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专题13.26 轴对称中的折叠问题（分层练习）（培优练）
【知识要点】初中数学有关于折叠的问题，是初中数学几何内容中比较特殊的一种类型。同时也
是图形变化当中比较容易出考点的类型。
想要解决初中数学中存在的折叠问题，那么我们对折叠的性质要有比较清楚的认识。首先要明白
图形折叠前后图形的大小，形状都不发生改变，其次折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线。而且
折叠前后及对应边相等，对应角相等，这是我们解决折叠问题中最核心的内容。
另外，对于折叠问题，我们一般还有其重要的性质，就是将其转化为轴对称的问题，比如对称点
的连线被对称轴垂直平分，我们连接两对称点，就可以得到相等的两条线段，
一、单选题
1．如图所示，在长方形纸片 中，点M为 边上的一点，将纸片沿 ， 折叠，使点A落
在 处，点D落在 处．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，射线 与射线 平行，点F为射线 上的一定点，作直线 ，点P是射线 上的一
个动点（不包括端点C），将 沿 折叠，使点C落在点E处．若 ，当点E到点A的距
离最大时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， 分别是长方形纸条 边 ， 上两点 ，如图 所示，沿 ， 所
在直线进行第一次折叠，点 ， 的对应点分别为点 ， ， 交 于点 ；如图 所示，继续沿
进行第二次折叠，点 ， 的对应点分别为点 ， ，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
4．如图，图①是一个四边形纸条 ，其中 ， 分别为边 上的两个点，将纸
条 沿EF折叠得到图②，再将图②沿 折叠得到图③，若在图③中， ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知长方形纸片 ，点E，F在 边上，点G，H在 边上，分别沿 ， 折叠，
使点D和点A都落在点M处，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图， 中， ，点D是边 上一点，连接 ，将 沿 所在直线折
叠得到 ，点F是点A的对应点， 与 交于点E，下列结论一定正确的是（ ）A． B． C． D．
7．如图，已知 ，点P是 上的一点，连接 ，将 沿 所在直线折叠，
点A落在点M处，连接 ．若 ，则 （ ）度．
A．24 B．36 C．25.5 D．26.5
8．如图，将一个三角形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在 边上的点 处，折㢃为 ，
则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．将长为2、宽为a（a大于1且小于2）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边
长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个
边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长
方形恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为（ ）A．1.8或1.5 B．1.5或1.2 C．1.5 D．1.2
10．如图， 中 ，将 沿 折叠，使得点C落在 上的点 处，连接 与
的角平分线交 于点E；如果 ；那么下列结论：① ；② 垂直平分 ；
③ ；④ ；其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，把一张长方形纸片 沿 折叠后， 与 的交点为G，点D、C分别折叠到点
M、N的位置上，若 ，则 ．
12．如图，在 中，直线 是边 的垂直平分线， 与边 交于点 ， 是边 上一点，把
沿 折叠，点 落在点 处， 过点 ，且 ．若 ，则 的度数为
度．
13．有一张三角形纸片 ，已知 ， ，点D在边 上，请在边 上找一点E，
将纸片沿直线 折叠，点B落在点F处，若 与三角形纸片 的边 平行，则 的度数为
．
14．如图，图①是一个四边形纸条 ，其中 ， ， 分别为边 ， 上的两个点，
将纸条 沿 折叠得到图②，再将图②沿 折叠得到图③，若在图③中， ，则
．15．如图，点N是四边形 的 边上一点，沿 折叠四边形，使点C落在边 上的点M处，
再沿 ， 折叠这个四边形，若点A，D恰好同时落在 上的点P处，则 的度数为 ．
16．如图，将四边形纸片 沿 折叠，点A、D分别落在点 、 处．若 ，
，则 与 之间的数量关系可用等式表示为 ．
17．如图，在三角形 中，点D，E是边 上两点，点F在边AB 上，将三角形 沿 折叠
得三角形 ， 交 于点H，将三角形 沿 折叠恰好得到三角形 ，且 ．下列四
个结论：① ；② ；③ ；④若 ，则
． 其中正确的结论是 （填写序号）．
18．如图， 是等边三角形，将 按如图的方式进行折叠，使点 与 边上的点 重合，
折痕分别与 ， 交于点 ， 下列四个结论：① ；
② ；
③ ；
④若 ， ， 是折痕 上一动点，则 的最小值是4．
其中正确的结论是 （填写序号）．
三、解答题
19．如图，将长方形纸片 沿 折叠后，点 、 分别落在 、 的位置， 的延长线交
于点 ．
（1）如果 ，求 的度数；
（2）如果已知∠ ，则 __________（用含 的式子表示）
（3）探究 与 的数量关系，并说明理由．
20．在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动：折纸，常常能
为证明一个命题提供思路和方法．请用你所学知识解决下列问题．将 （ ）沿 折叠，使点C刚好落在 边上的点E处．
（1）图1中， ，则 ___________； ___________；
（2）如图2，若 ，试说明： ．
21．如图，在 中，点D是 边上的一点，将 沿 折叠得到 ， 与 交于点
F．
（1）若 ， ，求 的度数；
（2）若 ， 比 大 ， ，求 的度数．22．如图，已知四边形纸片 的边 ， 是边 上任意一点，沿 折叠 ，点 落
在点 的位置．
（1）如图①．点 落在四边形 的内部，探索 ， ， 之间的数量关系，并说明
理由；
