两条道路的距离相等，
而且要使 ，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹）
【变式训练】
1．（22-23八年级上·广西桂林·期中）要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．
已知：如图， 和A，B两点．
(1)作 的平分线 ；
(2)求作一点Q，使Q点在 上，且 ．2．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在 中，
(1)作 的垂直平分线 ， 交 于E，交 于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）；
(2)若 ， 的周长为15，求 的周长．
3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图， 是 的角平分线．
(1)尺规作图：作线段 的垂直平分线 ，分别交 、 于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不
写作法．）
(2)连接 、 ，求证： ．
【考点九 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】
例题：（23-24八年级下·山东威海·期末）如图， 中， 的角平分线 和 边的中垂线
交于点D， 的延长线于点M， 于点N．若， ， ，则 的长为？【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图， 中， 的平分线 与边 的垂直平分线 交
于点D， ，垂足为点G，H．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在 中， 是边 上的高， 为 的角平分线，
且 ， 是 的中线，延长 到点 ，使得 ，连接 ， 交 于点 ，
交 于点 ，交 于点 ．
(1)试说明： ；
(2)若 ，试说明： ．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图， 的外角 的平分线交 边的垂直平分线于P点，
于D， 于E．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
4．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）在 中， 和 的角平分线 相交于点G．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图2，H是 边上一点，连接 恰好是 的垂直平分线，延长 至点N，过点N作 的
平行线 交 于于点M，且 ，若 ，求 的值．
【过关检测】
一、单选题
1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）下列图形不是轴对称图形的有（ ）个
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，在 中， 边上的垂直平分线DE交 于点
，交 于点 ， ， 的周长为 ，则AB的长为（ ）．
A． B．10 C． D．
3．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图， 中，点D在 边上，做点D关于直线 的对称点
E，连接 ，做点D关于直线 的对称点F，连接 ． ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）将 沿着平行于 的直线折叠，点A落到点 ，若 ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在 中， ， ，边 的垂直平
分线 交 的外角 的平分线于点D，垂足为E， 于点F， 于点G，连接
．则 的长是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
6．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）已知点 关于x轴的对称点为 ，则 ．
7．（22-23八年级上·广西南宁·期中）如图，在 中， 、 的垂直平分线分别交 于点 、 ，
若 的周长为 ，则 的长为 ．
8．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在 的内部有一点 ，点 、 分别是点 关于 ，
的对称点， 分别交 ， 于 ， 点，若 的周长为 ，则线段 的长为 ．
9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在 和 中， 相交于点E，
．将 沿 折叠，点D落在点 处，若 ，则 的大小为 ．
10．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，长方形纸片 ，点P在边 上，点M，N在边 上，
连接 ， ．将 对折，点D落在直线 上的点 处，得折痕 ；将 对折，点A落在直线 上的点 处，得折痕 ．若 ，则 ．
三、解答题
11．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，已知： ， ， ， 相交于点
M，有 ．
(1)试说明： ；
(2)若 平分 ，试说明： 垂直平分 ．
12．（22-23八年级上·河南漯河·开学考试）作图题：如图所示，
(1)在 中：画出 边上的高 和中线 ．
(2)如图，已知点M、N和 ，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到 的两边的距离相
等．13．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在 中， ， 分别垂直平分边 和边 ，交边
于 、 两点， 与 相交于点 ．
(1)若 ，求 的周长．
(2)若 ，求 的度数．
14．（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在 中，点E是 边上的一点，连接 ， 垂直平
分 ，垂足为F，交 于点D．连接 ．
(1)若 的周长为19， 的周长为7，求 的长．
(2)若 ， ，求 的度数．15．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图1，在 中， ， ， 平分 ．
(1)①若 ， ，则 ________度；
②判断 ， ， 三者之间的数量关系，并证明；
(2)如图2，若M是边 上的一点，将 ， 折叠，使点B，C的对应点 ， 落在线段 的延长线
上，折痕分别为 ， ．当M与D重合时，则 ；当M与E重合时，则
．求 的度数．
16．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图①，在 中， ， ，在 上取点P，连
结 ，将 沿 折叠，使点B的对应点E恰好落在射线 上．(1)当 时， _______， _______．
(2)如图②，延长 至点D，连结 ，在 上取点Q，连结 ，将 沿C折叠，使点D的对应点
F恰好落在射线 上， ．
①当点F在线段 上且不与点A重合时，求 （用含 的代数式表示）．
②当 ， 时， ______________（用含 、 的代数式表示）．
③当 时，若 ，则 _________．
