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专题 13.2 解题技巧专题：利用轴对称的性质解决将军饮马问题
目录
【题型一 在一直线中找线段和最小值的点】........................................................................................................1
【题型二 在三角形中找线段和最小值问题】........................................................................................................5
【题型三 在某一角中线段和最小值的问题】......................................................................................................11
【题型四 在全等三角形中线段和最小值的问题】..............................................................................................17
【题型五 实际应用问题中的最短路径问题】......................................................................................................21
【典型例题】
【题型一 在一直线中找线段和最小值的点】
例题：如图，已知 ， 两点在直线 的同一侧，根据题意，用尺规作图．
(1)在（图①）直线 上找出一点 ，使 ；
(2)在（图②）直线 上找出一点 ，使 的值最小；
(3)在（图③）直线 上找出一点 ，使 的值最大．
【变式训练】
1.如图，在平面直角坐标系中，点 ．(1)在图中作出 关于y轴对称的 ；
(2)在y轴上画出点P，使得 最小，并直接写出点P的坐标．
2．在如图所示的直角坐标系中，已知 ， ， ．
(1)在图中画出 ，以及 关于y轴成轴对称的 ；
(2) 的面积为______；
(3)在x轴上找一点P，使得 的周长最小（保留作图痕迹）．
3．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）已知 ， ， ．(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C，并画出 ；
(2)画出 关于y轴对称的
(3)点P在y轴上并且使得 的值最小，请标出点P位置并求出最小值．
【题型二 在三角形中找线段和最小值问题】
例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，等腰三角形 的边 为3，面积为12，腰 的
垂直平分线 分别交边 ， 于点 ， ，若 为 边的中点， 为线段 上一动点，则
的最小值为 ．
【变式训练】
1.（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在 中， ， ， ，EF垂直平分
AC，点P为直线EF上一动点，则 周长的最小值是（ ）
A．8.5 B．9 C．12.5 D．152．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，正 的边长为 3，过点 B 的直线 ，且
与 关于直线 l 对称，D 为线段 ，上一动点，则 的最小值是（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
3．（2024·山东菏泽·二模）如图，在 中， ， ， ，点E为边 上
的动点，点F为边 上的动点，则线段 的最小值为 ．
4．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知 中， ， ，高
，P为线段 上一动点，点 为线段AB上一动点．则 的最小值为 ．
5．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图， 是等边三角形，点D是 边的中点， ，
点P，Q是 上的两个动点，且 ．若 于点H，则 的最小值为
【题型三 在某一角中线段和最小值的问题】例题：（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知 ，点M在边 上，且 ，点N
和点P分别是 和 上的一个动点，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】
1．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，点 ， 分别是角 两边 、 上的定点，
， ．点 ， 分别是边 ， 上的动点，则 的最小值是 ．
2．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）点 为 内一点．
(1)在 上求作点 上求作点 ，使 的周长最小，请画出图形；
(2)在（1）的条件下，若 ， ，求 周长的最小值．
3．（1）唐朝诗人李顾的诗 古从军行 开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着
一个有趣的数学问题：如图 所示，诗中大意是将军从山脚下的 点出发，带着马走到河边 点饮水后，
再回到 点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出 点，使 的值
最小，不说明理由；（2）实践应用 ，如图 ，点 为 内一点，请在射线 、 上分别找到两点 、 ，使 的
周长最小，不说明理由；
（3）实践应用 ：如图 ，在 中， ， ， ， ， 平分 ， 、
分别是 、 边上的动点，求 的最小值．
【题型四 在全等三角形中线段和最小值的问题】
例题：直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题．
(1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线；
(2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中
CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由；
(3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P
是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值．【变式训练】
1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知 ≌ ，将 沿 所在的直线折叠至
的位置，点B的对应点为 ，连结 ．
(1)直接填空： 与 的位置关系是__________；
(2)点P、Q分别是线段 、 上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知 的面积为36，
，求 的最小值；
(3)试探索： 的内角满足什么条件时， 是直角三角形？
【题型五 实际应用问题中的最短路径问题】
例题：（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B
两村到河岸的距离分别为 ， ， ，现在要在河岸 上建一水厂E向A、B两
村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米， ，
它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修
建一水厂向A，B两村输送水．
(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这
项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
2．如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米，
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP
的长度．3．（2023春·全国·七年级专题练习）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线 同旁有两个定点
A，B，在直线 上是否存在点 ，使得 的值最小？
小明的解法如下：如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则 与直线 的交点即为 ，且
的最小值为 ．
问题提出：
(1)如图，等腰 的直角边长为4，E是斜边 的中点， 是 边上的一动点，求 的最小
值．
问题解决：
(2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池 ，从蓄水
池 处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为 千米， 千米， 千米．若蓄
水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠 上选择蓄水池 的位置，使铺设水管
的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用．4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】
【问题背景】如图 ， ， 表示两个村庄，要在 ， 一侧的河岸边建造一个抽水站 ，使得它到两个村
庄的距离和最短，抽水站 应该修建在什么位置？
【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：
如图 ， ， 是直线 同侧的两个点，点 在直线 上． 在何处时， 的值最小．
画图：如图 ，作 关于直线 的对称点 ，连结 与直线 交于点 ，点 的位置即为所求．
证明： 和 关于直线 对称
直线 垂直平分
________，
根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得
最小值为________（填线段名称），此时P点是线段 和直线 的交点．
【问题拓展】如图4，村庄 的某物流公司在河的对岸有一个仓库 （河流两侧河岸平行，即 ），
为了方便渡河，需要在河上修建一座桥 （桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），
请问桥 修建在何处才能使得 到 的路线最短？请你画出此时桥 的位置（保留画图痕迹，否则不
给分）．
【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形 为花海景区， ， 米，米，长方形 为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线
）， 为起点，终点 在 上， 米， 为湖边观景台，长度固定不变
米），且需要修建在湖边所在直线 上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，
请直接写出步行观光路线的最短长度．