（2）如图②，点 落在边 的上方，设 与 交于点 ，直接写出 ， ， 之间
的数量关系．不需要说明理由．
23．有一张正方形纸片 ，点E是边 上一定点，在边 上取点F，沿着 折叠，点A落在
点 处，在边 上取一点G，沿 折叠，点B落在点 处．
（1）如图，当点 落在直线 上时，猜想两折痕的夹角 的度数并说明理由．
（2）当 时，设 ．
①试用含x的代数式表示 的度数．
②探究 是否可能平分 ，若可能，求出此时 的度数；若不可能，请说明理由．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°．延长BA至点E，并使得AE＝AF（AE<AB）．
连结EF．
（1）求证：EF⊥BC．
（2）将△AEF沿AC折叠．并记点E沿AC折叠时的落点为点D．
①当点D落在△ABC内部时，AE的取值范围是多少？
②P，Q分别是边AC，BC上的动点，连结DP，DQ．若EF＝1，求DP＋DQ的最小值．参考答案
1．A
【分析】先根据角的和差可得 ，再根据折叠的性质可得
，从而可得 ，由此即可得．
解： ，
，
由折叠的性质得： ，
，
，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
2．B
【分析】由平行线的性质得 ，由 ，当点E在 上时，点E到点A的距离最大，然后可求出 的度数．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴当点E在 上时，点E到点A的距离最大，如图，
由折叠可知， ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题考查了折叠性质，平行线的性质，关键是确定E点的位置．
3．B
【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出： ， ，据此
可得 ， ，再根据 得 ，根据 得
，据此可求出 ，进而可求出 的度数．
解：由翻折的性质得： ， ，
四边形 为长方形，
，
，
，
又 ，
，
， ，
，
，
即： ，
，
，，
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键．
4．C
【分析】首先根据折叠和平行的性质求出 ，再由三角形外角的性质求出 ，结合折叠和
平行的性质求出 ，进而可求 ．
解：由折叠可知： ，
，
，
图②中 ，
图③中 ，
，
，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行的性质和翻折的性质，熟练掌握平行的性质和翻折的性质是解题的关键．
5．D
【分析】根据平行线的性质得到 ， ，由折叠得 ，
，求出 和 ，然后根据三角形内角和等于 即可求出答案．
解：∵在长方形 中， ，
∴ ， ，
由折叠得： ， ，
∴ ， ，
∴
，
∵ ，
∴ ；故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握三角形
内角和等于 与轴对称的性质．
6．B
【分析】延长 交 于点 ，根据折叠的性质可得 ，根据全等三角形的性质可得
， ， ，故 ，根据全等三角形的平时和性质可得
，根据三角形内角和可得 ， ，即可得到
．
解：延长 交 于点 ，如图：
∵ 是 沿 所在直线折叠得到的
∴
∴ ， ，
∴
∴
∴
∴
∴
有∵
∴
故选项B正确
故选：B．
【点拨】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和等，熟练掌握折叠的性质
是解题的关键．
7．C
【分析】延长 交 于点E，根据折叠与平行线的性质以及三角形内角和定理求出 的值，并进一步得到 的值．
解：如图，延长 交 于点E，
由折叠与平行线的性质可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故C正确，
故选：C．
【点拨】本题主要考查三角形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角的
性质，平行线的性质是解题关键．
8．B
【分析】根据折叠的性质得 ， ， ， ，然后逐项分析即
可．
解：由折叠的性质得， ， ， ， ，
A．若 ，则
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 、 是 的两个内角，又∵三角形三个内角和为 ，
∴ 不可能等于 ，
∴ ，不可能成立，故A不正确；
B．∵ ， ，
∴ ，故B正确；
C．若 ，
∵ ，
∴ ，显然不一定成立，故不正确；
D．若 ，
∵ ，
∴ ，显然不一定成立，故D不正确．
故选：B．
【点拨】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
9．B
【分析】经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为a，另一边长为2﹣a；若第二次操作后，剩下的
长方形恰好是正方形，则所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝2a﹣2；根据第2次剩下的
长方形分两种情况讨论，若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，由此可得出关于a的一元一次方
程，解之即可得出结论．
解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、2﹣a，由1＜a＜2，得a＞2
﹣a；第2次操作，剪下的正方形边长为2﹣a，所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝2a﹣
2，
①当2a﹣2＜2﹣a，即a＜ 时，
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a﹣2，剩下的长方形的两边分别为2a﹣2、（2﹣a）﹣（2a﹣
2）＝4﹣3a，则2a﹣2＝4﹣3a，解得a＝1.2；
②2a﹣2＞2﹣a，即a＞ 时
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2﹣a，剩下的长方形的两边分别为2﹣a、（2a﹣2）﹣（2﹣
a）＝3a﹣4，则2﹣a＝3a﹣4，解得a＝1.5．
故选：B．
【点拨】本题考查数式规律、图形规律、一元一次方程等知识，其中涉及分类讨论法思想，综合性较强，有点难度，认真审题寻找规律，掌握相关知识是解题的关键.
10．C
【分析】利用三角形全等的性质、等腰三角形的三线合一、角之间的关系、平行线的判定定理逐个分
析各个结论的正误即可．
解：依题意有
∴ ，故结论①正确；
∵
∴ 为等腰三角形，又
∴AD垂直平分 ，故结论②正确；
∵
∴
∴
又∵
∴
∴ ，故结论③错误；
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴ ∥ ，故结论④正确；
综上，正确的结论有3个．
故选：C．
【点拨】本题考查全等三角形的性质、线段的垂直平分、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识，
为三角形的综合题，解题的关键是熟练掌握三角形相关的知识定理．11． /55度
【分析】先根据四边形 是长方形，得出 ，得到 ，再根据折叠的性质可
得， ，最后求出 的度数．
解：∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质可得， ，
又∵ 与 为内错角， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了长方形的性质、平行线的性质和折叠的性质，熟练掌握这些知识点是解题的
关键．
12．28
【分析】设 ， ，根据折叠的性质推出 ， ，根据垂直平分
线的性质得出 ， ，可得 ，进一步推出 ，继而得到 ，
利用三角形内角和得出 ，利用外角的性质得到 ，解方程组即可．
解：设 ， ，
由折叠可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵直线 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，∵ ，即 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的度数为 ，
故答案为：28．
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和与外角的性质，垂直平分线的性质，平行线的判定和
性质，解二元一次方程组，等边对等角，知识点较多，此题较为复杂，解题时要运用相应知识点推导角的
关系，利用内角和和外角的性质作为关系列方程．
13． 或
【分析】分两种情况讨论，由折叠、平行推导出角之间数量关系，进而求得结论．
解：如图， ，
∴
由折叠知
∴
∴ ；
如图，
∴
由折叠知，故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查折叠的性质，平行线的性质，由折叠得出角之间的相等关系是解题的关键．
14． /102度
【分析】根据折叠的性质，先求出图②的 的度数，再根据平行线的性质，求出 的度数，
由邻补角特点可求出 的度数，再由折叠性质可得 ，再根据
求得 的度数为 ，由折叠的性质得图③的 的度数为 ，根据 计
算即可得出答案．
解：第一次折叠后，如图②，
由折叠可得： ，
，
，
，
，
，
第二次折叠后，如图③，
由折叠可得： ，
．
【点拨】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．
15．
【分析】根据折叠的性质可得 ， ， ，可知 ，进一步可得 得度数，再根据折叠的性质及同旁内角互补两直线平行得出 ，从而可得
，根据折叠的性质，可知 ， ，进一步可得 的度数．
解：根据折叠得性质，可得 ， ，
由折叠可知， ，
，
根据折叠的性质，可知 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠的性质、平行线的判定及性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16．
【分析】利用四边形内角和可得 ，再代入 与
即可．
解：四边形 中 ，
四边形 中 ，
∴
∵将四边形纸片 沿 折叠，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，整理得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质以及四边形内角和的应用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，
折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
17．①③④
【分析】由折叠的性质可得 ， ，则 ， ，
，由 ，可得 ， ，则
，由 ，可得 ，
则 ，进而可判断①的正误；由题意知 ，无法判断 与 的关系，
进而可判断②的正误；由 ，则 ， ，可得
，即 ，进而可判断③的正误；根据 ，可得
，整理得 ，即
，则 ，进而可判断④的
正误；
解：由折叠的性质可得 ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，①正确，故符合要求；
∵ ，无法判断 与 的关系，②错误，故不符合要求；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，③正确，故符合要求；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，④正确，故符合要求；
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等的性质，三角形内角和、三角形外角的性质等
知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
18．①②④
【分析】根据折叠的性质可得 ， ， ，由三角形内角和为
，可以判断①正确；由图可得， ，
，进而可判断②正确；点F关于 的对称点为点B，所以
，最小值为 的长，故④正确；由于点 在 上的位置无法确定，仅能确定
，故③不一定正确．
解：由折叠的性质可得 ， ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴在 中， ，故①正确；
由图可得， ，
，
∴
在 中， ，
∴ ，故②正确；
由 ， ， 是等边三角形，可得， ，
连接 ，如图由题意可知，点F关于 的对称点为点B，所以 ， 最小时，点O与点E
重合，即为 的长，故 的最小值是4，④正确；
由于点 在 上的位置无法确定，故不能确定 ；故③不一定正确．
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，最短路径问题等，灵活运用性质是解题的关键．
19．（1） ；（2） ；（3） ，理由见分析
【分析】（1）由平行线性质得到 的度数，再由折叠性质得到 的度数，最后根据平角定
义即可求出 的度数；
（2）由平行线性质和折叠性质得到 ，根据外角性质即可得到 的度数；
（3）由平行线性质得到 和 ，即可推出最后结果．
（1）解： ，
，
由折叠知 ，
，
；
（2） ，
，
由折叠的性质可得： ，
；
（3） ，
，
，
，
．【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠性质，外角性质，熟练掌握这些性质是解答本题的关键．
20．（1）2，12；（2）见分析
【分析】（1）根据折叠性质和三角形的面积公式求解即可；
（2）由折叠性质和三角形的外角性质证得 ， ， ，再根据等角对等边证
得 ，进而可证得结论．
（1）解：由折叠性质得： ， ，，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：2，12；
（2）解：由折叠性质得 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了折叠性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠性质是解答的
关键．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）根据折叠的性质得出 ，然后根据三角形的外角即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出 ，根据折叠的性质得出 ，进而求出
，再根据题意求出 ，即可得出答案．
（1）解：∵ 沿 折叠得到 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 沿 折叠得到 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ 比 大 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键．
22．（1） ；（2）
【分析】（1）数量关系： ．理由：过点 作 ，交 于点 ，交
于点 ，由平行线的性质可得 ，根据平行公理的推论可得 ，继而得到
，再结合折叠的性质可得数量关系；
（2）过点 作 ，由平行线的性质可得 ，根据平行公理的推论可得 ，
继而得到得 ，再结合折叠的性质可得数量关系．
（1）解： ， ， 之间的数量关系： ．
理由如下：
过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵沿 折叠 ，点 落在点 的位置，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， 之间的数量关系是： ．（2）过点 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵沿 折叠 ，点 落在点 的位置，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∴ ， ， 之间的数量关系是： ．
【点拨】本题考查折叠的性质，平行线的性质，平行公理的推论．掌握折叠的性质和平行线的性质是
解题的关键．
23．（1） ，见分析；（2）① 或 ，②可能，当点B落在
内部时， ；当点B落在 内部时，
【分析】（1）利用平角的定义， ，利用折叠得到
，即可得到 ；
（2）①分点 落在 内部和点B落在 内部，两种情况进行讨论求解即可；②分点 落在
内部和点B落在 内部，两种情况进行讨论求解即可．
（1）解：猜想： ；理由如下：
∵ ，
∵折叠，∴ ，
∴ ；
（2）（2）①（Ⅰ）当点 落在 内部时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（Ⅱ）如图，当点B落在 内部时，
，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
综上所述， 或 ；
②可能．
（Ⅰ）当点B落在 内部时，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（Ⅱ）当点B落在 内部时， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得： ，
此时 ，综上所述， 可能平分 ， 或 ．
【点拨】本题考查折叠，角平分线的定义，平角的定义．熟练掌握折叠的性质，角平分线平分角，是
解题的关键．注意分类讨论．
24．（1）见分析；（2）① ；②2.5
【分析】（1）由等腰三角形的性质和对顶角相等，以及三角形的内角和，即可得到EH⊥BC；
（2）因为△AEF为等边三角形，所以当E、P、Q共线时DP+DQ的值最小，由此可计算DP+DQ的最
小值．
解：（1）延长EF交BC于点H，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠EAC＝60°，∠B＝∠C＝30°
∵AE＝AF，
∴∠E＝∠AFE＝60°，
∴∠EHB＝90°
∴EF⊥BC．
（2）当点D在BC上时，
由折叠知，AE＝AD，∠DAC＝∠EAC＝60°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠ADB＝90°
∵∠B＝30°，∴ ，
∴AE的取值范围是0<AE<2
∵AE＝AF，∠EAC＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴AE＝EF＝1，即点D在△ABC内部
∵D，E关于AC对称，当E，P，Q三点共线且垂直BC时，DP＋DQ的值最小且DP＋DQ＝EH
∵∠B＝30°，
∴ ，
即DP＋DQ的最小值为2.5．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，涉及折叠等相关知识，掌握并熟练使用相关知识，精准识图，
注意在解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．
